Задача 11 ЕГЭ. Сплавы и смеси.

Задание 11 ЕГЭ.

Смеси и сплавы.

В задачах на смеси и сплавы важно уметь определять концентрацию вещества.

Концентрация вещества в растворе (смеси, сплаве) – это отношение массы или объёма вещества к массе или объёму всего раствора (смеси, сплава).

Как правило, концентрация выражается в процентах.

Что такое масса раствора, смеси, сплава? 

Сейчас будет несколько очевидных мыслей. С точки зрения химии и физики – они не всегда выполняются, но для удобства и простоты, при составлении задач для ЕГЭ придерживаются именно этих предпосылок. Главное, чтобы вы не впали в ступор на экзамене, пытаясь понять, что же составители имели в виду.

Мысль 1.

Если мы смешаем 3 литра апельсинового сока и 7 литров воды, то получим 10 литров апельсинового нектара (сделаем предположение, что смешивание происходит в автоматическом режиме, а не вручную).

Мысль 2.

Если мы смешаем 6 литров яблочного сока и 6 литров персикового сока – то получится 12 литров яблочно-персикового сока.

И ещё одна очевидность (последняя).

Мысль 3

Если мы смешаем 3 литра яблочного сока с 10% мякоти (0,3 л), и 5 литров яблочного сока с 5% мякоти (0,25 л), то получим 8 литров сока с 0,55 л мякоти (0,3+0,25).

Перейдём к задачам.

Задачи на смеси и сплавы.

Задачи на смеси и сплавы бывают двух основных видов:

1. Две смеси определённой массы с некоторой концентрацией вещества сливают вместе. Нужно определить массу и концентрацию этого вещества в новой смеси.

2. В некоторый раствор, с некоторой концентрацией вещества, добавляют, например, чистую воду (с нулевой концентрацией этого вещества). Нужно определить, какой стала концентрация вещества.

Строго говоря, подход к решению от этого не меняется. Во втором случае мы тоже смешиваем две смеси, просто в одной концентрация вещества больше 0, а в другой равна 0.

Пример 1.

В 5% раствор кислоты массой 3,8 кг добавили 1,2 кг чистой воды. Чему стала равна концентрация раствора (в процентах)?

Решение:

1. Для начала вычислим, сколько кислоты содержится в 5% растворе. Из 3,8 кг 5% - это кислота, а значит в растворе 0,05⋅3,8=0,19 кг кислоты.

2. Далее определим массу нового раствора. Как мы уже знаем – масса раствора равна массе его составляющих, т.е. 3,8 кг + 1,2 кг = 5 кг.

3. Поскольку в чистой воде кислоты нет, то в новом растворе количество кислоты не изменилось – 0,19 кг. Таким образом, концентрация кислоты стала равна .

Ответ: 3,8.

Теперь попробуем решить задачу посложнее.

Пример 2.

Смешали 3 кг  5%-го водного раствора щелочи и 7 кг  15%-го водного раствора щелочи. Какова концентрация вновь полученного раствора? Ответ дайте в процентах.

Решение:

Давайте попробуем визуализировать ситуацию. 3 кг 5%-го водного раствора. Значит воды в этом растворе 95%.

Нарисуем:

А теперь второй раствор:

После смешивания, вновь получившийся раствор весит 3 кг + 7 кг = 10 кг. Обозначим количество щелочи в новом растворе за x, а количество воды – (10−x):

 Теперь выразим количество щелочи в этих двух растворах в килограммах. В первом растворе – 0,05⋅3 = 0,15 кг щелочи и 3−0,15 = 2,85 кг воды, во втором 0,15⋅7 = 1,05 кг щелочи и 7−1,05 = 5,95 кг воды:

Из картинки видно, что количество щелочи в новом растворе равно сумме весов кислоты в старых растворах: x = 0,15+1,05 = 1,2 кг кислоты.

Теперь, зная количество щелочи в новом растворе и зная его массу, мы можем легко определить концентрацию:

Ответ: 12%

Визуализация приведена только для наглядности. На экзамене же можно кратко записать решение задачи:

Такую же визуализацию удобно использовать в любых задачах на растворы, смеси и сплавы.

Пример 3.

Чернослив содержит 25% влаги. Его получают из сливы, содержащей 90% влаги, путём сушки. Сколько нужно килограммов сливы, для получения 5 кг чернослива?

Решение: Давайте попробуем нарисовать.

1. Количество сухого (красного на рисунке) вещества не изменилось. Изменилась лишь его пропорция. Найдём его вес. Поскольку сухого вещества в черносливе – 100% − 25% = 75%, то масса сухого вещества составит – 0,75⋅5 кг = 3,75 кг.

2. Нам нужно взять такое количество сливы, чтобы в нем было 3,75 кг сухого вещества. Обозначим вес необходимого количества сливы за x. По условию мы знаем, что сухого вещества в сливе - 100% − 90% = 10%, т.е. 0,1⋅x кг, а нам нужно 3,75 кг. Получается, что 0,1x = 3,75. Значит, х = 37,5. Для получения 5 кг чернослива, нам нужно взять 37,5 кг сливы.

Ответ: 37,5.

Или, используя формулу концентрации: . Отсюда,

Пример 4.

Имеются два сплава серебра с медью. В первом содержится 10% серебра, во втором – 25%. Сколько килограммов второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы получить сплав с 20% содержанием серебра?

Решение:

1. Обозначим за x искомый вес второго сплава, а за y – массу получившегося сплава.

2. Масса серебра в первом сплаве –10%⋅10 кг = 0,1⋅10 кг = 1 кг, во втором - 25%⋅ x = 0,25x, в новом сплаве – 20%⋅ y = 0,2y.

3. Теперь у нас есть система уравнений, решив которую найдём искомый  x:   

1. Получается, что добавив в 10 кг 10%-го  сплава, 20 кг 25%-го сплава - мы получим 30 кг 20%-го сплава.

Ответ: 20.

Или, используя формулу концентрации: .

Подведём итоги.

Если вы заметили, во всех задачах мы сначала определяли, какое вещество влияет на концентрацию, назовём его «главным». А дальше следили за абсолютной величиной этого главного вещества (в килограммах, литрах). Если в раствор (сплав) что-то доливали, добавляли, то, в зависимости от состава «добавки», вес «главного» вещества либо изменялся, либо нет. Важно определить, что произошло с «главным» веществом, а дальше решение становится совсем простым.

А теперь попробуйте решить задачи самостоятельно.

1. Имеются два сплава с содержанием цинка 15% и 22%. Какова будет концентрация цинка, если сплавить 90 кг первого и 50 кг второго?

2. Сколько миллилитров 55%-го раствора уксуса нужно добавить к 500 мл 1%-го раствора, чтобы получить 5%-й раствор уксуса?

3. Смешали некоторое количество 12%-го раствора вещества с таким же количеством 22%-го раствора этого же вещества. Какова концентрация (в процентах) вещества в новом растворе?

4. В сосуд, содержащий 8 литров 14%-го раствора кислоты, добавили 12 литров воды. Сколько процентов кислоты содержится в новом растворе?

5. Сколько килограммов 17%-го сплава меди нужно добавить к 5 кг 10%-го сплава меди, чтобы получить 12%-й сплав?

6. В сосуд, содержащий 8 литров 35%-го водного раствора некоторого вещества, добавили 12 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

7. Вишня содержит 89% влаги, а высушенная вишня – 12%. Сколько килограммов вишни требуется для получения 15 кг высушенной?

8. Имеется два сплава. Первый содержит 12% меди, второй – 21% меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 19,2% меди. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

9. Имеется два сосуда. Первый содержит 5 кг, а второй – 15 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 21% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 22% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

1. Смешали некоторое количество 12%-го раствора уксуса с таким же количеством 6%-го раствора уксуса. Сколько процентов составляет концентрация уксуса в получившемся растворе?

2. Смешали некоторое количество 12%-го раствора уксуса с вчетверо большим количеством 9%-го раствора уксуса. Сколько процентов составляет концентрация уксуса в получившемся растворе?

3. Курага получается в процессе сушки абрикосов. Абрикосы содержат 84% воды, а курага – 20%. Сколько килограммов кураги получится из 45 кг абрикосов?

4. Свежие подосиновики содержат 78% воды, а сушёные – 12%. Сколько килограммов свежих подосиновиков требуется для получения 3 кг сушёных грибов?

5. Имеется два сплава. Первый содержит 20% олова, второй – 40% олова. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 250 кг, содержащий 36% олова. На сколько килограммов масса второго сплава больше массы первого сплава?

6. Имеется два раствора. Первый содержит 10% соли, второй – 20% соли. Из этих двух растворов получили третий раствор массой 50 кг, содержащий 12% соли. На сколько килограммов масса второго раствора меньше массы первого раствора?

7. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?

8. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько процентов воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

9. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

10. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащей 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал 40% меди?

11. Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845 г больше, чем меди. Если бы к нему добавить некоторое количество чистого серебра, по массе равное массы чистого серебра, первоначально содержавшегося в сплаве, то получился бы новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава и каково первоначальное процентное содержание в нём серебра?

12. Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находятся в отношении 1:2, в другом – 2:3. Сколько граммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 19 г сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 7:12?

13. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с 30%-ным содержанием никеля?

14. Имеются два сплава меди и цинка. В первом сплаве меди в 2 раза больше, чем цинка, а во втором меди в 5 раз меньше, чем цинка. Во сколько раз больше надо взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в 2 раза больше, чем меди?

15. Вычислите вес и процентное содержание серебра в сплаве с медью, зная, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а, сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат сплав, содержащий 84% серебра.

16. Два раствора, из которых первый содержит 0,8 кг, а второй 0,6 кг безводной серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Вычислите вес первого и второго растворов в смеси, если известно, что безводной серной кислоты содержится в первом растворе на 10% больше.

17. В двух сплавах медь и цинк относятся как 5:2 и 3:4 (по весу). Сколько нужно взять килограммов первого сплава и сколько второго, чтобы после совместной переплавки получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?

18. В двух сплавах медь и цинк относятся как 4:1 и 1:3. После совместной переплавки 10 кг первого сплава, 16 кг второго сплава и несколько килограммов чистой меди получили сплав, в котором медь и цинк относятся ка 3:2. Определить вес нового сплава.

19. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве?

20. Имеются два сплава с различным процентным содержанием свинца. Вес одного 6 кг, вес другого 12 кг. От каждого из них отрезали по куску равного веса, после чего сплавили их с остатком другого куска. В результате процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый отрезанный кусок?

21. От двух кусков сплава одинаковой массы, но с различным процентным содержанием меди, отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Во сколько раз отрезанный меньше целого?

22. Определить процент соли в растворе, если в 400 г раствора содержится 32 г соли.

23. Сколько сушёных груш получится из 50 кг свежих, если при сушке из свежих груш получается 15% сушёных?

24. Яблоко антоновка содержит 10,7% сахара. Сколько сахара содержится в 20 кг этих яблок?

25. Сколько сухой ромашки получится из 25 кг свежей, если она при сушке теряет 84% своей массы?

26. Мясо во время варения теряет 35% своего веса. Сколько следует взять сырого мяса, чтобы приготовить 130 порций варёного по 40 г в каждой порции?

27. Из 1 т медного колчедана, содержащего 2,5% меди, получено 22 кг меди. Сколько процентов меди удалось выделить и сколько процентов составили потери?

28. Сколько граммов йода содержится в 300 г его 6%-го раствора?

29. Сколько воды следует долить до 7,5 кг 12%-го раствора соли, чтобы получить 10%-ный раствор?

30. Сколько соли требуется добавить к 7,5 кг 12%-го раствора соли, чтобы получить 20%-ный раствор?

31. Имеется 735 г 16%-го раствора йода в спирте. Сколько граммов спирта следует долить к уже имеющемуся раствору, чтобы получить 10%-ный раствор?

32. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего его концентрация уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова была его концентрация?

33. До просушки влажность зерна была равна 23%, а после просушки оказалась равной 12%. На сколько процентов потеряло в весе зерно после просушки?

Ответы:

Решения:

1. Вишня содержит 89% влаги, значит, в ней 11% сухого вещества, в сушёной вишне 12% влаги, значит, в ней 88% сухого вещества. Тогда:

Значит, масса первого раствора 40 кг, а второго 200 – 40 = 160. Тогда масса первого раствора на 120 кг меньше массы второго.

1. Составим таблицы данных.

После смешивания растворов:

После смешивания равных масс этих растворов:

Составляем систему уравнений:

Значит, в первом растворе содержится 24% кислоты, а во втором – 20%. Тогда количество кислоты в первом растворе равно: кг.

1. Абрикосы содержит 84% влаги, значит, в них 16% сухого вещества, в кураге 20% влаги, значит, в ней 80% сухого вещества. Тогда:

1. Подосиновик содержит 78% воды, значит, в нём 22% сухого вещества, в сушёном подосиновике 12% воды, значит, в нём 88% сухого вещества. Тогда:

Значит, масса первого сплава 50 кг, а второго 250 – 50 = 200. Тогда масса первого сплава на 150 кг меньше массы второго.

Значит, масса первого раствора 40 кг, а второго 50 – 40 = 10. Тогда масса второго раствора на 30 кг меньше массы первого.

1. В 500 кг целлюлозной массы содержится 85% воды, значит, в ней 15% целлюлозы, т.е. кг. Нужно выпарить х кг воды из 500 кг целлюлозной массы так, чтобы в оставшихся кг содержалось 25% целлюлозы. Тогда:

1. Пусть масса серебра, содержащегося в сплаве, х кг, тогда масса меди по условию г; масса сплава - г. Если к сплаву прибавить г чистого серебра, то в новом сплаве массой г окажется серебра 83,5%. В новом сплаве серебра и это, по условию, составляет 83,5% от , т.е.

Итак, в сплаве содержится 2505 г чистого серебра, значит, масса сплава 3165 г. Процентное содержание серебра в сплаве будет равно

1. Пусть от первого сплава взяли х г, тогда от второго сплава взяли г. В первом сплаве золота г, а во втором сплаве золота г. По условию в 19 г нового сплава золота г. Итак,

Значит, от первого сплава взяли 9 г, а от второго 19 – 9 = 10 г.

1. Пусть х т металла взяли из одного сорта, тогда т взяли из другого сорта. Тогда

Значит, от одного сорта взяли 40 т, тогда от другого 140 – 40 = 100 т.

1. Пусть для получения нового сплава взяли х первого сплава и у второго сплава. В первом сплаве, по условию задачи, меди ; во втором сплаве меди . Новый сплав, имеющий массу , содержит меди . Значит,

Значит, второго сплава надо взять в 2 раза больше, чем первого.

1. Пусть вес сплава х кг, а процентное содержание серебра в этом сплаве у%. Тогда

Значит, вес сплава 3 кг, а процентное содержание серебра в этом сплаве 80%. Тогда, кг серебра в этом сплаве.

1. Пусть х кг вес первого раствора, тогда (10 – х) кг – вес второго раствора; у% – процентное содержание серной кислоты в первом растворе, тогда (у – 10)% – во втором растворе. По условию, 0,01ху = 0,8 кг, а 0,01(10 – х)(у – 10) = 0,6 кг. Решим систему уравнений:

Значит, вес первого раствора в смеси 4 кг, тогда вес второго 10 – 4 = 6 кг.

1. Пусть х кг – вес первого раствора, тогда вес второго раствора – (28 – х) кг. По условию известно, что меди в первом растворе содержится кг, во втором - кг, а в третьем - кг. Тогда:

Значит, первого раствора нужно взять 7 кг, а второго 28 – 7 = 21 кг.

В этой задаче мы составили уравнение по меди, но можно составить уравнение и по цинку.

1. В первом сплаве меди кг, цинка кг. Во втором сплаве меди кг, а цинка кг. Обозначим через х вес чистой меди, тогда вес третьего сплава равен (10 + 16 + х) = (26 + х) кг. В третьем сплаве меди кг, а цинка кг. Уравнение составляем либо по меди, либо по цинку:

Значит, вес чистой меди 9 кг, тогда вес третьего сплава 26 + 9 = 35 кг.

1. Пусть х% - содержание цинка в первом и во втором сплаве. Тогда меди в первом сплаве , а олова во втором сплаве . Зная, что новый сплав содержит 30% цинка, составляем уравнение:

Значит, цинка в первом и во втором сплаве по 30%, меди в первом сплаве 30%, олова во втором сплаве 44%. Тогда олова в первом сплаве кг, во втором сплаве кг, и в третьем сплаве кг.

1. Обозначим х% - содержание свинца в первом сплаве, у% - содержание свинца во втором сплаве, т кг – отрезанные куски от первого и от второго сплава, тогда кг осталось от первого сплава, кг – осталось от второго сплава. По условию известно, что после сплавки остатка первого сплава с отрезанным куском от второго; и остатка второго сплава с отрезанным куском от первого, содержание свинца в получившихся сплавах стало одинаковым. Составляем уравнение:

Значит, и от первого и от второго куска отрезали 4 кг.

1. Пусть имеются два сплава массой х кг с различным содержанием меди. Пусть в первом сплаве меди %, во втором сплаве меди %. От каждого сплава массой х кг отрезали одинаковые куски массой у кг. Далее, кг первого сплава сплавили с у кг второго сплава, а кг второго сплава сплавили с у кг первого сплава. В результате оба новых сплава имеют одинаковое процентное содержание меди. В кг первого сплава меди ; в у кг второго сплава меди. Значит, в первом новом сплаве массой х кг меди будет . Значит, процентное содержание меди в этом сплаве будет . Аналогично, в кг второго сплава и в у кг первого сплава меди будет . Процентное содержание меди в этом сплаве будет . По условию, процентное содержание меди в обоих кусках одинаково. Составляем уравнение:

Так как по условию , то

Значит, отрезанный кусок меньше целого в 2 раза.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. Пусть х кг необходимое количество свежего мяса, количество варёного мяса. Тогда , значит, .

6. Из 1 т = 1000 кг медного колчедана с содержанием меди 2,5% должно получиться кг меди. По условию задачи получено 22 кг меди, значит, удалось выделить, тогда потери составляют 12%.

7. 

1. Пусть х г первоначальный вес раствора, тогда концентрация соли в нём была . Когда прибавили к этому раствору 200 г, концентрация соли в нём стала . По условию, концентрация соли уменьшилась на 10%, значит,

Значит, первоначальный вес раствора 200 г, тогда воды в нём содержалось 160г, концентрация раствора была .

1. Пусть х - масса зерна до сушки, в нём воды 0,23х, следовательно, сухого зерна х - 0,23х = 0,77х. После сушки масса зерна стала у, воды в нём 0,12у, сухого зерна у - 0,12у = 0,88у. Приравняем количества сухого зерна до и после сушки

Значит, потери  составляют , в процентах это 12,5%

10