Введение в теорию вероятности

Введение в теорию вероятности

Существует версия, что теория вероятностей как раздел математики возникла в 1654 году в результате переписки между Паскалем и Ферма по поводу задачи французского дворянина де Мере, заставившей Паскаля заняться изучением случайных событий. Попытки с помощью чисел описывать случайные явления, оценивать шансы их появления, измерять возможные результаты будущих событий, конечно, предпринимались гораздо раньше.

Главными источниками появления теории вероятностей были статистическая обработка результатов наблюдений и азартные игры.

В разных странах в разные эпохи делались попытки переписи населения, регистрировались даты рождения и смерти людей. Затем эти данные анализировались. Примером серьезной математической обработки такого рода данных могут служить опубликованные в начале XVII века в Англии таблицы длительности жизни, основанные на анализе 57 годовых отчетов о смертности в Лондоне. Например, в этих публикациях была представлена следующая таблица, показывающая число людей, достигающих определенного возраста:

Из такого рода анализов делались выводы о средней продолжительности жизни, о различиях между группами населения и т.п. Английские таблицы вызвали большой интерес в научном мире. Так, знаменитый нидерландский физик и математик Гюйгенс в письме своему брату (1669 г.) Писал, что на основании этих таблиц он подсчитал, что проживет до 55 лет, а его брат до 56,5. Конечно, такого рода «математические выводы» вступали в противоречие со здравым смыслом и еще не являлись частью математической науки, однако чуть позже французский математик Лаплас, которому принадлежат фундаментальные результаты в теории вероятностей, сказал, что «эта наука есть не что иное, как здравый смысл, сведенный к вычислениям».

Стоит отметить еще один важный для теории вероятностей источник статистических данных - это отчеты страховых компаний по защите интересов купцов, особенно в связи с частыми кораблекрушениями. Знаменитая лондонская морская контора Ллойда, открытая во второй половине XVII века, надежно гарантирует выплаты страховки, и эти гарантии, конечно, должны быть основаны на достаточно точных закономерностях.

Теперь обратимся к азартным играм. Слово азарт происходит от французского hazard, означающего случай, риск. В азартных играх выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности. Французский дворянин де Мере был азартным игроком. Он написал письмо Паскалю, в котором просил ответить на ряд вопросов, возникающих у него в связи с игрой в кости. Де Мере хотел знать, сколько нужно сделать бросков кости, чтобы шансы появления заданного числа стали предпочтительнее шансов их непоявления (как сейчас бы сказали, чтобы вероятность появления превысила половину). Легко подсчитать, что при бросании одной кости для предпочтительного появления, скажем, шестерки надо сделать 4 броска (числа 671 и 625, нужные для этого вывода, и неравенство между ними приводятся в письме как очевидные попробуйте разобраться в этом самостоятельно).

Итак, если есть 6 равноправных результатов, то имея одну кость, надо сделать 4 броска для предпочтительного появления фиксированного результата. Более сложные подсчеты возникали, если бросали сразу две кости. Де Мере пытался определить, сколько нужно сделать бросков, чтобы шансы получить, скажем, пару шестерок стали предпочтительными. Так как число возможных результатов при одном броске возросло до 36, то де Мере подсчитал, что надо пропорционально увеличить и число этих бросков, т.е. найти х из пропорции 36 : х = 6 : 4, откуда х = 24. Однако из опыта он знал, что х = 25, и назвал это противоречие «большим скандалом» для математики. Приведем перевод выдержки из письма Паскаля Ферма: «Вот одна из головоломок де Мере. Он умный человек, но не математик, и это, как вы увидите, привело его к ошибкам. Он сказал мне, что обнаружил противоречие в теории чисел».

Конечно, Паскаль быстро дал математически правильный ответ на эту задачу де Мере (ответ действительно равен 25 хороший опыт точнее плохой математики). В ходе возникшей переписки между Паскалем и Ферма и были сформулированы некоторые общие правила, которые легли в основу теории вероятностей как науки.