«Необходимое и достаточное условие возрастания и убывания функции. Экстремумы функции»
Возрастание и убывание функции
характеризуется знаком ее производной: если на некотором промежутке
, то функция на этом промежутке возрастает; если же
, то функция на этом промежутке убывает.
ПЛАН для нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = f(x)
1. Находим f’(x)
2. f’(x) = 0 (находим нули функции производной
)
3. Отмечаем нули функции на числовой прямой, изображаем интервалы (вспоминаем метод интервалов)
4. Определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ на получившихся интервалах ( + или -)
Определяем монотонность функции:
-
Если на промежутке мы получили знак + тогда функция y = f(x)возрастает (рисуем под эти интервалом стрелочку вверх)
-
Если на промежутке мы получили знак - тогда функция y = f(x)убывает (рисуем под эти интервалом стрелочку вниз)
5. Записываем ответ (т.к. мы ищем промежутки возрастания или убывания функции, то в ответ мы запишем промежутки возрастания и промежутки убывания функции, а именно: y=f(x) возрастает, если х ∈…..).
Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции (заметьте, функцию можно обозначать различными способами):
а)
б)
в)
г)
Решение.
а) см. план
2х-8=0 =
=4
Вычислив значения
для любого значения
(например,
- подставили в f’значение х=5), заключаем, что на этом интервале производная
, следовательно, функция
производная
, следовательно, на этом интервале функция
убывает.
Ответ: y = f(x) возрастает, если х∈(4; +∞); y = f(x) убывает, если х∈(-∞;4).
-
; корни производной
,
. Вычислив значения производной на отдельных интервалах, делаем относительно поведения функции заключение, проиллюстрированное рисунком;
Рисунок
-
Областью определения функции
является вся числовая прямая, кроме точки
. Производная
при всех значениях х из области определения функции, следовательно, функция убывает на интервалах
;
-
Область определения функции
- интервал
. Производная
на этом интервале всегда положительна. Следовательно, функция
является возрастающей на всей области определения.
Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.
Если слева от некоторого допустимого значения
функция
возрастает, а справа – убывает, то
называется точкой максимума данной функции, т.е. функция
при
имеет максимум. Если слева от точки
функция
убывает, а справа – возрастает, то значение
называется точкой минимума данной функции, т.е. функция
при
имеет минимум.
Точка максимума служит границей перехода функции от возрастания к убыванию, а точка минимума – границей перехода функции от убывания к возрастанию.
Необходимо отметить, что функция может иметь либо только один максимум (например, функция
) или только один минимум (например, функция
), либо множество максимумов и минимумов (например,
, либо не иметь ни максимума, ни минимума (например,
).
Признаки максимума и минимума функции.
Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными.
Если при переходе через стационарную точку (такую, в которой производная функции равна нулю)
функции
ее производная меняет знак с положительного на отрицательный, т.е. слева от точки
значение
, а справа от точки
значение
, то точка
является точкой максимума функции
.
Если при переходе через стационарную точку
функции
ее производная меняет знак с отрицательного на положительный, то точка
является точкой минимума функции
.
Признаки экстремума функции являются необходимыми и достаточными.
Отметим, что функция может имеет экстремум в точке, в которой эта функция не имеет производной (в качестве примера можно указать функцию
;
не существует;
- точка минимума функции). Стационарные точки, а также такие, в которых функция не имеет производной, в совокупности называются критическими точками этой функции.
Существуют функции, в которых первая производная, обращаясь в нуль при
, не меняет знака при переходе аргумента через
. В таком случае функция в этой точке не имеет экстремума.
Практические правила исследования функции на максимум и минимум с помощью первой производной. Необходимо придерживаться следующего алгоритма:
-
Найти производную
функции
.
-
Найти критические точки функции
, т.е. точки, в которых
обращается в нуль.
-
Исследовать знак производной
. При этом критическая точка
есть точка минимума или максимума (в зависимости от ситуации), если производная меняет знак при переходе через
. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой
, знак производной не меняется, то в точке
функция не имеет ни максимума, ни минимума.
-
Вычислить значения функции в точках максимума и минимума (вычислить f(
))
Пример.
Исследовать на экстремум функцию:
1)
;
2)
;
3)
.
Решение
-
Находим
.
, =2x-4 = 0=
- критическая точка
-
+
Слева от точки

производная

имеет отрицательные значения, справа – положительные
(подставим 0:
).
2
х
min
Ответ: т. min ( 2; -4)
-
Находим
.
=
- критическая точка
Чтобы выяснить знаки подставим 0:
+
-
(имеем слева от 2,5 знак +)
2,5
х
max
Ответ: т. max (2,5; 0,25)
-
Находим
.
=
= 0 =
,
- критические точки
+
-
+
0
х
max
2
min
(так как мы находим знаки производной, то легко заметить, что графиком
- есть парабола, ветвями вверх, по этому знаки + - + )
Ответ: т. max (0, 0); т. min (2, -4)