Возрастание и убывание функции

Класс: 10

Тема урока: «Возрастание и убывание функций».

Тип урока: урок изучения и первичного применения нового материала.

Цели урока:

- Образовательная: систематизирование знаний учащихся по данной теме; формирование навыков выполнения заданий разного уровня сложности; работа самостоятельно и в коллективе;

- Развивающая:  расширение кругозора, развитие интереса к математике;

- Воспитательная: создание положительной мотивации к изучению математики, воспитание ответственности;

Оборудование: презентация, компьютер, мультимедийный проектор.

Ход урока

Орг. момент

Проверка готовности учащихся к уроку.

Приветствие.

ХОД УРОКА

I. Актуализация опорных знаний

– Дайте определение функции.
– Какой формулой задаются функции, графики которых изображены на чертеже.

II. Формирование новых знаний

На рисунке 1 изображен график некоторой функции у = f (х), область определения которой – промежуток [–5; 4].
При возрастании значений X от –5 до 1 значения Y возрастают, а при возрастании значений X от 1 до 4 значения Y убывают. Говорят, что функция у = f (х) на промежутке   [–5; 1] возрастает, а на промежутке [1; 4] – убывает.

Эталоны:

Функция f(х) называется возрастающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х₁ и х₂множества Х, таких, что х₂  х₁, выполняется неравенство f(х₂)  f(х₁).

Функция (х) называется убывающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х₁ и х₂множества Х, таких, что х₂  х₁, выполняется неравенство f(х₂)    f(х₁).

Функцию возрастающую на множестве Х или убывающую на множестве Х, называют монотонной на множестве Х.

Выясним характер монотонности некоторых видов функций:
Функция f(х) = – возрастающая. Докажем это.
Выражение имеет смысл лишь при х  0. Поэтому D(f) = [0; +). 
Пусть х₂  х₁  0. Рассмотрим разность f(х₂) – f(х₁) и преобразуем ее: 

f(х₂) – f(х₁) =  – = ( – ) ( +) / ( +) = .

Числитель и знаменатель дроби – положительные числа. Это следует из того, что х₂  х₁  0,  0 и  0. Значит, f(х₂) – f(х₁)  0, то есть f(х₂)  f(х₁). Поэтому функция f(х) возрастающая.

III. Работа в парах (карточки с элементами частично – поисковой деятельности):

Выяснить характер монотонности линейной функции f(х) = k x + b, при k  0 и k 

Выяснить характер монотонности степенной функции f(х) = хⁿ, при четном n.

Выяснить характер монотонности степенной функции f(х) = хⁿ, при нечетном n.

Выяснить характер монотонности обратной пропорциональности f(х) =  при k 0 и k 

Учащиеся в парах исследуют функции на монотонность, после чего делаем выводы: 
Линейная функция, то есть функция, заданная формулой  f(х) = k x + b, при k  0 является возрастающей, а приk Степенная функция f(х) = хⁿ с натуральным показателем n при четном n возрастает на промежутке [0; + ) и убывает на промежутке (– ; 0]. При нечетном n функция f(х) = хⁿ возрастает на всей области определения, то есть на промежутке (– ; +).

Обратная пропорциональность, то есть функция f(х) =  в каждом из промежутков (– ; 0) и (0; + ) при k  0 убывает, а при k 

Рассмотрим некоторые свойства монотонных функций

Монотонная функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента.

Если функция у = f (х) является возрастающей (убывающей), то функция у = – f(х) является убывающей (возрастающей).

Сумма двух возрастающих функций является возрастающей, а сумма двух убывающих функций является убывающей функцией.

Если обе функции f и g возрастающие или обе убывающие, то функция (х) = f(g(х)) – возрастающая функция.

Если функция у = f(х) монотонна на множестве Х и сохраняет на этом множестве знак, то функция g(х) =  на множестве Х имеет противоположный характер монотонности.

IV. Формирование практических умений

Приведем примеры использования свойств монотонных функций:

Пример 1. 

Выясним, в скольких точках прямая у = 9 пересекает график функции f(х) = + + .

Решение:

Функции у = , у =  и  у = – возрастающие функции (свойство 4). Сумма возрастающих функций – возрастающая функция (свойство 3). А возрастающая функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента (свойство 1). Следовательно, если прямая у = 9 имеет общие точки с графиком функции f(х) = + + , то только одну точку.
Подбором можно найти, что f(х) = 9 при х = 3. Значит, прямая у = 9 пересекает график функции  f(х) = + +  в точке М(3; 9).

Пример 2.

Решим уравнение  х³ – + = 0.

Решение:

Легко видеть, что х = 1 – корень уравнения. Покажем, что других корней это уравнение не имеет. Действительно, область определения функции у = х³ – + – множество положительных чисел. На этом множестве функция возрастает, так как каждая из функций у = х³,  у = –  и у =  на промежутке (0; +) возрастает. Следовательно, данное уравнение других корней, кроме х = 1, не имеет.

Задания для работы в парах:
Определите характер монотонности функции:

у = –  

у = – 

у =  + 

у = + 

Работая в парах учащиеся проговаривают друг другу какие свойства монотонных функций использовали.
Решите уравнение:  х⁵ + х³ + х = – 42.
Решите систему уравнений: 

V. Итог урока

Контрольные вопросы:

Сформулируйте определение возрастающей и убывающей функций на множестве Х.

Какая функция называется монотонной на множестве Х?

Приведите примеры возрастающей и убывающей функций.

VI. Домашнее задание 

1. Докажите, что функция g(х) является убывающей функцией:

а) g(х) = , где х  – .
б) g (х) = .

2. Докажите, что функция f(х) является возрастающей функцией:

а) f(х) = .
б) f(х) = (х – 2)², где х  2.

 3. Решите уравнение:   х² + –  = 15.