Внутриколледжная олимпиада

1. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой , где  м,  – постоянные параметры,  – смещение камня по горизонтали,  – высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

2. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предположения, что общая длительность телефонных разговоров составляет 650 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 650 минут? Ответ дайте в рублях.

3. Решите неравенство: 

4. а) Решите уравнение . Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

5. Решите неравенство 

6. Найдите область значений функции y = cos7x + 5cosx.

7. Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой 

8. Найдите все значения a, при каждом из которых система 

имеет ровно 2 решения.

Примечание. При графическом способе решения первое уравнение задает окружность, а второе — часть плоскости, лежащую выше бесконечного угла. Полученная в ответе ситуация соответствует случаю, когда стороны угла касаются окружности.

9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , ,  прямоугольного параллелепипеда , у которого , , 

10. Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство 

б) Может ли дробь  быть в 11 раз меньше, чем сумма 

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь  если  и