Виды нестандартных задач, способы их решения

Эффективное решение нестандартных творческих задач

для младших школьников

Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями твоей мысли, а не памяти.

Л.Н. Толстой

Развитие творческих способностей – важнейшая задача начального образования, ведь этот процесс пронизывает все этапы развития личности ребёнка, пробуждает инициативу и самостоятельность принимаемых решений, привычку к свободному самовыражению, уверенность в себе.

Творчество – это всегда новое, неизведанное, непредсказуемое, увлекательное и захватывающее.

Одним из средств развития интеллектуальных и творческих способностей младших школьников является решение нестандартных задач.

« Нестандартные задачи – это такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения»,- писал Л.М.Фридман.

Нестандартная задача – это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, то есть учащиеся не знают заранее ни способов решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение.

Понятие «нестандартная задача» является относительным.

Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной, в зависимости от того, знакомы ли учащиеся со способами решения задач такого типа.

При решении занимательных задач преследуются следующие цели:

• формирование и развитие мыслительных операций: анализа, синтеза, сравнения, аналогии, обобщения и т.д.;
• развитие и тренинг мышления вообще и творческого в частности;
• поддержание интереса к предмету, к учебной деятельности;
• развитие качеств творческой личности (познавательная активность, упорство в достижении цели, самостоятельность, усидчивость);
• подготовка учащихся к творческой деятельности (творческое усвоение знаний, способов действий, умение переносить знания и способы действий в незнакомые ситуации и видеть новые функции объекта)

Помогая ученику, учитель должен оказать ему внутреннюю помощь, т.е. ограничиться такими подсказками, которые могли бы рождаться в сознании самого ученика, и избегать внешней помощи, т.е. давать куски решения, которые не связаны с сознанием ученика.

Д.Пойа

Три заповеди учителя (по Д. Пойа):

1.Старайся научить своих учеников догадываться.

2.Старайся научить своих учеников доказывать.

3.Пользуйся наводящими указаниями, но не старайся навязывать своего мнения насильно.

Нестандартные задачи по математике, используемые в начальной школе, условно можно разделить на следующие группы :

• задачи на взвешивание
• задачи на переливание;
• задачи, решаемые с «конца»;
• задачи на установление взаимно-однозначного соответствия между множествами;
• задачи о лжецах;
• задачи о переправах;
• задачи, решаемые с помощью логических выводов и т.д.

Методы реш ения:

• алгебраический;
• арифметический;
• графический;
• практический;
• метод предположения;
• метод перебора

Способы решения логических задач:

• способ рассуждений;
• способ составления таблиц;
• способ построения графов;
• способ бильярда;
• способ кругов Эйлера

Приёмы работы над задачей

1. Изучение условия задачи.

2. Выдвижение идеи(плана) задачи.

3. Поиск аналогии, сравнительные чертежи.

4. Разбиение задачи на подзадачи.

5. Решение одной задачи несколькими способами.

6. Приём разбора готового решения.

Эффективность обучения младших школьников решению нестандартных задач зависит от нескольких условий :

  1. Задачи следует вводить в процесс обучения в определенной системе с постепенным нарастанием сложности, так как непосильная задача мало повлияет на развитие учащихся.

2. Необходимо предоставлять ученикам максимальную самостоятельность в поиске решения задач, давать возможность пройти до конца по неверному пути, убедиться в ошибке, вернуться к началу и искать другой, верный путь решения.

3. Нужно помочь учащимся осознать некоторые способы, приемы, общие подходы к решению нестандартных арифметических задач.

На первом этапе учащиеся должны:

• усвоить процесс решения любой задачи  (читаю задачу, выделяю, что известно и что надо узнать);
• познакомиться с приемами работы над задачей  (видами наглядной интерпретации, поиска решения, проверки решения задачи и др.)

На втором этапе  учащиеся применяют ранее сформулированные общие приемы в ходе самостоятельного поиска решения конкретных задач.

При поиске решения незнакомой задачи полезно сделать чертеж (рисунок), т.к. именно он может быть способом решения задачи.

Памятка

Если тебе трудно решить задачу, то попробуй:

- сделать к задаче рисунок или чертеж (подумай, может быть нужно сделать на них дополнительные построения или изменить чертеж в процессе решения задачи);

- ввести вспомогательный элемент (часть);

- использовать для решения задачи способ подбора;

- переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала более понятной и знакомой;

- разделить условие или вопрос задачи на части и решить ее по частям;

- начать решение задачи с «конца»

Задачи

на взвешивание

и переливание

Задачи на взвешивание  – достаточно распространенный вид математических задач.  В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний.

Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.

Задача №1

Из девяти монет одна фальшивая: она легче остальных.

Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая именно монета фальшивая?

Решение:

• Разобьём монеты на 3 кучки по 3 монеты.

• Первое взвешивание : положим по 3 монеты на каждую чашку весов .

Возможны два варианта:

• Равновесие.

Тогда на весах только настоящие монеты, а фальшивая среди тех монет, которые не взвешивались.

2 . Одна из кучек легче.

Значит в ней фальшивая монета.

• Второе взвешивание: теперь требуется найти фальшивую среди трёх монет ( по методу первого взвешивания).

Задача №2

В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь, отмерить 9 кг гвоздей?

Решение:

Основная доступная операция – деление некоторого (произвольного) количества гвоздей на две равные по весу кучки.

Результаты взвешивания будем записывать в таблицу по шагам:

Шаги

1 шаг

1кучка

2 шаг

2 кучка

12 кг

3 шаг

3 кучка

12кг

12 кг

4 кучка

12 кг

6 кг

6 кг

6 кг

3 кг

3кг

Задачи на переливание  – это задачи,   в которых с помощью сосудов известных ёмкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.

Задача № 1

В восьмилитровом бидоне находится молоко. Как при помощи пятилитрового бидона и трёхлитровой банки отмерить 4 литра молока?

5

3

8

Решение:

Бидон 8л

8

Бидон 5л

Банка 3л

3

0

3

0

5

6

0

2

6

3

2

1

0

0

1

2

5

4

4

2

3

4

0

Задача №2:

В бочке 12 литров кваса. Каким образом отмерить ровно 6 литров кваса, если имеется два сосуда ёмкостью 5 и 8 литров?

8 литров

квас

5литров

Решение:

Шаги

1

12л

12

8л

2

3

0

5л

4

0

4

4

8

5

3

0

9

9

6

3

5

7

0

1

0

1

8

8

3

6

6

3

6

5

0

Задачи на установление взаимнооднозначного соответствия

между множествами

Многие логические задачи связа-ны с рассмотрением нескольких конеч-ных множеств с одинаковым количес-твом элементов, между которыми име-ются некоторые зависимости. Требуется установить взаимноодно-значное соответствие между элементами данных

множеств.

Решение задач такого типа оформля-ется в виде таблицы. Элементы одного множества располагаются по строкам , другого – по столбцам . Если по усло-вию задачи между элементами мно-жеств есть соответствие, то в клетке на пересечении данных строки и столбца ставится «плюс», в случае отсутствия зависимости – «минус». Рассмотрим этот метод на примере конкретных задач.

Задача:

Оля, Таня, Юля и Ира варили варенье. Две девочки варили его из смородины, две девочки – из клубники. Таня и Ира варили варенье из разных ягод. Ира и Оля тоже варили его из разных ягод. Ира варила варенье из клубники. Из каких ягод варила варенье каждая девочка?

Решение:

1. Составим таблицу 4*2, т.к. было 4 девочки и 2 вида ягод.

Оля

смородина

Таня

клубника

Юля

Ира

2. Внимательно читаем условия задачи и начинаем расставлять соответствия.

• Из условия задачи нам известно, что Ира варила варенье из клубники .

Оля

смородина

Таня

клубника

Юля

Ира

+

• Таня и Ира варили варенье из разных ягод, следовательно Танино варенье из смородины.

Оля

смородина

Таня

клубника

Юля

+

Ира

_

_

+

• Ира и Оля тоже варили варенье из раз-ных ягод, значит Оля варила варенье из смородины.

Оля

смородина

клубника

Таня

+

Юля

_

+

_

Ира

_

+

• По условию задачи известно, что две девочки варили варенье из смородины, две девочки – из клубники, следовательно Юля варила варенье из клубники.

Оля

смородина

клубника

+

Таня

Юля

_

+

Ира

_

_

+

_

+

Ответ: Варенье из смородины варили Оля и Таня, из клубники Ира и Юля.

Задачи:

• Наташа, Валя, Маша, Галя и Лена вырезали из бумаги разные фигуры. Кто-то вырезал круг из бумаги в клетку, кто-то круг из бумаги в линейку, кто-то квадрат из бумаги в клетку, кто-то квадрат из бумаги в линейку, а кто-то флажок из белой бумаги. Галя и Валя вырезали круги. Галя и Наташа вырезали из бумаги в клетку. Наташа и Маша вырезали квадраты. Кто что вырезал?
• В соревнованиях по гимнастике Заяц, Мартышка, Удав и Попугай заняли первые 4 места. Определите, кто какое место занял, если известно, что Заяц -2, Попугай не стал победите-лем, но в призёры попал, а Удав уступил Мартышке.
• Три девочки, Алла, Вера и Даша на праздник пришли одна в красном платье, другая в белом, третья в синем платье. Среди высказываний: Алла была в красном; Вера не в красном; Даша не в синем платье – одно верно, а два других не

верны. В каком платье была каждая девочка?

Задачи,

решаемые с «конца»

Выделение данных задач в отдельную группу связано со способом рассуждения при решении, которое выполняется с «конца» задачи. В математической лите-ратуре он назван методом инверсии. Суть его состоит в следующем: если надо найти число, которое после ряда операций приводит к известному числу, то необходимо с известным числом произвести в обратном порядке все обратные операции

Лабиринт

Простейшим примером такой стратегии может служить игра в лабиринты, нарисованные на бумаге, которые нужно проходить с помощью карандаша.

Многие из этих лабиринтов содержат несколько возможных путей, отходящих от начальной точки, и среди них только один верный путь, который приведет в конец лабиринта к заветной цели. Даже дети понимают, что они смогут ускорить решение такой задачи, если пойдут в обратном направлении.

Способ решения с «конца» очень удобна, если от конечной цели ведет меньше путей, чем из исходного положения. 

Задача № 1:

Я задумала число, умножила его на 7, прибавила 15 и получила 50. Какое число я задумала?

Решение: (50 – 15) : 7 = 5

Ответ: 5

Проверка : 5·7=35

35+15=50

Задача № 2:

Продавец, сидя на рынке, рассуждала: «Если к моим яблокам прибавить половину их да ещё десяток, то у меня была бы целая сотня!» Сколько яблок у неё было ?

Решение: ( 100 – 10) : 3 * 2

Ответ: 60 яблок

Проверка:

60 : 2 = 30

60 + 30 = 90

90 + 10 = 100

Задачи:

1 . Гуси.  Над озерами летели гуси. На каждом озере сади-лась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было гусей?

2. Крестьянин и царь.  Крестьянин пришел к царю и по-просил: “Царь, позволь мне взять одно яблоко из твое-го сада”. Царь ему разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором. Каждый забор имеет только одни ворота, и около каждых ворот стоит страж. Подошел крестьянин к первому стражу и сказал: “Царь разрешил мне взять одно яблоко из са-да”. “Возьми, но при выходе должен будешь отдать мне половину яблок, что возьмешь, и еще одно”, – поставил условие страж. Это же повторили ему второй и третий. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как отдаст части трем стражам, у него осталось одно яблоко?

Принцип Дирихле

При решении различных математических задач применяется специальный метод, получивший название по имени немецкого математика: принцип Дирихле.

Петер Густав Лежен Дирихле

(13.2.1805 - 5.5.1859)

При́нцип Дирихле́ («принцип ящиков») — утвержде-ние, устанавливающее связь между объектами (« кро-ликами ») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий. В некоторых языках утвержде-ние известно как «принцип голубей и ящиков», когда объектами являются голуби, а контейнерами — ящики .

9 клеток содержат 7 голубей

по принципу Дирихле

хотя бы

9-7= 2 клетки свободны

9 клеток содержат 7 голубей,

по принципу

Дирихле хотя бы

9-7= 2 клетки свободны

Формулировки

Наиболее распространена следующая формулировка этого принципа:

Если в N клетках сидят не менее

N + 1 кроликов, то в какой-то из клеток сидит не менее двух кроликов.

Более общая формулировка звучит так :

Если в N клетках сидят не менее

kN + 1 кроликов, то в какой-то из клеток сидит по крайней мере

k + 1 кролик.

Возможны также формулировки для частных случаев:

Если число клеток больше, чем число кроликов, то как минимум одна клетка пуста.

12, то, по принципу Дирихле, найдется, как минимум, одна клетка, в которой будет сидеть, по крайней мере, 2 «зайца». То есть, найдется месяц, в котором будут отмечать дни рождения не менее 2 учеников класса. " width="640"

Рассмотрим примеры различных задач, решаемых с помощью принципа Дирихле

Задача № 1 : В классе 15 учеников.

Докажите, что найдутся как

минимум 2 ученика, отмечающих

дни рождения в один месяц .

Решение:

Пусть 15 учеников будут «зайцы».

Тогда «клетками» будут месяцы года, их 12.

Так как 15 12, то, по принципу Дирихле, найдется,

как минимум, одна клетка, в которой будет сидеть,

по крайней мере, 2 «зайца». То есть, найдется месяц,

в котором будут отмечать дни рождения не менее

2 учеников класса.

Задача № 2 : В ковре размером 3x3 метра Коля проделал 8 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1x1 метр, не содержащий внутри себя дырок .

(Дырки моно считать точечными)

Решение:

Здесь дырки будут «зайцами».

Разрежем ковер на 9 ковриков

размерами 1x1 метр. Так как

ковриков-«клеток» — 9, а дырок-«зайцев» — 8,

то найдется хотя бы одна «клетка», в которой не будет «зайцев», то есть найдется коврик без дырок внутри.

Задача № 3 : В коробке лежат 5 карандашей: 2 синих и 3 красных. Сколько карандашей надо взять из коробки, не глядя в неё, чтобы среди них был хотя бы 1 красный?

Решение:

3 карандаша: если достанем 2 синих, то третий будет красным.

Задачи:

• В классе 27 учеников. Найдется ли месяц, в ко-тором отмечают свои дни рождения не меньше, чем три ученика этого класса.
• В одном из классов школы 26 учеников. Можно ли утверждать, что в этом классе найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной и той же буквы? 

3. В одной коробке хранятся перчатки. 5 пар белых и 5 пар чёрных. Сколько перчаток необходимо взять из этой коробки для того, чтобы можно было выбрать 1 пару перчаток?

Задачи на предположение

Анализ условия задач данного вида приводит к необходимости сопоставления двух (трёх и т.д.) групп объектов, сходных по сути, но имеющих отличительные признаки (например, разное количество ног, колёс, страниц и т.п .)

Задача №1 :

У 10 велосипедов 27 колес. Сколько из этих велосипедов трехколесных и сколько двухколёсных? Задача легко решается с помощью рисунка.

Решение

1. Каждый  велосипед  обозначим чертой. Их 10 . 2. К каждому из них можно смело пририсовать по 2 колеса, т. к .2 колеса есть у любого  велосипеда. Нарисовано 20 колес. Осталось нарисовать 7 колес. 3. Сколько колёс можно пририсовать к  велосипедам ? (По одному, так как среди велосипедов есть и трехколесные)  На сколько велосипедов хватит оставшихся колёс? (На 7 велосипедов).

4. Дорисуем оставшиеся 7 колес. Их хватит на 7 ве-лосипедов .

Ответ : было 7 трехколесных и

3 двухколёсных велосипедов.

• Задача №2 : У овец и кур вместе 36 голов и 100 ног. Сколько овец и сколько кур?

Решение: В задаче не нарисуешь 36 голов, поэтому можно использовать схему, а решать по действиям.

1. Узнаем, сколько было бы ног, если все животные курицы:  2*36=72 (н) 2. Узнаем, сколько «лишних» ног, так как среди животных есть овцы:  100 – 72 = 28 (н) 3. На сколько ног у овцы больше, чем у курицы?  4- 2 = 2 (н) 4. Узнаем, сколько овец? Для этого разделим «лишние » ноги по 2 каждой овце.  28 : 2= 14 (о) 5. Сколько кур?  36 – 14 = 22 (к) Ответ: 14 овец и 22 курицы. Проверка: 4 *14 + 2* 22 =100 (ног). Задача решена верно.

Задачи:

1. В клетке кролики и фазаны, всего 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке кроликов и сколько фазанов?

2.Мальчик собрал в коробку жуков и пауков – всего 8 штук и 54 ноги. Сколько жуков и сколько пауков?

3. Грузовые автомобили имеют по 6 колёс, а легковые по 4 колеса. Сколько, каких автомобилей в гараже, если колёс всего 3024?.  

Алгоритмическая задача «Переправа»

Что такое алгоритм?

• Алгоритм – это понятное и точное предписание действий исполнителю, с целью получения результата

Виды задач:

Переправы без условий

А) Переправляющиеся находятся на одном берегу

Б) Переправляющиеся находятся на разных берегах

Переправы с условиями

А) Условие вместимости

Б)Затрудненные переправы(наличие острова)

Задача №1

Задача №2

Задача №3

Комбинаторные задачи,

решаемые с помощью

графов

Чем занимается комбинаторика?

• Комбинаторика-раздел математики ,рассматривающий вопросы(задачи), связанные с подсчётом числа всевозможных комбинаций из элементов данного конечного множества при сделанных исходных предположениях.

Что такое граф?

• Граф – геометрическая фигура, состоящая из точек(вершины графа) и линий, их соединяющих(рёбра графа).

Задача №1

• Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Решение:

А

Б

Г

В

Решение:

А

Б

Г

В

Решение:

А

Б

Г

В

Решение:

Б

А

Г

В

Решение:

Б

А

Г

В

Задача №2

• У Лёвы 2 конверта: обычный и авиа ,и 3 марки: прямоугольная , квадратная и треугольная. Сколькими способами он может выбрать конверт и марку чтобы отправить письмо?

письмо

А

О

П

Т

К

П

Т

К

письмо

А

О

П

Т

К

П

Т

К

письмо

А

О

П

Т

К

П

Т

К

письмо

О

А

Т

П

К

Т

П

К

Задачи

о

лжецах

Задача №1

Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на олимпиаде по информатике четыре первых места. Когда их спросили о распределении мест они дали три таких ответа:

• Сергей — первый, Роман — второй
• Сергей — второй, Виктор — третий
• Леонид — второй, Виктор — четвертый

Известно, что в каждом ответе только одно утверждение истинно. Как распределились места?

Решение:

1-е место

Сергей

2-е место

Виктор

3-е место

Роман

4-е место

Леонид

Решение:

1-е место

Сергей

2-е место

1

Виктор

3-е место

Роман

4-е место

Леонид

0

Решение:

1-е место

Сергей

2-е место

1

Виктор

3-е место

0

Роман

0

Леонид

0

0

4-е место

0

0

0

Решение:

1-е место

Сергей

1

2-е место

Виктор

0

3-е место

0

Роман

0

4-е место

0

0

Леонид

1

0

0

0

0

0

0

Решение:

1-е место

Сергей

2-е место

1

Виктор

3-е место

0

0

Роман

Леонид

0

0

0

4-е место

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

Основные рекомендации:

• Установить, к какому виду задач она принадлежит.
• Применить для решения общее правило.
• Если задача нестандартная, то следует:

-разбить ее на подзадачи( способ разбиения), привлечь аналогию

-ввести в условие вспомогательные элементы, построения..

Наши достижения

До новых встреч

с занимательными задачами!