Вписанные и описанные многоугольники

ВПИСАННЫЕ И О ПИСАНН Ы Е

МНОГОУГОЛЬНИКИ

ПОВТОРИМ И ОБОБЩИМ ИЗУЧЕННОЕ РАНЕЕ

Решаем задачи огэ

Геометрия, 8,9 класс.

ВПИСАННЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК –

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ –

Определение

Вписанным в окружность называется многоугольник, все вершины которого лежат на окружности.

Окружность в этом случае называется описанной

1. Какие фигуры «лишние», не соответствуют определению?

а)

г)

в)

б)

д)

е)

ж)

з)

ПОВТОРИМ И ОБОБЩИМ ИЗУЧЕННОЕ РАНЕЕ

ВПИСАННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

1. Любой Δ можно вписать в окружность? (да)

2. Где лежит центр описанной около Δ окружности?

( центр – точка пересечения

серединных перпендикуляров ОК, ОЕ, ОМ )

Радиусы : R = ОА = ОМ = ОЕ

3 . Когда центр окружности,

описанной около Δ ,

- лежит вне Δ ?

( если Δ тупоугольный)

- лежит внутри Δ ?

( если Δ остроугольный)

4. Центр окружности , описанной

около прямоугольного Δ , –

середина гипотенузы с и

В

R

Е

К

R

О

С

R

М

R = ½ с

А

ОПИСАННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

1. В любой Δ можно вписать окружность? (да)

2. Где лежит центр вписанной в Δ

окружности?

( центр – точка пересечения

биссектрис углов Δ : AO , CO , BO )

Радиусы : r = О F = О D = ОЕ

OF  AC, OE  CB, OD  AB ,

3 . Радиус окружности , вписанной в прямоугольный Δ , равен:

c

b

а

ВПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

1. Около любого четырёхугольника можно описать окружность? (нет)

2. Когда можно описать окружность около четырёхугольника?

(тогда и только тогда, когда суммы его

противоположных углов равны 180˚,

т.е.  А +  С = 180˚,  В +  D = 180˚)

Окружность можно описать около:

- квадрата ( центр – точка пересечения диагоналей ,

диаметр – диагональ)

- прямоугольника ( центр – точка пересечения диагоналей,

диаметр – диагональ)

- равнобокой трапеции

С

В

D

А

ОПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

• В любой четырёхугольник можно вписать окружность ?

(нет)

• Когда можно вписать окружность в четырёхугольник ?

(тогда и только тогда, когда суммы его

противоположных сторон равны, т.е.

AB + CD = BC + AD

• Окружность можно вписать в:

- квадрат ( центр – точка пересечения диагоналей,

диаметр равен стороне квадрата)

- ромб ( центр – точка пересечения диагоналей,

диаметр равен высоте ромба)

- некоторые трапеции

ОПИСАННЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК –

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ –

Определение

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Окружность в этом случае называется вписанной

1. Какие фигуры «лишние», не соответствуют определению?

в)

б)

а)

е)

д)

г)

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и описать окружность около него.

Центры этих окружностей совпадают

В правильном многоугольнике

˚

α =

α

Как найти угол правильного

n - угольника ?

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ

1)

Найти радиус окружности,вписанной в квадрат

со стороной 4см.

Найти сторону квадрата, описанного около окружности

радиуса 3 .

2)

3)

Найти высоту трапеции, в которую вписана

окружность радиуса 5 .

4)

Около окружности описана трапеция, периметр

которой равен 18 см. Найти её среднюю линию.

5)

В трапецию вписана окружность .Три последовательные стороны трапеции равны 6м; 5м; 12м. Найти периметр трапеции.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник,

делит в точке касания одну из боковых сторон на

два отрезка, которые равны 4 см и 3 см, считая

от вершины . Найдите периметр треугольника.

6)

[ ОТВЕТЫ. 1) 2см; 2) 6; 3) 10; 4) 4,5см; 5) 13м; 6) 20см ]

ИТОГ УРОКА

ПРОВЕРЬ СВОИ ЗНАНИЯ

1. Дать определение вписанного многоугольника.

• Дать определение описанного многоугольник

ТРЕУГОЛЬНИКИ

• Какая точка является центром описанной около Δ окружности?

4. Центр окружности, описанной около остроугольного Δ , лежит …

• Центр окружности, описанной около прямоугольного Δ , лежит…

Формула : R = …

• Центр окружности, описанной около тупоугольного Δ , лежит…

7. Какая точка является центром вписанной в Δ окружности ?

8. Формула для радиуса вписанной в прямоугольный Δ

окружности: r = …

9*. Какой вид имеет Δ ,если:

а)центры вписанной в Δ и описанной около Δ окружностей совпадают?

б)центры вписанной в Δ и описанной около Δ окружностей, лежат на

одной из его высот?

9

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ

10. В какой четырёхугольник можно вписать окружность?

11. Можно ли вписать окружность в ромб? квадрат? параллелограмм?

прямоугольник? трапецию?

12. При каком условии около четырёхугольника можно описать

окружность? (Записать формулы)

13. Можно ли описать окружность около ромба? квадрата?

параллелограмма? прямоугольника? трапеции?

14. В какой многоугольник всегда можно вписать окружность и можно

описать около него окружность?

Что можно сказать о центрах вписанной и описанной

окружностей в этом случае?

15. Какой угол называется центральным? ( записать формулу для

нахождения центрального угла правильного многоугольника)

МНОГОУГОЛЬНИКИ