Векторы в пространстве

Занятие 95. Тема «Векторы в пространстве. Действия над векторами»

План лекции:

1. Понятие и элементы вектора

2. Основные понятия в векторной алгебре

3. Свойства векторов

4. Операции над векторами

5. Самостоятельная работа студентов

Понятие вектора

Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом. Если начало вектора — точка А, а его конец — точка В, то вектор обозначается   или  (стрелка вектора всегда в конце).

Вектор может располагаться в декартовой системе координат. В этом случае его начало и конец будут иметь свои координаты. Пусть начало вектора имеет координаты А(х₁,y₁,z₁), а конец вектора - B(x₂,y₂,z₂).

К элементам вектора относят: начало вектора, конец вектора, координаты начала и конца.

Основные понятия в векторной алгебре

Векторная алгебра – это раздел математики (векторного исчисления), в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К основным понятиям векторной алгебры относят: координаты вектора, модуль вектора, нуль-вектор, единичный вектор, разложение вектора по координатам, свойства векторов и др. Рассмотрим эти понятия более подробно.

Нулевой вектор (нуль-вектор) — точка в пространстве. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет длины и направления. Обозначается:  . На рисунке это вектор

Координаты вектора называется разность координат, то есть от координат конца вектора минус соответственные координаты начала вектора.

или

Длина вектора (модуль вектора) – это длина отрезка, который вычисляется по формуле (если даны координаты начала и конца вектора). Если вектор уже задан координатами, то длина вектора находится по формуле . Длина нулевого вектора равна 0.

Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице. В декартовой системе координат выделяют три единичных вектора, которые перпендикулярны друг другу - , , . Они лежат на координатных осях и имеют следующие координаты , ,

Разложение вектора по координатам – это сумма произведений соответствующих координат на единичные вектора, то есть если вектор имеет координаты , то разложение записывается так

Свойства векторов

Равные вектора называются векторы, у которых равны соответственные координаты, то есть если имеются два вектора и , то

Коллинеарные вектора (параллельные) – это векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Ортогональные вектора (перпендикулярные) – это векторы, которые образуют угол 90^о.

Компланарные вектора – это вектора, которые лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Противоположные вектора – это вектора, противоположно направленные и имеющие равные длины. Обозначение,

Операции над векторами

Суммой векторов и называется вектор , который имеет координаты

Произведением вектора на число называется вектор , который имеет координаты

Скалярным произведением векторов и называется число, которое вычисляется по формуле , реже применяется формула

Скалярный квадрат вектора вычисляется по формуле

Условие коллинеарности двух векторов: , то есть у параллельных векторов соответственные координаты соответствуют друг другу.

Условие ортогональности векторов: , то есть у перпендикулярных векторов скалярное произведение их координат равно нулю.

Угол между векторами вычисляется по формуле

Задание для самостоятельного выполнения

Задание 1. Переписать лекцию в тетрадь или распечатать и вклеить

Задание 2. Выучить все понятия и формулы.

Задание 3. Переписать в тетрадь и разобрать решенные задачи из учебника А.В. Погорелов «Геометрия» из тем «Векторы в пространстве» и «Действия над векторами в пространстве» №50, №54 и №59 (для учебника 7-11 класс стр 285 и 286)

Задание 4. Решить задачу

Даны точки А(-2; 3; 1), В(-2; 1; 2) и С(0; 3; 4). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.

Задание 5. Какие из векторов   ={1; 2; 3},   ={4; 8; 12},   ={5; 10; 12} коллинеарны?

Выполненные задания отправить на адрес https://vk.com/id52519522