Задачи № 26 из огэ по математике

Несколько задач №26 из ОГЭ по математике

1. В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS , если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 12 ,SQ = 9.

Решение:

Q

P

S

M

N

Из условия угол PNQ = углу QNM, а угол PNQ = углу PMQ как вписанные и опирающиеся на одну дугу, а ∆PQM равнобедренный и PQ = QM = 12. У ∆SQM и ∆NQM NQM общий, QNM = PMQ, значит ∆SQM ∆NQM по дум углам, а значит сходственные стороны этих треугольников пропорциональны:

Ответ: SN =7.

2. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение: B K C

O

R S

А ll D

T L M

Окружность вписана в трапецию, значит из точек A,B,C,D к окружности проведены касательные, которые касаются к окружности в точках RKSL. По свойству касательных отрезки BK = BR, CK = CS, DL = DS, AR = AL. Трапеция равнобедренная, а значит AB = CD  AR + BR = CS + SD  BC + AD = AB + CD BC + AD = 120: 2 = 60. Площадь трапеции вычисляется как полусумма оснований на высоту. KL = h – высота. Значит (BC + AD)/2 = 540  30h = 540  h = 18. Проведем из точки С перпендикуляр к AD. Длина СM = KL = 18, CD = 30. Треугольник CMD прямоугольный. Найдем в треугольнике катет MD по теореме Пифагора. Треугольник ATB = MCD, значит AT = MD. AD + BC = 2AT + BC + BC = 60  BC = 6. Тогда AD = 56 В трапеции треугольники BOC и AOD подобны по углам BOC и AOD - вертикальные, углы OCB и OAD накрестлежащие. Сходственные элементы треугольников пропорциональны.

Ответ: OK = 1,8

3. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K , длина стороны AC относится к длине стороны AB как 9:7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

B

K P

A M C

Решение: Отрезок AP биссектриса угла A как треугольника ABC так и треугольника ABM. Биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сторону на части пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Значит AB : BC = PC : PB = 9 : 7. BM – медиана, значит AM = MC = 0,5AC = AM : AB = MK : KB. Пусть площадь треугольника AKM = S, такая же площадь и у треугольника MKC, так как медиана делит треугольник на два равновеликих(одинаковой площади) треугольника. Одинаковые площади по той же причине будут у ABM и MBC. Треугольники AKM и AKB имеют одну высоту, значит S_AKM : S_AKB = KM : KB; S_CKP : S_ABP = PC : PB. . ,

Ответ:

4. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен . Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC. B

P

C A

Решение: Пусть CP = h, тогда

, где , , Получим Значит BP =

Значит

, , ,

Ответ: