Возрастание и убывание функции

Тема «Возрастание и убывание функций»

1. Теоретический материал

Одной из основных задач исследования функции является исследование ее на монотонность, т.е. исследование на возрастание и убывание. Это можно легко сделать с помощью производной.

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции y=f(x):

1. Найти область определения функции y=f(x), то есть D(f)

2. Найти производную функции, то есть

3. Приравнять полученную производную к нулю и решить уравнение, то есть решить уравнение

4. Полученные корни в уравнении отметить на числовой прямой, а также промежутки из области определения функции, выделить промежутки и найти знак на каждом промежутке, подставляя в производную.

5. Согласно признаку возрастания (убывания) функции, записать промежутки возрастания и убывания следующим образом: на том промежутке, где знак «+» функция возрастает; на том промежутке, где знак «-» функция возрастает.

1. Практический материал

Задача 2. Найти интервалы возрастания и убывания функции

Решение:

1. Находим область определения функции. Так как имеется логарифм, то все что находится внутри логарифма должно быть строго больше 0.

Значит

1. Находим производную этой функции

2. Решаем уравнение , приведем к общему знаменателю

Дробь равна нулю, когда числитель равен 0, а знаменатель нет. Поэтому

1. Полученные корни в уравнении отметить на числовой прямой, а также промежутки из области определения функции, выделить промежутки и найти знак на каждом промежутке (где работает область определения), подставляя в производную

Знаки в промежутках, не входящих в область определения, не находим

Ответ: на – функция убывает

на – функция возрастает

1. Выполнить упражнения

Найти промежутки возрастания и убывания для следующих функций.

а)

б)

в)