Задачи № 14 из сборника ЕГЭ 2016 под ред. Ященко И.В.

Из книги «ЕГЭ 2016 проф. уровень 36 вариантов под ред. Ященко»

Задания № 14 на призмы.

Вариант 2

В кубе ABCD все рёбра равны 5. На его ребре В отмечена точка К так, что КВ=4. Через точки К и проведена плоскость α, параллельная прямой В

а) Докажите, что = 3:1, где Р – точка пересечения плоскости α с ребром .

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани .

Решение

а) Через точку К проведём прямую параллельную прямой В, она пересекает в точке М. Рассмотрим ∆ В, он подобен ∆К с коэффициентом подобия =5.

М В==5, КМ=, = =

К В верхней грани куба ∟ . По т. косинусов в ∆

М ²=+-2·М =

Найдем из ∆ по т. косинусов cos∟== ..

В ∆-1= по определению тангенса =, тогда .

- = 5- = . Найдём отношение = = = 3:1. Ч.Т.Д.

б) Введём систему координат, где т.В – начало системы координат, на оси абсцисс лежит отрезок АВ, на оси ординат отрезок ВС, на оси апликат отрезок В. Найдём уравнение плоскости α, проходящей через точки К(0;0;4), (0;5;5) и Р(1,25; 0; 5). Получим систему:

Уравнение плоскости 4x+y-5z+20=0, =

Составим уравнение плоскости грани . Вектор перпендикулярный этой плоскости имеет координаты =. Найдём косинус угла между этими плоскостями по формуле:

. cos φ = , sin φ = , tg φ = .

Тогда угол между плоскостями равен arccos или arcsin или arctg .

Ответ: arccos или arcsin или arctg .

Вариант 9

В правильной треугольной призме АВС стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 2, точка D – середина ребра С.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей АВС и АD.

б) Найдите угол между плоскостями АВС и AD

Решение

а) Луч ВС пересекает луч D в точке К, АК – прямая пересечения плоскостей АВС и АD.

б) ∆=∆КСD по катету и прилежащему острому углу. (вертикальные углы при вершине D равны и отрезки как D – середина стороны С.

В ∆ АВК: ВК=10, АВ=5, ∟В=60°(правильный ∆АВС) = по т. косинусов АК= = 5. По теореме обратной теореме Пифагора ВК²=АВ²+АК². Значит ∆АВК прямоугольный, с ∟А=90°.

Чтобы найти угол между плоскостями АВС и AD к прямой АК из вершин В и . Это будет угол ВН, но так как ∆АВК прямоугольный, то точка Н совпадает с точкой А. Значит искомый угол = ∟АВ. tg∟АВ = = ∟АВ = arctg 0,4.

Ответ: arctg 0,4.

Вариант 11

Дан куб ABCD.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки В, и .

б) Найдите угол между плоскостями .

Решение

а) Построим сечение: проведём прямую, параллельную и проходящую через точку – это прямая ВС- сечение куба плоскостью, проходящей через точки В, и .

б) Двугранный угол между плоскостями соответствует линейному углу НР. (Общая прямая для плоскостей - В, равносторонний ∆: является высотой, медианой и биссектрисой. РН┴ В.) Пусть сторона куба =а, тогда РН=а. По теореме Пифагора из ∆ Н Н= = а. Из ∆: Р=а/.

∆РН – прямоугольный. cosНР = РН/, cosНР = или tg НР = .

Тогда НР = arccos = arctg.

Ответ: arccos или arctg.

Вариант 29

На рисунке изображен многогранник, все двугранные углы которого прямые.

а) Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и .

б) Найдите площадь этого сечения.

Решение

а) Построим сечение

Проведём прямую В и прямые параллельные ей и проходящие через точки А, и . Сечение представляет собой многоугольник АВМР.

б) Найдём площадь сечения через разность площади прямоугольника АВ и прямоугольника МР. Так как ВС-квадрат, В – диагональ и бис-са, а прямая, проходящая через точки , делит прямоугольник пополам, то Р и М являются серединами отрезков и соответственно.

По т. Пифагора из ∆ СВ В= .

В ∆ М: М=2, =2 = М=

Зная, что РМ=1, =3, находим: S = = 10

Ответ: 10.

Вариант 33

В правильной шестиугольной призме ABCDEF все рёбра равны 1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки В, F.

б) Найдите расстояние от точки В до прямой F.

Решение

а) Точки В и лежат в одной плоскости, соединим их отрезком,

F// В, . - сечение призмы плоскостью, проходящей через точки В, F.

б) Необходимо найти длину перпендикуляра ВН. По теореме косинусов из ∆ ABF найдем BF.

BF= = . По т. Пифагора из ∆ВС В== .

∆ – прямоугольный, значит высота равна отношению произведения катетов к гипотенузе. Найдём по т. Пифагора гипотенузу == . Тогда высота ВН= ()/ = .

Ответ: .