Векторы в пространстве

1

Тема. Векторы в пространстве.

Координаты вектора

Если в системе координат от начальной точки отложить единичные векторы i⃗ , j⃗  и k⃗ , то можно определить прямоугольный базис. Любой вектор можно разложить по единичным векторам и представить в виде =x⋅i⃗ +y⋅j⃗ +z⋅k⃗ .

Коеффициенты x, y и z определяются одним единственным образом и называются координатами вектора.

Записываются так:  {x;y;z}.

Рассмотрим правила о том, как с помощью координат записать:

- координаты суммы векторов, если даны координаты векторов:

a⃗ {x₁;y₁;z₁}, b⃗ {x₂;y₂;z₂}, a⃗ +b⃗ {x₁+x₂;y₁+y₂;z₁+z₂}

- координаты разности векторов, если даны координаты векторов:
 a⃗ −b⃗ {x₁−x₂;y₁−y₂;z₁−z₂}

- координаты произведения вектора на число, если даны координаты вектора:

n⋅a⃗ {n⋅x₁;n⋅y₁;n⋅z₁}

- длину вектора:

∣a⃗ ∣=

- координаты вектора, если даны координаты начальной и конечной точки вектора:

A(x_A;y_A;z_A), B(x_B;y_B;z_B),  {x_B−x_A;y_B−y_A;z_B−z_A}

- расстояние между двумя точками, если даны координаты точек:

∣ ∣=|AB −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

- координаты серединной точки отрезка, если даны координаты начальной и конечной точки отрезка:

x_C= ; y_C= ; z_C= ;

г) Дано: 

Установить: компланарность данных векторов.

Решение: Если вектор   можно разложить по векторам   то векторы   компланарны,       - единичные векторы. х = -3; у = -3; z = 0. (Ответ:   – компланарные векторы.)

д) Дано: 

Установить: компланарность данных векторов.

Решение:

1. Векторы   неколлинеарные, так как координаты этих векторов не пропорциональные друг другу числа.

2. 

 (неверно, так как - 8 ≠ 4).

Ответ:   - некомпланарные векторы.