Возрастание и убывание функции

«Необходимое и достаточное условие возрастания и убывания функции. Экстремумы функции»

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной: если на некотором промежутке , то функция на этом промежутке возрастает; если же , то функция на этом промежутке убывает.

ПЛАН для нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = f(x)

1. Находим f’(x)

2. f’(x) = 0 (находим нули функции производной )

3. Отмечаем нули функции на числовой прямой, изображаем интервалы (вспоминаем метод интервалов)

4. Определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ на получившихся интервалах ( + или -)

Определяем монотонность функции:

• Если на промежутке мы получили знак + тогда функция y = f(x)возрастает (рисуем под эти интервалом стрелочку вверх)

• Если на промежутке мы получили знак - тогда функция y = f(x)убывает (рисуем под эти интервалом стрелочку вниз)

5. Записываем ответ (т.к. мы ищем промежутки возрастания или убывания функции, то в ответ мы запишем промежутки возрастания и промежутки убывания функции, а именно: y=f(x) возрастает, если х ∈…..).

Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции (заметьте, функцию можно обозначать различными способами):

а)

б)

в)

г)

Решение.

а) см. план

2х-8=0 = =4

Вычислив значения для любого значения (например, - подставили в f’значение х=5), заключаем, что на этом интервале производная , следовательно, функция производная , следовательно, на этом интервале функция убывает.

Ответ: y = f(x) возрастает, если х∈(4; +∞); y = f(x) убывает, если х∈(-∞;4).

1. ; корни производной , . Вычислив значения производной на отдельных интервалах, делаем относительно поведения функции заключение, проиллюстрированное рисунком;

Рисунок

1. Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки . Производная при всех значениях х из области определения функции, следовательно, функция убывает на интервалах ;

2. Область определения функции - интервал . Производная на этом интервале всегда положительна. Следовательно, функция является возрастающей на всей области определения.

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

Если слева от некоторого допустимого значения функция возрастает, а справа – убывает, то называется точкой максимума данной функции, т.е. функция при имеет максимум. Если слева от точки функция убывает, а справа – возрастает, то значение называется точкой минимума данной функции, т.е. функция при имеет минимум.

Точка максимума служит границей перехода функции от возрастания к убыванию, а точка минимума – границей перехода функции от убывания к возрастанию.

Необходимо отметить, что функция может иметь либо только один максимум (например, функция ) или только один минимум (например, функция ), либо множество максимумов и минимумов (например, , либо не иметь ни максимума, ни минимума (например, ).

Признаки максимума и минимума функции.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными.

Если при переходе через стационарную точку (такую, в которой производная функции равна нулю) функции ее производная меняет знак с положительного на отрицательный, т.е. слева от точки значение , а справа от точки значение , то точка является точкой максимума функции .

Если при переходе через стационарную точку функции ее производная меняет знак с отрицательного на положительный, то точка является точкой минимума функции .

Признаки экстремума функции являются необходимыми и достаточными.

Отметим, что функция может имеет экстремум в точке, в которой эта функция не имеет производной (в качестве примера можно указать функцию ; не существует; - точка минимума функции). Стационарные точки, а также такие, в которых функция не имеет производной, в совокупности называются критическими точками этой функции.

Существуют функции, в которых первая производная, обращаясь в нуль при , не меняет знака при переходе аргумента через . В таком случае функция в этой точке не имеет экстремума.

Практические правила исследования функции на максимум и минимум с помощью первой производной. Необходимо придерживаться следующего алгоритма:

1. Найти производную функции .

2. Найти критические точки функции , т.е. точки, в которых обращается в нуль.

3. Исследовать знак производной . При этом критическая точка есть точка минимума или максимума (в зависимости от ситуации), если производная меняет знак при переходе через . Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой , знак производной не меняется, то в точке функция не имеет ни максимума, ни минимума.

4. Вычислить значения функции в точках максимума и минимума (вычислить f( ))

Пример.

Исследовать на экстремум функцию:

1) ;

2) ;

3) .

Решение

1. Находим .

, =2x-4 = 0= - критическая точка

-

+

(подставим 0: ).

2

х

min

Ответ: т. min ( 2; -4)

1. Находим .

= - критическая точка

Чтобы выяснить знаки подставим 0:

+

-

(имеем слева от 2,5 знак +)

2,5

х

max

Ответ: т. max (2,5; 0,25)

1. Находим .

= = 0 = , - критические точки

+

-

+

0

х

max

2

min

(так как мы находим знаки производной, то легко заметить, что графиком - есть парабола, ветвями вверх, по этому знаки + - + )

Ответ: т. max (0, 0); т. min (2, -4)