Виды и способы решения квадратных уравнений

ВИДЫ И СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Работу выполнил: ученик

8 «А» класса Видякин А.

Объект исследования : квадратные уравнения.

Предмет исследования: история возникновения квадратных уравнений, их виды и способы решения.

Актуальность темы : Научная ценность работы, на мой взгляд, заключается в том, что данный материал может быть интересен школьникам, увлекающимся математикой, и учителям на факультативных занятиях.

Методы исследования:

Работа с учебной и научно-популярной литературой. Наблюдение, сравнение, анализ.

Цель : Изучить историю возникновения квадратных уравнений, рассмотреть виды и способы их решения

Задачи :

• Изучить научную литературу по теме;
• Проследить историю возникновения квадратных уравнений
• Изучить различные способы решения квадратных

уравнений

Квадратные уравнения

в Древнем Вавилоне

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х. Другое же меньше, т. е. 10 - х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение:

(10+x)(10—x) =96,

100 —= 96.

- 4 = 0

Отсюда х = 2.

Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

древнегреческий математик , живший предположительно в III в. н. э

3х 2 – 10х = 13

Квадратные уравнения в Индии

«Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».

• Одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А 12 по лианам...

Стали прыгать, повисая.

Сколько было обезьянок,

Ты  скажи мне, в этой стае?

Ответ: 16 обезьянок или 48 обезьянок

Решение Бхаскары свидетельствуют о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. 

Соответствующее задаче уравнение

( 1/8 х) 2 +12=х

Бхаскара пишет под видом х 2 - 64х = -768   и, чтобы дополнить левую часть этого   уравнения до квадрата, прибавляют к обеим частям 32 2 ,получая затем:

х 2 -64х+32 2 =-768+1024,

(х-32) 2 =256,

х-32=±16,

х 1 =16, х 2 =48. 

ax 2 + bx = c

6 видов уравнений

• « Квадраты равны корням», т. е.

• «Квадраты равны числу», т. е.
• «Корни равны числу», т. е.
• «Квадраты и числа равны корням», т. е.
• «Квадраты и корни равны числу», т. е.
• «Корни и числа равны квадратам», т. е. .

Арабский учёный

Аль-Хорезми Мухаммед бен-Муса -один из крупнейших средневековых учёных IX века, основатель классической алгебры .

Леона́рдо Пиза́нский  

Фибона́ччи

« Книга абака »

1170-1250 

Формулы решения

квадратных уравн ений

Французский математик

Франсуа Виет

Рене Декарт

(1596-1650)

А. Жирар

(1595-1632)

Квадратное уравнение -

это уравнение вида

ax 2 + bx + c = 0,

где a, b , и с - любые действительные числа, причём а≠0 , а х переменная. Значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство называются

корнями квадратного уравнения .

Виды квадратных уравнений.

• Неполные

• Полные

• Приведённые

• Уравнения, сводящиеся к квадратным

Уравнения, сводящиеся к квадратным Б иквадратное уравнение уравнение четвертой степени

ax 4 + bx 2 + c=0 (а0)

Дробно рациональные уравнения

F(x)=q(x), если F(x) или q(x)дробные

Дробно рациональные уравнения

Решение биквадратных уравнений

методом введения новой переменной

ax 4 + bx 2 + c=0 (а0)

a z 2 + b z + c=0 (а0)

• Решив квадратное уравнение получим z 1 , z 2
• Возвращаемся в равенство х 2 =z
• подставим его значения

Введём х 2 =z

Решение дробно рациональных уравнений

Найдём общий знаменатель дробей 2х(2-х)

Умножаем обе части на наименьший общий знаменатель

4х+х(2-х)=8

При условии 2х(2-х)0

4х+2х-=8

-6х+8=0

=2 не удовлетворяет условию

6

удовлетворяет условию

8

Ответ: 4

=4

=2

Способы решения полных квадратных уравнений

• 1. Решение квадратных уравнений по формуле
• 2. Разложение левой части уравнения на множители.
• 3. Метод выделения полного квадрата
• 4. Графическое решение квадратного уравнения
• 5. Решение уравнений с использованием теоремы Виета

(прямой и обратной)

• 6. Решение уравнений способом «переброски»
• 7. Решение уравнений по свойству коэффициентов

Алгоритм решения

Определить коэффициенты а, в, с

Вычислить дискриминант

Дискриминант

Чтобы определить количество корней

квадратного уравнения, необходимо

найти дискриминант квадратного

уравнения:

D = b 2 – 4ac

0 , то 2) Если D = 0 , то 3) Если D , то уравнение не имеет действительных корней! ответ: Ø" width="640"

1) Если D 0 , то

2) Если D = 0 , то

3) Если D , то

уравнение не имеет

действительных корней!

ответ: Ø

Разложение левой части уравнения на множители

ax 2 + bx + c = 0

a(x- )(x-)=0

 

Разложение левой части уравнения на множители

 

2x 2 + 7x - 9 = 0

2x 2 + 9x - 2x - 9 = 0

2x (х-1) + 9 (x – 1) = 0

(х-1) (2x + 9) = 0

х-1 =0 или 2x + 9 = 0

Х=1

Х=-4,5

Ответ: -4,5; 1

Метод выделения полного квадрата

ax 2 + bx + c = 0

x 2 + x + = 0

 

x 2 + 2 x + = -

 

(x +=-

 

(x + =

 

Метод выделения полного квадрата

x 2 + x + = 0

 

2x 2 + 7x - 9 = 0

(x +=

 

x 2 + 2 x + = -

 

 

x +

x +

 

или

x

 

x

 

x

 

Ответ: -4,5; 1

Графическое решение квадратного уравнения

 

2x 2 + 7x - 9 = 0

2x 2 = - 7x + 9

У=2x 2

У=- 7x + 9

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая.

Ответ: -4,5; 1

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

2x 2 + 7x - 9 = 0

имеет два разных

по знаку корня

больший по модулю

корень отрицательный

Ответ: -4,5; 1.

Решение уравнений способом «переброски»

ax 2 + bx + c = 0

у 2 + bу + c a = 0

теорема Виета

2x 2 + 7x - 9 = 0

у 2 + 7у - 18 = 0

 

=2

 

=-9

=-

 

=

 

=-4,5

 

=1

 

Ответ: -4,5; 1

  Решение уравнений по свойству коэффициентов ax 2 + bx + c = 0

Решение уравнений по свойству коэффициентов 

 

2x 2 + 7x - 9 = 0

Х=9:2

Х=-4,5

Х=1

Ответ: -4,5; 1

Название способа решения квадратных уравнений

Положительные стороны

Разложение левой части уравнения на множители

Недостатки

Дает возможность сразу увидеть корни уравнения.

Метод выделения полного квадрата

Нужно правильно расчленить слагаемые для

За минимальное количество действий можно найти корни уравнений

Решение квадратных уравнений по формуле

группировки.

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата.

Можно применить ко всем квадратным уравнениям.

Решение уравнений способом переброски

Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения.

Нужно выучить формулы.

 

Легко находятся только целые корни.

За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета .

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Легко найти только целые корни.

Не требует особых усилий

Графическое решение квадратного уравнения

Подходит только к некоторым уравнениям

Наглядный способ

Могут быть не точности при составлении графиков

• Я считаю, что материалы, рассмотренные в моей работе, могут быть, полезны всем, кто любит математику и находится в поиске рациональных способов решения квадратных уравнений.

 

Спасибо за внимание

Спасибо за внимание!

 

• Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. шк../Ю.М.Колягин, М.В. Ткачёва/ 4-е изд.-М.:Просвещение, 2016.-336с.
• Дроздов В. Квадратное уравнение: варианты решения. Математика

• Приложение к газете «Первое сентября» №10/1997. стр.6

• Плужников И.10 способов решения квадратных уравнений//Математика в школе.-2000.-№40
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988
• Панкратова Л. Квадратные уравнения. Математика // Приложение к газете «Первое сентября» №21/1996. стр.5-6
• Плужников И. Десять способов решения квадратных уравнений. Математика // Приложение к газете «Первое сентября» №40/2000. стр.24 -31
• Информация про квадратные уравнения http://ru.wikipedia.org/wiki/

• http://revolution.allbest.ru/
• http://mat.1september.ru/2001/42/no42_01.htm

•  

Список используемых источников

Неполные квадратные уравнения.

1. ах 2 + bx = 0, где с=0 2. ах 2 + с = 0, где b=0.

3. ax 2 = 0, где b=0, c=0.

Квадратное уравнение -

это уравнение вида

ax 2 + bx + c = 0,

где a, b , и с - любые действительные числа, причём а≠0 , а х переменная. Значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство называются

корнями квадратного уравнения .

5х²+7х+3=0 (а=5, b=7, c=3)

8х-3х²+5=0 (а=-3, b=8, с=5)

Если коэффициент

а = 1 , то уравнение называется

приведенным: х 2 + px + q = 0 и

корни уравнения удовлетворяют

условиям: