"Вычисление определенного интеграла"

Категория: Алгебра

Определенный интеграл – Это число, значение которого вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:

 - это значение первообразной функции   в точке  , и, соответственно,   - это значение первообразной функции   в точке  .

Просмотр содержимого документа
«"Вычисление определенного интеграла"»

Лекция №15

Тема: Вычисление определенного интеграла.

План.

  1. Определение определенного интеграла.

  2. Геометрический смысл определенного интеграла

  3. Примеры определенного интеграла.

Определенный интеграл – Это число, значение которого вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:

 - это значение первообразной функции  в точке , и, соответственно,  - это значение первообразной функции  в точке .

Геометрический смысл определенного интеграла:

Определенный интеграл - это число, равное площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной сверху графиком положительной на отрезке функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.

 

Если функция y = f(x) неположительная на отрезке [a; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена как .

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 4 Вычислить интеграл

Решение.

На основании формулы произведения синусов, таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

 

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Сделаем замену ex + 4 = t2, тогда ex= t2– 4, ex dx = 2t dt,  

Если x= ln5, то t = 3; если x= ln12, то t = 4. Тогда

Пример 6. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Сделаем подстановку t = cosx

Если x = 0, то t = cos 0 = 1, если

Следовательно

Пример 8. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Найдем пределы по t:

Находим

Следовательно,

Пример 9. Вычислить интеграл

Решение.

Хороший метод решения интегралов, это метод занесения под дифференциал, его плюс состоит в том, что не требуется менять пределы интегрирования

Пример 10. Вычислить интеграл

Решение. На основании таблицы основных интегралов и формулы (3) имеем (интегрируем по частям)

























Самостоятельная работа по теме «Интеграл»



Уровень

1 - Вариант

2 - Вариант

1 - 2

1. Что такое интеграл ?

2. Верно ли, что

1. Напишите формулу Ньютона – Лейбница.

2. Верно ли, что





3 - 6

Вычислите интегралы


Вычислите интегралы







7 - 10

Вычислите интегралы





Вычислите интегралы





Условия оценки

  1. Выполнение заданий каждого уровня оценивается соответствующей оценкой.

  2. Можно выполнять задания из разных уровней. При этом будет учитываться сложность примеров и количество верно решённых заданий.

  3. Оценка повышается в случае выполнения заданий более высокого уровня.








Скачать

Рекомендуемые курсы ПК и ППК для Вас