Задачи и упражнения по математике.

Задачи и упражнения

Вы хотите, чтобы ваши дети были способными

и талантливыми? Тогда помогите им сделать

первые шаги по ступенькам творчества, но…

не опаздывайте и, помогая … думайте сами

Б.П.Никитин

стр.

1. Задачи и упражнения на развитие творческого мышления. 2 – 4

2. Ответы и решения задач на развитие творческого мышления. 5 - 7

3. Задачи «Водолея». 8 – 10

4. Ответы и решения задач «Водолея». 11 - 14

5. Задачи на логическое мышление. 15 - 17

6. Ответы и решение задач на логическое мышление. 18 - 20

7. Задачи с площадями. 21 - 23

8. Ответы и решения задач к разделу «задачи с площадями». 24 - 26

9. Задачи «почти без вычислений». 27 - 30

10. Ответы и решения задач «почти без вычислений». 30 - 32

11. Задачи на составление системы уравнений или сравнение. 33 – 35

12. Ответы и решения задач на составление системы уравнений

или сравнение. 36 – 38

13. Игры, числовые головоломки. 39 – 41

14. Ответы и решения к разделу «игры, числовые головоломки» 42 – 44

15. Задачи для 8 – 9 классов. 45 - 49

16. Ответы и решения к разделу «задачи для 8 – 9 классов». 50 - 54

Уважаемые коллеги!

Данный сборник задач и упражнений создан как помощник учителя ТРИЗ. Он позволит проводить занятия в интересной, увлекательной форме. Основная его задача – учить логике мышления на примере решения задач и упражнений, где применяются и углубляются знания математики. При таких решениях более конкретно просматривается результат. Увлекательная форма заданий избавляет ученика от усилий, которые нужны, чтобы сосредоточиться, – все происходит естественно. Из-за избытка информации внимание учащихся становится рассеянным, а ум усталым, как перегруженные мышцы. Чувство интереса оживляет и снимает усталость. «Сосредоточенность – вот в чем секрет силы»,- утверждал Р.У.Эмирсон

Все задачи сборника разделены на несколько групп (Задачи «Водолея», «почти без вычислений» и т.д.), это просто тематическая разбивка, а не порядок решения. Сделано это для лучшего ориентирования в сборнике. Поэтому при планировании уроков нужно подбирать задачи согласно плану: либо это тематический урок, либо решение по алгоритму, либо задачи на определенный уровень сложности. Во всех группах есть задачи от самого низкого уровня «восприятие - осмысление» до высокого «применение знаний и умений в нестандартных ситуациях». Подбор задач зависит от уровня подготовки учащихся, их интеллекта.

На все задачи и упражнения есть ответ или решение, но это не догма. Нужно быть готовым к другим решениям и умозаключениям. В некоторых задачах приведено по два решения, но можно усложнить задачу: предложить найти наибольшее количество решений. Для лучшего усвоения решений рекомендую чаще повторять тип задач, вызывающих трудности у учащихся, при этом использовать уже решенные задачи, изменив текст, но оставив смысл. Или изменить параметры, оставив неизменным текст. Это облегчает процесс обучения и развивает память.

Уважаемые коллеги, помните, что пытливый детский ум гораздо гибче и изощреннее взрослого. Будьте готовы к необычным решениям и умозаключениям, которые предложат ваши ученики. Особенно это проявляется на второй, третий год занятия ТРИЗом. Не отвергайте незнакомого вам решения, лучше вникните в его суть и помогите правильно оформить.

Сборник содержит много задач и упражнений не требующих специальных знаний и умений, поэтому его можно порекомендовать взрослым для увлекательного проведения досуга, а также посоревноваться с детьми в решении задач. Уверяю вас, многие будут приятно удивлены.

1

Решение задач и упражнений на развитие творческого мышления

1.

Преподаватель задает последовательно ряд вопросов: Чему равна единица в квадрате ? Чему равно два в квадрате ? Чему равно четыре в квадрате ? Чему равен угол в квадрате ?

2.

Преподаватель называет предмет и просит назвать цели его использования, исключив применение последнего по прямому назначению.

3.

Ассоциативная цепочка.

А. Преподаватель предлагает любой объект.

Б. Учащиеся подбирают характеристику к этому объекту.

В. По предложенной характеристике учащиеся подбирают соответствующий ей новый объект.

4.

Из шести целых спичек сложите 4 равносторонних треугольника, при этом каждая сторона должна равняться длине спички.

5.

Какие часы показывают время абсолютно точно два раза в сутки ?

6.

Лесорубы пилят бревна на метровые куски. Отпиливание одного такого куска занимает одну минуту. За сколько минут они распилят бревно длиной 5 метров ?

7.

Пять землекопов в 5 часов выкапывают 5 метров канавы. Сколько землекопов в 100 часов выкопают 100 метров канавы ?

8.

За 5 минут составьте максимально возможное число осмысленных фраз, чтобы в каждую из них входили слова: ЧЕЛОВЕК, ТРАКТОР, МЕТРО.

9.

Из манускрипта, у которого на обеих сторонах каждой страницы написан текст, удален средний лист. Две стороны этого листа пронумерованы цифрами 6 и 7. Сколько страниц содержит манускрипт?

10.

«Вот вам три пилюли,- сказал доктор.- Принимайте через каждые полчаса». На сколько хватит прописанных доктором пилюль ?

11.

Сколько яиц можно съесть натощак ?

12.

На какой вопрос никогда нельзя дать утвердительный ответ?

13.

У трех маляров был брат Иван, а у Ивана братьев не было. Как это могло

случиться?

2

14.

На грядке сидели 6 воробьев. К ним прилетели еще 4. Кот подкрался и схватил одного воробья. Сколько воробьев осталось на грядке?

15.

«Его отец- сын моего отца, но мне не брат». Кто же этот юноша?

16.

У мальчика вдвое больше шариков, чем у девочки, а вместе у них 21 шарик. Сколько шариков у мальчика?

17.

Если в большой чемодан можно положить вдвое больше книг, чем в маленький, а в маленький входит 14 книг, сколько книг можно положить в оба чемодана?

18.

Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода?

19.

В полдень из Москвы в Тулу выходит автобус с пассажирами. Часом позже из Тулы в Москву выезжает велосипедист и едет по тому же шоссе, но, конечно, значительно медленнее, чем автобус.

Когда пассажиры автобуса и велосипедист встретятся, кто из них будет дальше от Москвы?

20.

Из одной точки вылетели три ласточки. Когда они будут в одной плоскости?

21.

« У меня в деревне есть несколько птиц, - рассказывал Павел. – Все они, кроме двух, - утки, все, кроме двух, - цыплята, и все, кроме двух, - гуси.

Сколько же у меня птиц?

22.

Часы с боем отбивают один удар за 1 секунду. Сколько времени потребуется часам, чтобы они отбили 12 часов?

23.

Кирпич весит 1,5 кг и еще полкирпича. Сколько весит целый кирпич?

24.

Как разделить 5 яблок между 5 лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно осталось в корзине?

25.

Портной имеет кусок сукна в 16 метров, от которого он отрезает ежедневно по 2 метра. По истечении скольких дней он отрежет последний кусок?

26.

Остап возвращался домой из Киева. Первую половину пути он проехал поездом в 15 раз быстрее, чем если бы он шел пешком. Вторую половину пути он проехал на волах в 2 раза медленнее, чем если бы он шел пешком. Выгадал ли Остап время по сравнению с ходьбой пешком?

3

27.

Самолет покрывает расстояние от города А до города В в 1 час 20 минут. Однако обратный перелет он совершает в 80 минут. Как вы это объясните?

28.

Два человека считали в течение часа всех прохожих, которые проходили мимо них на тротуаре. Один из считавших стоял у ворот дома, другой прохаживался туда и обратно по тротуару. Кто насчитал больше прохожих?

29.

Скорый поезд вышел из Москвы в Ленинград и шел без остановок со скоростью 60 км/час. Другой поезд вышел ему навстречу из Ленинграда в Москву и тоже шел без остановок со скоростью 40 км/час.

На каком расстоянии будут эти поезда за 1 час до их встречи?

30.

У мальчика столько же сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер чем братьев.

Сколько в этой семье братьев и сколько сестер?

31.

Н а столе 6 стаканов. Три из них пустые, а в трех вода. Как сделать, чтобы пустые и полные стаканы чередовались?

Б рать в руки можно только один стакан.

32.

Леонид говорит, что может вырезать в этом листе бумаги отверстие такого размера, в которое он сумеет пролезть. Он утверждает, что может проделать то же самое с почтовой открыткой! Как же он это сделает?

33.

В коробке находятся 9 стеклянных шаров. При перевозке,

перекатываясь по коробке, они могут повредиться. Как с

помощью двух квадратов получить отдельные ячейки

для каждого шара?

34.

Один человек написал о себе так: « пальцев у меня двадцать пять на одной руке, столько же на другой, да на ногах десять…..»

Может ли такое быть?

4

Ответы и решения задач и упражнений

на развитие творческого мышления

1; 4; 16; 90 градусов

По смыслу.

По смыслу.

4.

Которые стоят.

Нужно сделать 4 пропила. Ответ: 4 минуты.

Пять землекопов в 1 час выкапывают 1 метр, 100 землекопов-100метров. Ответ: 5 землекопов.

По смыслу.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ответ: 12 страниц.

1 0.

30 мин. 30 мин. Ответ: На 1 час.

11.

Только одно.

12.

Ты спишь?

Маляры были сестрами.

Ни одного - они испугались и улетели.

5

Сын.

14 шариков.

42 книги.

Нет. Будет 12 часов ночи.

Будут на равном расстоянии.

Всегда.

Три птицы – 1 утка, 1 цыпленок и 1 гусь.

11 секунд.

3 кг.

Одно яблоко отдать вместе с корзиной.

7 дней. (Аналогично заданию №6)

Нет. На второй половине он потратил все время, отведенное на путь.

Это одно и тоже время.

Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя тот, кто стоял у ворот, считал прохожих в обе стороны, а тот, кто ходил, видел вдвое больше встречных людей.

6

Где бы оба поезда ни встретились, за 1 час до их встречи они будут друг от друга на расстоянии 100 км. (60 +40).

4 брата и 3 сестры.

Взять второй стакан и перелить в пятый.

1. Развернуть и порезать по изгибу.

33.

34.

Этот человек после слова двадцать не поставил двоеточие.

7

Знание законов заключается не в том,

чтобы помнить их слова, а в том,

чтобы постигать их смысл.

Цицерон

Задачи «Водолея»

Содержание

1. 8 ведер кваса.

2. 21 бочонок.

3. 4 литра.

4. Корабль и лестница.

5. 20,5 литра сока.

6. 6 бочек кваса.

7. В жаркий день.

8. Один человек.

9. Банка с медом.

10. Булыжник и гиря.

11. Объем бутылки.

12. Водолаз.

13. Винодел.

14. Хозяин и работник.

15. Тростник.

16. Гвозди.

17. Перевоз трубы.

18. Про моряка.

19. 24 бочонка.

20. Три рыцаря.

21. Паром.

22. Срочный заказ.

Задачи “Водолея”

1.

Двое должны разделить поровну 8 ведер кваса, находящегося в восьми ведерном бочонке. Но у них есть еще только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой – 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

2.

Три человека должны разделить между собой 21 бочонок, среди

которых 7 бочонков полных медом, 7 полных медом наполовину и 7

пустых. Могут ли они разделить бочонки и мед так, чтобы каждый

из них имел одинаковое количество меда и одинаковое количество

бочонков? (Предполагается, что все бочонки одинаковые и переливать

мед из одного бочонка в другой не разрешается)

3.

Перед вами кувшин, содержащий 4 л молока. Вам необходимо разделить эти 4 л поровну между двумя товарищами, но у вас имеются из посуды только еще два пустых кувшина: один, вмещающий 2,5 л, и другой, вмещающий 1,5 л. Как же поделить 4 л молока пополам с помощью только этих трех сосудов? Придется, конечно, насколько раз переливать молоко из сосуда в сосуд. Но как?

4.

Недалеко от берега стоит корабль со спущенной на воду веревочной лестницей вдоль борта. У лестницы 10 ступенек; расстояние между ступеньками 30 см. Самая нижняя ступенька касается поверхности воды. Океан сегодня очень спокоен, но начинается прилив, который поднимает воду за каждый час на 15 см. Через сколько времени покроется водой третья ступенька веревочной лесенки?

5.

Имеется 20,5 литров сока, и емкости по 0,7 л и 0,3 л. Сколько и каких емкостей нужно, чтобы разлить сок без остатка по емкостям 0,7 л и 0,3 л?

6.

В магазин доставили шесть бочонков квасу. Емкостью 19, 20, 31, 15, 16 и 18. В первый же день нашлось два покупателя: один купил два бочонка, другой – три, причем первый купил вдвое меньше кваса, чем второй. Не пришлось даже раскупоривать бочонков. Из шести бочонков на складе остался всего лишь один. Какой?

8

7.

В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса.

8.

Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женой выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена одна выпивает такой же бочонок кваса.

9.

Банка с медом весит 500г. Та же банка с керосином весит 350г. Керосин легче меда в два раза. Сколько весит пустая банка?

10.

На обыкновенных весах лежат: на одной чашке - булыжник, весящий ровно 2кг, на другой – железная гиря в 2кг. Я осторожно опустил эти весы под воду. Остались ли чашки в равновесии?

11.

Пользуясь только масштабной линейкой, определить объем бутылки, которая частично наполнена жидкостью.

Дно бутылки предполагается плоским. Выливать или доливать жидкость не разрешается.

12.

Водолаз работает на глубине 20 метров под водой. Расстояние от поверхности воды до палубы корабля составляет 1/8 длины троса, причем еще 2/3 его длины осталось на катушке. Какова максимальная глубина, на которую может опуститься водолаз, не меняя снаряжения?

13.

Винодел обычно продает свое вино по 30 и по 50 литров, поэтому пользуется мерными кувшинами таких размеров. Как-то раз один покупатель захотел купить всего 10 литров вина. Винодел согласился продать ему вино и отмерил его, пользуясь двумя своими кувшинами. Как он это сделал?

14.

Однажды хозяин, нанимая работника, предложил ему следующее испытание. Работник должен был наполнить бочку водой ровно наполовину, ни больше, ни меньше. При этом ничем не пользоваться для измерения глубины жидкости. Работник справился с заданием. Как он это сделал?

9

15.

Верхняя часть тростника, растущего в реке, выступает над поверхностью воды. Как определить глубину реки, проводя измерения только на поверхности или над поверхностью реки.

16.

100 кг железных гвоздей уравновешены на весах железными гирями. Весы затопило водой. Сохранят ли они равновесие под водой?

17.

Через реку нужно было перевести тяжелую чугунную трубу. Когда груз был помещен в лодку, она так осела, что гребец уже не мог в нее сесть. Никаких других перевозочных средств, кроме лодки, не было.

Однако гребец придумал способ, с помощью которого он, сидя в лодке, все-таки перевез трубу на другой берег. Догадайтесь, как он это сделал?

18.

В одном порту моряк пришел в лавку с пустым бочонком на 5 литров и попросил лавочника налить туда 4 литра отборного ямайского рома. К несчастью, единственным сосудом для измерения был кувшин на 3 литра. Как лавочник сумел точно отмерить 4 литра с помощью этих двух емкостей.

19.

Требуется между тремя лицами разделить поровну 24 бочонка, из которых 5 полных, 11 полупустых и 8 пустых. Переливание не допускается.

20.

Три рыцаря, каждый в сопровождении оруженосца, съехались на берегу реки и хотят переправиться на другой берег. Есть лодка, которая может вместить только двух человек. Могут ли переправиться рыцари и их оруженосцы на другой берег при условии, что оказавшись отдельно от своего рыцаря, ни один оруженосец не находился бы при этом в обществе других рыцарей?

21.

Каждые полчаса паром переплывает реку. В первый раз он оправляется к другому берегу в 7.30 утра, а в последний – в 8 часов вечера.

Сколько раз паром переплывает реку за день?

22.

В выполнении срочного заказа по изготовлению измерительных приборов для гидроузла приняла участие бригада в составе бригадира и 9 молодых рабочих. В течение дня каждый из юных рабочих смонтировал по 15 приборов, а бригадир – на 9 приборов больше, чем в среднем каждый из 10 членов бригады.

Сколько всего приборов было смонтировано бригадой за один рабочий день?

10

Ответы и решения задач «Водолея»

1.

8 5 3

8 - -

3 5 -

3 2 3

6 2 -

6 - 2

1 5 2

1 4 3

4 4

2. 1 2 3

1. п олных 3 3 1

1. полупустых 1 1 5

7 пустых 3 3 1

3.

4 1,5 2,5

4 - -

1,5 - 2,5

1,5 1,5 1

3 - 1

3 1 -

0,5 1 2,5

0,5 1,5 2

2 - 2

4.

Никогда. Лестница поднимается вместе с кораблем.

5.

20,5л вместится в 1 емкость по 0,7 и в 66 по 0,3.

Общий объем емкостей 2,1л т.е. 7 емк. по 0,3 или 3 емк. по 0, 7.

Добавляя к емкостям по 0,7л по 3 емкости и убирая от емкостей по 0,3л по 7 емкостей получим еще 9 результатов.

0,7 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28

0,3 66 59 52 45 38 31 24 17 10 3

6.

Первый купил 15л и 18л бочонки. Второй купил 16л, 19л и 31л.

15+18=33л 16+19+31=66л

Ответ: Остался 20л бочонок.

11

7.

За 1 час 48 косцов выпьют бочонок кваса, за 3 часа 16 косцов.

Ответ: 16 косцов.

8.

За 140 дней один мужчина может выпить 10 бочонков кваса, вместе с женой – 14 бочонков. Одна женщина за 140 дней может выпить 14-10=4 бочонка, а один за 140:4=35 дней. Ответ: За 35 дней.

9.

Так как мед тяжелее керосина в два раза, то разница в весе 500 – 350 = 150г, есть вес керосина в объеме банки. Отсюда определяем чистый вес банки:

350 – 150 = 200г. Действительно: 500 – 200 = 300г, то есть мед вдвое тяжелее керосина. Ответ: 200г.

10.

Каждое тело, если погрузить его в воду, становится легче: оно «теряет» в своем весе столько, сколько весит вытесняемая им вода. Булыжник весом 2кг занимает больший объем, чем 2-килограммовая железная гиря. Значит, булыжник вытеснит больший объем воды, чем гиря, и потеряет в воде больше веса, чем гиря. Ответ: Весы отклонятся в

сторону гири.

11. н2

н1

а) определяем площадь дна бутылки и обозначим ее S.

б) измеряем высоту н1 и н2.

в) определяем объем бутылки Sн1 + Sн2 = S(н1 + н2)

12.

Вычислим длину троса Т. Т – 20 = 2/3Т + 1/8Т отсюда Т= 96м.

Палуба находится на высоте 1/8 от воды 1/8 от 96 равно 12метрам.

Следовательно, если натянуть трос до предела, водолаз может погрузиться на глубину 84 метра. Ответ: 84 метра.

13.

Он наполнил вином 30-литровый кувшин и вылил его содержимое в 50-литровый. Затем снова наполнил 30-литровый кувшин и стал осторожно переливать из него вино в 50-литровый – до тех пор, пока тот не наполнился доверху. В 30-литровом кувшине осталось ровно 10 литров, которые он и

продал покупателю.

12

1 4.

15. Пусть над поверхностью воды выступает часть тростника ВС = а и пусть

искомая глубина реки АВ = х. Взяв за конец С тростника

d c наклоним его в положение АD так, чтобы верхняя его

в точка С коснулась воды. Расстояние ВD = в можно

измерить, расстояние АD = АС = АВ + ВС = х + а.

Из прямоугольного треугольника АВD имеем

АD² = ВD² +АВ² или

( х + а )² = в² + х² отсюда

а х = ( в² – а² ) : 2а

Ответ: х = ( в² – а² ) : 2а

1. Сохранят.

1. Трубу укрепили под лодкой, отчего осанка ее уменьшилась. Гребец мог перевести трубу на другой берег, сидя в лодке.

18. 5 3

• 3

1. -

1. 3

5 1

1. 1

1. 0

1. 3

4

19. полн. ½ полн. пуст.

2 3 3

2 3 3

1 5 2

2 0.

А БВ 000 АБВ 000 000 АБВ 000 АБВ

1 . 3. 5. 7.

абв 000 000 абв 0бв а00 000 абв

АБВ 000 00В АБ0 000 АБВ

2 . 4. 6.

0 0в аб0 00в аб0 00в аб0

13

21.

Паром переплывает реку 26 раз в день.

22. Распределив поровну между 9 юными рабочими 9 приборов, изготовленных добавочно бригадиром, мы узнаем, что в среднем каждый член бригады смонтировал 15 + 1 = 16 приборов. Отсюда следует, что бригадир изготовил 16 + 9 = 25 приборов, а вся бригада (15х9) + 25 = 160.

Ответ: 160 приборов.

14

Не всякому помогает случай; судьба

одаряет только подготовленные умы.

Луи Пастер

Задачи на логическое мышление

Содержание

1. Точение заготовки.

2. Отец и семь сыновей.

3. Прохожий.

4. Продажа яиц.

5. Крестьянин на базаре.

6. Четыре плотника.

7. Воз сена.

8. Волк, коза и капуста.

9. Про карандаши.

10. Про лошадь.

11. Спящий пассажир.

12. Встречные поезда.

13. Два товарных поезда.

14. Два спортсмена.

15. Доставка почты.

16. Путь на работу.

17. Королева Великобритании.

Задачи на логическое мышление.

1.

Из одной заготовки вытачивают деталь. Из стружки, образовавшейся от обработки шести деталей можно отлить еще одну заготовку. Сколько деталей можно сделать из 36 заготовок?

2.

Отец имеет семь сыновей. Сумма возрастов 1 и 4 равна 9 годам, 1 и 6 равна 8 годам, 2 и 5 равна 8 годам, 2 и 3 равна 9 годам, 3 и 6 равна 6 годам, 4 и 7 равна 4 годам, 7 и 5 равна 4 годам. Сколько лет каждому сыну ?

3.

Прохожий, догнавший другого спросил: Как далеко до деревни ? Другой прохожий ответил: Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если ты пройдешь еще две версты, то будешь ровно посередине. Сколько верст осталось идти первому прохожему ?

4.

Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница

купила у нее половину всех яиц и еще половину яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и еще половину

яйца. Третья купила оставшееся последнее яйцо.

Сколько яиц крестьянка принесла на базар ?

5.

Пришел крестьянин на базар и принес лукошко яиц. Его спросили:

«Много ли у тебя в том лукошке яиц ?» Крестьянин молвил им так:

« Я не помню, сколько в том лукошке яиц. Только помню: перекладывал я те яйца в лукошко по 2 яйца, то одно яйцо лишнее осталось на земле; клал по 3 яйца, одно осталось; клал по 4 яйца, одно осталось; клал по 5 яиц, одно осталось; клал по 6 яиц, одно осталось; клал по 7 яиц, ни одного не осталось. Сочти мне, сколько в том лукошке яиц было ?»

6.

Четыре плотника хотят строить дом. Первый плотник один может построить дом за год, второй плотник может построить дом за 2 года, третий плотник может построить дом за 3 года, а четвертый – за 4 года. Однако строили дом четыре плотника вместе.

За какое время они выстроили дом?

15

7.

Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два месяца, овца – за три месяца.

За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

8.

Крестьянину надо через речку перевезти волка, козу и капусту. В лодке может поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу; если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. В присутствии же человека коза не может съесть капусту, а волк – козу.

Человек все-таки перевез свой груз через речку. Как он это сделал?

9.

Мальчик плотно прижал грань синего карандаша к грани желтого карандаша. Один сантиметр (в длину) прижатой грани синего карандаша, считая от нижнего конца, запачкан краской. Желтый карандаш мальчик держит неподвижно, а синий, продолжая прижимать к желтому, опускает на 1см, затем возвращает в прежнее положение, опять опускает на 1см и опять возвращает в прежнее положение; 10 раз он так опускает и 10 раз поднимает синий карандаш (20 движений).

Если допустить, что за это время краска не высыхает и не истощается, то на сколько сантиметров в длину окажется запачканным желтый карандаш после 20 движения?

10.

Половину пути лошадь шла порожняком со скоростью 12км/час. Остальной путь она шла с возом, делая 4км/час.

Какова средняя скорость, то -есть с какой неизменной скоростью нужно было двигаться лошади, чтобы на весь путь употребить такое же количество времени?

11.

Когда пассажир проехал половину всего пути, то лег спать и спал до тех пор, пока не осталось ехать половину того пути, что он проехал спящим.

Какую часть всего пути он проехал спящим?

12.

Два поезда идут навстречу друг другу по параллельным путям; один со скоростю36км/час, другой со скоростью 45км/час. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что поезд шел мимо него в течение 6 секунд.

Какова длина первого поезда?

16

13.

Два товарных поезда, оба длиной по 250 метров, идут навстречу друг другу с одинаковой скоростью 45км/час. Сколько секунд пройдет после того, как встретились машинисты, до того, как встретятся кондукторы последних вагонов?

14.

Два спортсмена, тренируясь, одновременно начали лодочные гонки: один по реке, вниз и вверх по течению, а другой на такое же расстояние по озеру со стоячей водой. Допустим, что усилия обоих гребцов все время совершенно одинаковы.

Который из гребцов вернется раньше?

15.

На аэродром к прибытию самолета был выслан мотоциклист из почтового отделения. Самолет прибыл раньше установленного срока, и привезенная почта была направлена в почтовое отделение с верховым. Проехав полчаса, верховой встретил мотоциклиста, который принял почту, и, не задерживаясь, повернул обратно. В почтовое отделение мотоциклист прибыл на 20 минут раньше, чем следовало.

На сколько минут раньше установленного срока самолет прибыл на аэродром?

16.

Инженер, работающий за городом, ежедневно приезжает на станцию в 8 часов 30 минут. Точно в это же время подъезжает к станции автомобиль и, не задерживаясь, отвозит инженера на завод. Однажды инженер приехал на станцию в 8 часов и, не дожидаясь автомобиля, пошел пешком к заводу. Встретив на пути автомобиль , он сел в него и приехал на завод на 10 минут раньше, чем обычно.

Определите, какое время показывали часы в момент встречи инженера с автомобилем и во сколько раз медленнее он идет пешком, чем едет на автомобиле?

17.

Перед энергетическим кризисом надо создать устройство, непрерывно откачивающее воду из земли с площади 50м² и с глубины до 2 метров. Устройство должно потреблять энергию солнца и не нуждаться в уходе по меньшей мере 100 лет.

18.

Вы везете на борту двухместного самолета королеву Великобритании. На крутом вираже она выпадает из самолета.

Ваши действия?

17

Ответы и решения

задач на логическое мышление

1.

36 : 6 = 6 дополнительных заготовок. Из стружки от этих 6 еще одна.

В сумме получается 36 + 6 +1= 43.

Ответ: 43 детали.

2.

Сложив числа 9+8+8+9+6+4+4=48. Значит, сумма возрастов всех детей равна 24 годам. Поскольку сумма возрастов 1и6, 2и4, 4и7 сыновей равна 21 году, а сумма возрастов всех детей равна 24 годам, то 5 сыну 3 году, а тогда второму 5 лет. Поскольку сумма возрастов 2и3 сыновей равна 9 годам, то возраст третьего сына равен 4 годам. Поскольку сумма возрастов 3и6 сыновей равна 6 годам, то возраст 6 сына равен2 годам. Далее находим, что возраст первого сына равен 6 годам, четвертого 3 годам и седьмого – одному году.

3.

1/3 ½ 1/3

4

2

2

4

Половина 1/3 равно 2 верстам, все расстояние 12 верст.

Ответ: 8 верст.

4.

Решаем с конца. Третья покупательница увидела одно яйцо. Вторая покупательница увидела 1,5 + 1,5 = 3 яйца. Купила 1,5 + 0,5 = 2 яйца.

Третья покупательница увидела 3,5 + 3,5 = 7 яиц. Купила 3,5 + 0,5= 4 яйца.

Ответ: 7 яиц.

5.

Ближайшее число делящееся 2, 3, 4, 5, 6 это 60. Ближайшее число делящееся на 7 без остатка, а на 60 с остатком в 1 –301. Кроме этого числа условию задачи подходят числа 721, 1141, 1561 и т. д. Наиболее правдоподобен ответ 301.

Ответ: 301 яйцо

6.

Задача решается с помощью приведения количества работы каждого плотника к оному и тому же времени, именно, к 12 годам. За 12 лет первый плотник может построить 12 домов, второй – 6 домов, третий – 4 дома, а четвертый – 3 дома. Всего же они вместе могут построить 12+6+4+3=25 домов. Принимая, что в году 365 дней, а в 12 годах 4380 дней. Поделив это число на 25, узнаем, за какое время четыре плотника вместе построят дом

4380 : 25 = 175 1/5 дней или 25 недель 4 4/5 часа.

Ответ: 175 1/5 дней.

18

7.

За 12 месяцев лошадь съест 12 возов сена, коза – 6 возов, овца – 4 воза сена. Вместе за 12 месяцев они съедят 12+6+4=22 воза сена. Тогда один воз сена они вместе съедят за 12 : 22 = 6/11 месяца.

Ответ: 6/11 месяца.

8.

Человек вначале перевозит на другой берег козу, оставляя волка с капустой; затем возвращается, забирает волка и перевозит его на другой берег, а козу увозит с собой обратно. Оставляя козу на берегу, человек перевозит к волку капусту, затем возвращается и перевозит козу.

9.

В начальном положении карандашей запачкан 1см длины желтого карандаша. При движении синего карандаша вниз пачкается второй сантиметр его длины, а при последующем движении вверх – второй сантиметр синего карандаша пачкает второй сантиметр желтого. Таким образом, каждая пара движений карандаша вниз – вверх пачкает 1см длины желтого карандаша. 10 пар движений запачкают 10см длины, а вместе с начальным сантиметром будет запачкано 11см длины желтого (а также и синего) карандаша.

Ответ: 11см.

(Так мажется обувь)

10.

Примем все расстояние за 1. Тогда первую половину пути лошадь шла

1/2 : 12 = 1/24 единиц времени, а вторую половину – за 1/2 : 4 = 1/8 единиц времени. На весь путь затрачено 1/24+1/8=1/6 единиц времени. Следовательно, средняя скорость будет 1 : 1/6 = 6км/час.

Ответ: 6км/час.

11.

Спал пассажир на протяжении двух третей от половины всего пути, следовательно, на протяжении одной трети всего пути.

Ответ: 1/3 пути.

12.

Скорость перемещения пассажира, находящегося во втором поезде, относительно двигающегося первого поезда будет равна 45+36=81км/час, или 81000/3600=45/2м/сек. Следовательно, длина первого поезда равна

45/2м/сек умножить на 6сек. Это составит 135 метров.

Ответ: 135 метров.

13.

В момент встречи машинистов расстояние между кондукторами будет

250+250=500 метров. Так как каждый поезд идет со скоростью 45км/час, то кондукторы сближаются со скоростью 45+45=90км/час, или 25м/сек.

Искомое время равно 500 : 25 = 20 сек.

Ответ: 20 сек.

19

14.

Текущая вода сокращает время, когда лодка идет по течению, и удлиняет его, когда движение имеет противоположное направление; в одном случае река как бы помогает движению, в другом – препятствует. Но помощь длится меньшее количество времени, чем сопротивление, значит, естественно ожидать, что спортсмен, плывущий по реке, вернется на старт позже спортсмена, плывущего по стоячей воде.

15.

Экономия во времени произошла за счет того, что мотоциклист не доехал до аэродрома. Следовательно, чтобы проехать в один конец, например от места встречи до аэродрома, мотоциклисту потребовалось бы 10 минут. Верховой находился в пути 30 минут. А так как мотоциклист выехал из почтового отделения во –время, то следовательно, прибавив к 30мин те 10мин, которые необходимы, чтобы добраться до аэродрома, устанавливаем, что самолет прибыл на аэродром на 40 минут раньше.

Ответ: На 40 минут.

16.

Чтобы проделать путь в один конец автомобилю требуется 5 минут. Чтобы пройти это расстояние пешком, инженер затратил 25 минут (30мин, на которые он раньше приехал, минус 5 мин.). Значит, в момент встречи инженера с автомобилем было 8 часов 25 минут; а пешком инженер идет медленнее, чем едет на автомобиле, в 5 раз.

17.

Нужно посадить дерево.

18.

Выровнять самолет после потери груза. (Из инструкции ВВС Великобритании)

20

То, что мы знаем, - ограничено,

а что не знаем – бесконечно.

Апулей

Задачи с площадями

Содержание

1. Вспашка участка.

2. Два комбайнера.

3. Пшеница и рожь.

4. Усадка ткани.

5. Большие озера.

6. Совхозный виноградник.

7. Прямоугольный лист жести.

8. Освещение класса.

9. Пол школьного зала.

10. Площадь кровли.

11. Сторона квадратной шайбы.

12. Канавокопательная машина.

13. Прямоугольная клумба.

14. Поле в 45 га.

15. Прямолинейная изгородь.

16. Лист стали.

17. Три ломтика хлеба.

18. Износ шин.

19. Опаленная тайга.

20. Постройка забора.

21. Удивительная амеба.

22. Лестница в 36 ступеней.

23. Три хлопковых участка.

Задачи с площадями.

1.

Тракторист вспахал 4/5 площади отведенного ему участка за 1час36мин. Через сколько времени он закончит пахоту оставшейся площади участка?

2.

Два комбайнера работали на одном участке. После того как один комбайнер убрал 9/10 всего участка, а второй 3/8 того же участка, оказалось, что первый комбайнер убрал на 97,5 га. больше чем второй. В среднем с каждого участка намолачивали по 3350 кг. зерна.

Сколько зерна намолотил каждый комбайнер?

3.

75 га. засеяно рожью, а 125 га.- пшеницей. Какую часть пашни, засеянной пшеницей, составляет пашня засеянная рожью?

4.

Ткань шириной 80 см. после намачивания уменьшается на 1/15 по длине и на

1/16 по ширине. Сколько такой ткани надо взять, чтобы после стирки иметь

105 м2 ?

5.

Большие озера занимают следующие площади: Каспийское море – 372000км2, Аральское море – 65000 км2 , Байкал – 31500 км2 , Ладожское озеро – 18400 км2 , Балхаш – 173000 км2 , Онежское озеро – 9900 км2 .

А) Чему равна площадь всех озер ( в гектарах )

Б) Во сколько раз Каспийское море по площади больше Аральского и Онежского озера ( в отдельности)?

В) Сколько гектаров занимает каждое из этих озер?

6.

Виноградник, заложенный совхозом, имеет вид прямоугольника, длина и ширина которого вместе составляют 1440 метров, причем ширина его вдвое меньше длины. Виноградник обнесен изгородью. Определите:

А) площадь виноградника в гектарах;

Б) сколько времени потребуется для обхода изгороди виноградника, если со скоростью 70 м/мин?

7.

Из прямоугольного листа жести длиной 40см и шириной 35см вырезали для лейки часть, имеющую форму трапеции с основаниями, равными 40см и 12см, и высотой 20см. Найдите площадь оставшейся части.

21

8.

Для того чтобы в комнате было достаточно света, площадь всех окон должна составлять 0,2 площади пола. Определите, достаточно ли света в классе, длина которого 9,6 метра и ширина 8,75 метра. В этом классе 4 окна, каждое высотой 1,5 метра и шириной 1 метр.

9.

Пол школьного зала имеет прямоугольную форму размером 11 х 8,8 м. Требуется его выстелить плитками квадратной формы размером 22 х22 см. каждая. Сколько потребуется таких плиток, если на обрезки и пригонку затрачивается 3% от общей площади всех плиток ?

10.

Среди всех зданий на земле, кровля которых поддерживается только стенами

( без внутренних колонн ), одну из наибольших площадей занимает Центральный выставочный зал в Москве. Длина его равна 144 метра, а ширина 28 метров. Определите площадь Центрального выставочного зала. Сравните его с площадью вашего класса.

11.

Сторона квадратной шайбы равна 60 мм. Какой длины должен быть лист стали шириной 300 мм., если из него нужно сделать 50 шайб ?

12.

Канавокопательная машина за рабочий день (8 ч) роет канаву глубиной 2 м., шириной 80 см. и длиной 120 метров. Сколько кубометров земли выбрасывает канавокопательная машина в среднем в 1 час? Сколько землекопов заменяет такая машина, если норма на одного землекопа в мягком грунте на 1 рабочий день составляет 4 м2 ?

13.

Прямоугольная клумба, стороны которой равны 3 метра и 2 метра, окружена дерновой каймой, имеющей везде одинаковую ширину и площадь, равную площади клумбы.

Определите ширину каймы.

14.

Поле в 45 га нужно разделить на четыре участка так, что если к первому участку прибавить 2 га, от второго отнять 2 га, площадь третьего удвоить, а площадь четвертого разделить пополам, то все результаты будут равны.

Найдите площади всех четырех участков.

15.

Для устройства прямолинейной изгороди вкопали 100 столбов с расстоянием между осями соседних столбов 3 м. Какой длины получится изгородь?

22

16.

От листа стали квадратной формы отрезали полосу шириной 25 сантиметров. Вычислить первоначальные размеры листа, если площадь оставшейся части оказалась равной 4400 см² .

17.

Требуется поджарить 3 ломтика хлеба. На сковородке умещается лишь два ломтика. На поджаривание ломтика с одной стороны требуется одна минута. За какое кратчайшее время можно поджарить с двух сторон все три ломтика?

18.

Шины на задних колесах грузовика изнашиваются после 25000 км. пробега, а на передних – после 15000 км.

Сколько километров может пройти грузовик без замены шин, если в нужный момент поменять местами передние и задние шины?

Когда нужно произвести смену шин?

19.

Диаметр опаленной площади тайги от взрыва Большого Тунгусского метеорита равен приблизительно 38 километрам.

Какая площадь тайги была опалена?

20.

Заготовлен материал для постройки забора длиной 100 метров. Требуется огородить этим забором прямоугольный участок для детской площадки. Забор одной стороной должен примыкать к стене дома.

Как поставить этот забор так, чтобы площадь участка была наибольшей?

21.

Один биолог открыл удивительную разновидность амеб. Каждая из них через минуту делится на две. В пробирку биолог кладет одну амебу, и ровно через час вся пробирка оказывается заполненной амебами. Сколько потребовалось бы времени, чтобы вся пробирка заполнилась амебами, если бы в нее вначале положили не одну амебу, а две?

22.

На третий этаж дома ведет лестница в 36 ступеней. Сколько ступеней ведут на шестой этаж этого дома? (Число ступеней во всех пролетах одинаково.)

23.

С трех участков земли было собрано 79,20 тонны хлопка – сырца, в среднем по 0,024 тонны с гектара. Определите величину каждого участка, если известно, что второй участок на 120 га больше первого, а третий участок составляет половину первых двух участков вместе.

23

Ответы и решения задач к разделу «задачи с площадями»

1час 36мин. Это 96 мин. 96 : 4 = 24

Ответ: Через 24 минуты.

2.

х – площадь всего участка. 9/16х – 3/8х = 97,5га., отсюда х = 520га.

9/16 от 520га равно 292,5 га. – площадь первого участка.

3/8 от 520 га равно 195га. – площадь второго участка.

292,5 х 3350 = 979875 кг. 195 х 3350 = 653250 кг.

Ответ: намолот 1-го 979875кг.

2-го 653250кг.

3.

75 : 125 = 0,6 Ответ: 0,6

Ширина ткани после стирки: 80 – 80 : 16 = 75 сантиметров.

Длина ткани после стирки: 1050000 :75 = 14000 см. = 140 метров. Значит, 140 м. составляет 14/15 длины ткани до стирки, поэтому:

140 : 14/15 = 150 метров.

Ответ: Нужно купить 140м.

А) 51,46 га

Б) 5,7 раза; 3,75 раз

В) 37,2га, 6,55га, 3,15га, 1,84га, 0,99га

6.

1440 : 3 = 480 м. – это ширина. 480 х 2 = 960 м. – это длина.

480 м. х 960 м. = 460800 м² = 46,08 га. (1440 х 2)/70 = 41 мин.

Ответ: Площадь – 46,08 га.

Время обхода – 41мин.

7. 14 12 14

а) площадь верхнего прямоугольника 40 х 15 = 600см²

15 б) площадь двух треугольников 14 х 20 = 280 см²

20

1. Ответ: 600 + 280 = 880 см²

8.

Площадь пола – 9,6 х 8,75 = 87 м²

Площадь окон – 1,5 х 1 х 4 = 6 м²

Ответ: Недостаточно.

24

9

Площадь пола – 11 х 8,8 = 96,8 м²

Площадь плитки – 0,22 х 0,22 = 0,0484 м²

96,8 : 0,0484 = 2000 штук плитки. 2000/100 х 3% = 60штук.

Всего 2060 штук.

Ответ: 2060 штук.

10.

144 х 28 = 4032 м²

Ответ: 4032 м²

11.

Первое решение – графически.

По ширине – 300 : 60 = 5 штук.

В длину – 50 : 5 = 10 рядов.

10 рядов х 60 = 600 мм.

Второе решение.

Площадь шайбы – 60 х 60 = 3600 мм²

Площадь 50 шайб 3600 х 50 = 180000 мм²

180000 : 300 = 600 мм. – это искомая длина.

Ответ: Длина листа 600мм.

12.

Площадь поперечного сечения – 2 х 0,8 = 1,6м²

За один час машина проходит – 120 : 8 = 15метров и выбрасывает

1,6 х 15 = 24м³ земли. За 8 часов 24 х 8 = 192м³.

192 : 4 = 48 рабочих.

Ответ: 24м³; 48 рабочих.

1 2 3

1 3. 1

1

2

3

4

4

Ширина 2 метра. Разделим на 4 участка по 0,5 метра. Расположим их как

показано на схеме.

Ответ: Ширина канвы 0,5 м.

25

А + Б + В + Г = 45. А + 2 = Б – 2 = 2В = Г/2

А +2 = 2В А = 2В – 2 ; Б – 2 = 2В Б = 2В + 2; Г/2 = 2В Г = 4В.

2В- 2 + 2В + 2 + В + 4В = 45 9В = 45 В = 5, А = 8, Б = 12, Г = 20

Ответ: Площади участков

15. 8га, 12га, 5га, 20га.

297 метров.

х

1 6.

х – сторона квадрата. х –2 25

х ( х – 25 ) = 4400см² х² – 25 – 4400 = 0

D = 25² – 4( - 4400) = 18225 отсюда

х₁ = 80см. х₂ = - 55 (не удовлетворяет условию)

Ответ: 80 х 80 см.

17.

Обжариваем 2 ломтика с одной стороны – 1 мин. Один ломтик переворачиваем, второй заменяем на третий ломтик и обжариваем – 2 мин. Переворачиваем третий и возвращаем второй – обжариваем – 3мин.

Ответ: 3 минуты.

18.

Решим логически.

Для прохождения 75000км. потребуется 5 комплектов передних шин и

3 комплекта задних шин, значит один комплект может пройти

75000 : 8 = 9375 км

Ответ: Через 9375 км.

19.

1130км²

20.

Длина участка 50 метров, а ширина 25 метров.

21.

59 минут

22.

До третьего этажа два пролета в 36 ступеней, значит в каждом пролете

18 ступеней. До шестого этажа 5 пролетов т.е. 18 х 5 = 90 ступеней.

Ответ: 90 ступеней.

23.

Определяем общую площадь трех участков – 79,2 : 0, 024 = 3300га.

Обозначим: х₁- площадь первого участка, х₂ – второго, х₃ – третьего.

х₂ = х₁ +120 х₃= (х₁ + х₁ + 120)1/2 = х₁ +60

х₁ + х₁ +120 + х₁ + 60 = 3300 3х₁ = 3120 х₁ = 1040га.

Ответ: первый участок –1040га.

второй участок – 1160га.

третий участок – 1100га.

26

Мало иметь хороший ум, главное

– хорошо его применять.

Р.Декарт

Задачи «почти без вычислений»

Содержание

1. Объем сосуда.

2. Цена товара.

3. Воскресник.

4. Два велосипедиста и муха.

5. Атлантический рейс.

6. Школа юных сыщиков.

7. День недели.

8. Занятой человек.

9. Поезд длиной 1 км.

10. Лилия и озеро.

11. Червяк и книги.

12. Крестьянин и овца.

13. Отправление поезда.

14. Распиловка бревна.

15. Сколько у меня яблок?

16. Как разделить орехи?

17. Три жернова.

Задачи “почти без вычислений”

1.

Наполненный доверху водой сосуд имеет массу 5 кг, а наполненный наполовину 3кг 250г. Сколько воды вмещает сосуд?

2.

Товар на 10% вздорожал, потом на 10% подешевел. Когда его цена была ниже: до вздорожания или после подешевления?

3.

Перед началом учебного года школьники организовали воскресник по заготовке дров для школы. Шестеро из них взялись за распиловку кругляка разной длины на полуметровые отрезки. Школьники разбились на 3 пары. Один из каждой пары считался бригадиром. Бригадиров звали Володя, Петя и Вася. Володя с Мишей пилили двухметровые кругляки средней толщины. Петя с Костей – полутораметровые кругляки несколько большей толщины, чем двухметровые. Вася с Федей пилили метровые, очень толстые кругляки. На другой день в школьной стенной газете была отмечена хорошая работа трех бригад пильщиков: бригад Лаврова, Галкина и Медведева. Сообщалось, что Лавров и Котов напилили 26 штук кругляков, Галкин и Пастухов – 27 штук, Медведев и Евдокимов – 28 штук. Как зовут Пастухова?

4.

Два города, А и В, находятся на расстоянии 300 км друг от друга. Из этих городов одновременно выезжают друг другу навстречу два велосипедиста и мчатся, не останавливаясь, со скоростью 50 км /ч. Но вместе с первым велосипедистом из города А вылетает муха, пролетающая в час 100 км. Муха опережает первого велосипедиста, летит на встречу второму. Выехавшему из В. Встретив его, она сразу поворачивает назад к велосипедисту А. Повстречав его, опять летит обратно навстречу велосипедисту В, и так продолжала она свои полеты вперед и назад до тех пор, пока велосипедисты не съехались. Тогда она успокоилась и села одному из велосипедистов на шапку. Сколько километров пролетела муха?

5.

Каждый день в полдень отправляется пароход из Гавра через Атлантический океан в Нью-Йорк и в то же самое время пароход той же компании отправляется из Нью-Йорка в Гавр. Переезд в том и другом направлении совершается ровно за 7 дней. Сколько судов своей компании, идущих в противоположном направлении, встречает пароход на пути из Гавра в Нью-Йорк?

27

6.

В школе юных сыщиков решали такую ситуационную задачу.

У учительницы пропал кошелек. Украсть кошелек мог только кто-нибудь из 5 учеников: Лилиан, Джуди, Девид, Тео или Маргарет. При опросе этих детей каждый из них дал по три показания:

Лилиан: 1) я не брала кошелек;

2) я никогда в своей жизни ничего не воровала;

3) это сделал Тео.

Джуди: 4) я не брала кошелек;

5) мой папа достаточно богат, и я имею свой собственный кошелек;

6) Маргарет знает, кто это сделал.

Девид 7) я не брал кошелек;

8) с Маргарет я не был знаком до поступления в школу;

9) это сделал Тео.

Тео 10) я не виновен;

11) это сделала Маргарет;

12) Лилиан лжет, утверждая, что я украл кошелек.

Маргарет 13) я не брала кошелек;

14) в этом виновата Джуди;

15) Девид может поручиться за меня, так как знает меня со дня

рождения.

При дальнейшем расспрашивании каждый из учеников признал, что из сделанных им трех заявлений два верных и одно ложное.

Рассуждая логически, юные сыщики раскрыли это преступление.

Так кто же виноват?

7.

Если этот день не идет вслед за понедельником и не перед четвергом, а завтра не воскресенье и вчера было не воскресенье, а послезавтра будет не суббота и позавчера была не среда, то что это за день?

8.

Один занятой человек, накопив сразу несколько дел, отправился в город. Он купил себе новый галстук в магазине «Одежда»; в лавке «Корма для животных» приобрел просо для своего попугая; успел сходить к парикмахеру, а еще получил свое жалование в банке. Этот банк открыт только по вторникам, пятницам и субботам. Парикмахерская, наоборот, по субботам не работает, а лавка «Корма для животных» в четверг и пятницу была закрыта. В какой день недели занятой человек сумел сделать столько дел?

28

9.

Поезд длиной 1км с ценным грузом едет с максимальной скоростью 60км/час. Машинист опасается, что впереди в лесу протяженностью в 1км может быть засада.

Сколько времени потребуется поезду, чтобы миновать этот опасный лес?

10.

Лилия покрывает цветами озеро за 10 дней. Причем каждый день площадь удваивается. За сколько дней покроют озеро цветами 2 лилии?

11.

За сутки червяк прогрызает 1мм бумаги. На полке рядом стоят 2 тома одного произведения. Общая толщина страниц одного тома 4см, а обложки 2мм. За какое время червяк доберется от первой страницы первого тома до последней страницы второго тома?

12.

У крестьянина окатилась овца. Каждый следующий год она приносила по ягненку. Ягненок через 3 года превращался в овцу и каждый год приносил по ягненку. Сколько овец было у крестьянина через 7 лет?

13.

До отхода поезда осталось 2мин. Путь до вокзала 2км. Если 1км бежать со скоростью 30км/час, то с какой скоростью нужно бежать второй км, чтобы успеть вовремя?

14.

Длина бревна 5м. В одну минуту от этого бревна отпиливают 1м. За сколько минут будет распилено все бревно?

15.

Если бы к моим яблокам прибавить половину их да еще десяток, то у меня была бы их целая сотня. Сколько у меня яблок?

16.

Говорит дед внукам «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как разделить орехи?

17.

На мельнице имеется три жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором 54 четверти, а на третьем 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время на этих трех жерновах. За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько для этого на каждый жернов надо зерна насыпать?

29

Ответы и решения задач

«почти без вычислений»

1.

5кг – 3кг250гр = 1кг750гр – это половина емкости сосуда.

1кг750гр х 2 = 3кг500гр – это полный объем сосуда.

Ответ: 3кг500гр.

2.

После вздорожания товар стоил 110%, или 1,1 первоначальной цены. После же подешевления цена его составляла 1.1 х о,99 = 0,99, то есть 99% первоначальной. Значит, после подешевления товар стал на 1% дешевле, чем до вздорожания.

Ответ: Товар подешевел.

3.

При распиловке метровых кругляков на полуметровые дрова количество отрезков должно быть равно двум. При распиловке полутораметровых количество отрезков кратно 3, а при распиловке двухметровых – 4.

Лавров и Котов напилили 26 отрезков.

Галкин и Пастухов – 27.

Медведев и Евдокимов – 28.

Следовательно, полутораметровые дрова пилили Галкин и Пастухов, которых звали Петя и Костя, но Петя – бригадир, а Пастухов – не бригадир. Значит, Пастухов – Костя.

4.

Муха находилась в полете 3 часа со скоростью 100км/час. За это время она пролетела 300км.

Ответ: 300км.

5. 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Ответ: 15 пароходов.

30

6.

Если 3 верно, тогда 10 и 12 – ложь, а это невозможно по условию. Следовательно, 3 – ложь. Так как 3 – ложь, то и 9 – ложь. Так как 9 – ложь, то 8 – верно. Так как 8 – верно, то 15 – ложь. Если 15 – ложь, то 14 – верно. Следовательно, виновна Джуди.

Ответ: Виновна Джуди.

7.

Воскресенье.

8.

Первым делом вычеркиваем четверг и пятницу, так как по этим дням не работает магазин « Корма для животных». Далее исключаем субботу – закрыта парикмахерская. Человек, судя по всему, получил жалованье, которое выдавали по вторникам, пятницам и субботам. Но поскольку последние два дня исключены, остается вторник – в этот день открыты и банк, и парикмахерская, и магазин «Корма для животных».

9.

Поезд проходит 1км в 1мин. Чтобы прошел весь поезд нужно 2 мин.

Ответ: 2мин.

10.

9 дней.

1 2

1 1.

4 дня. 1

1 2.

1 .

2 .

3 .

4 .

5 .

6 .

7 .

Ответ: 19 овец.

31

13.

Можно не бежать – поезд ушел.

14. 1 2 3 4

Ответ: 4мин.

15

Х – половина моих яблок.

2х + х +10 = 100 3х = 90 х = 30 2х = 60

Ответ: 60 яблок.

16.

х – меньшая часть.

у - большая часть 4х = 3/у у = 12х т.е. 13 частей 130 : 13 = 10

Х = 10 У = 120

17.

Ясно, что все три жернова должны работать одинаковое время, потому что простой любого из 3-х жерновов увеличивает время помола зерна. Поскольку все три жернова за сутки могут смолоть 60+54+48=162 четверти зерна, а надо смолоть 81 четверть, то жернова должны работать 12 часов и за это время на первом жернове надо смолоть 30 четвертей, на втором 27 четвертей, а на третьем 24 четверти зерна.

.

32

Особенностью живого ума является то, что ему нужно лишь немного увидеть и услышать для того, чтобы он мог потом долго размышлять и многое понять. Д.Ф.Бруно Задачи на составление системы уравнений или сравнение

Содержание

1. Мужские и детские пальто.

2. Скворцы и деревья.

3. Двое ели сливы.

4. Кони с седлами.

5. Плащ, шляпа и калоши.

6. Три брата.

7. Восемь пряников.

8. Корабль «Пиратское счастье».

9. Пауки и жуки.

10. Дай мне яблоко.

11. Гуляние в парке.

12. Ремонтная мастерская.

13. Завещание.

14. Дележ заработка.

15. На уроке труда.

16. Борзая и лисица.

17. Яблоки трех сортов.

18. Две свечи.

19. Наследство.

20. Стакан гороха.

21. Покупка товара.

Задачи на составление системы уравнений или сравнение

1.

Из 14м ткани можно сшить 4 мужских и 2 детских пальто. Сколько

метров ткани необходимо для пошива одного мужского и одного детского пальто, если из 15м той же ткани можно сшить 2 мужских

и 6 детских пальто?

2.

Летели скворцы и встретились им деревья. Когда сели они по одному

на дерево, то одному скворцу не хватило дерева, а когда на каждое

дерево сели по два скворца, то одно дерево осталось не занятым.

Сколько было скворцов и сколько деревьев?

3.

Двое ели сливы. Один сказал другому: « дай мне свои две сливы,

тогда будет у нас слив поровну», - на что другой ответил: «Нет,

лучше ты дай мне свои две сливы,- тогда у меня будет в два раза

больше, чем у тебя».

Сколько слив было у каждого?

4.

Некто продает двух коней с седлами, из коих цена одного седла

120 рублей, а другого – 25 рублей. Первый конь с хорошим седлом

втрое дороже другого с дешевым седлом, а другой конь с хорошим

седлом вдвое дешевле первого коня с дешевым седлом.

Какова цена каждого коня?

5.

Некто купил плащ, шляпу и калоши и заплатил за все 140 рублей.

Плащ стоит на 90 рублей больше, чем шляпа, а шляпа и плащ вместе на 120 рублей больше, чем калоши.

Сколько стоит каждая вещь в отдельности?

6.

Средний из братьев старше младшего на два года, а возраст старшего

брата превышает сумму лет двух остальных братьев четырьмя годами.

Найти возраст каждого брата, если вместе им 96 лет.

7.

Два мальчика купили 8 пряников. На эту покупку первый потратил 5 рублей, а второй – 3 рубля. По пути они встретили товарища и втроем съели все пряники, причем их порции были одинаковыми. При прощании встретившийся товарищ дал мальчикам 8 рублей. Как они должны разделить между собой полученные деньги?

33

8.

На корабле «Пиратское счастье» несколько кошек, несколько матросов, кок и одноногий капитан. У всех у них, вместе взятых, 15 голов и 41 нога. Сколько кошек было на корабле?

9.

Мальчик наловил пауков и жуков – всего 8 штук. Если пересчитать, сколько у них ног, то окажется 54. Сколько пауков и сколько жуков поймал мальчик?

10.

- Дай мне яблоко, и у меня будет вдвое больше, чем у тебя, - сказал один мальчик другому.

- Это несправедливо. Лучше дай ты мне яблоко, тогда у нас будет поровну, - ответил его товарищ.

Можете ли вы сказать, сколько у каждого мальчика было яблок?

11.

Сегодня утром я видел в парке людей, собак и кошек. Собак было больше, чем людей. У собак и людей вместе было 100 голов и ног. А собак и людей вместе было втрое больше, чем кошек. Сколько я видел кошек?

12.

В течении месяца в мастерской было отремонтировано 40 машин – автомобилей и мотоциклов. Сумма всех колес отремонтированных машин ровно 100. Сколько было в ремонте автомобилей и мотоциклов?

13.

Один господин завещал капитал в 14000 рублей своей жене при условии: если у нее родится мальчик, то сын должен получить вдвое больше матери, а если дочь, то мать должна получить вдвое больше дочери. Родились близнецы: сын и дочь. Как было исполнено завещание?

14.

Один рабочий получал за день столько рублей, сколько дней он работал, а другой получал в день на рубль больше первого, но проработал днем меньше. Как им разделить полученную сумму?

15.

В двух ящиках для уроков труда хранились ножницы, по 20 штук в каждом. Перед уроком труда учительница взяла несколько ножниц из одного ящика, а затем из второго взяла столько, сколько осталось в первом ящике.

Сколько ножниц взяла учительница?

34

16.

Борзая собака травит лисицу. В начале травли лисица находилась от собаки на расстоянии 60 собачьих прыжков. Лисица делает 9 прыжков, в то время как собака делает всего 6 прыжков; длина же трех прыжков собаки составляет 7 прыжков лисицы. Сколько прыжков сделает собака, пока догонит лисицу?

17.

В корзине перемешаны яблоки трех сортов. Каково наименьшее количество яблок, которое надо взять из корзины наугад, чтобы среди вынутых яблок оказались; а) 2 яблока одного сорта?

б) 3 яблока одного сорта?

18.

Внезапно погас свет в квартире. Я зажег две свечи и занимался при их свете, пока повреждение сети не было исправлено. На другой день понадобилось установить, сколько времени квартира оставалась без тока. Я помню, что свечи были одинаковой длины, но разной толщины: толстая сгорает целиком в 5 часов, тонкая – в 4 часа. Свечи были зажжены впервые, но их остатки не сохранились: домашние их выбросили. –Огарки были малы, не стоило хранить, - объяснили мне. – Не вспомните ли хотя бы, какой они были длины? – Неодинаковой. Один в четыре раза длиннее другого.

Больше мне ничего не удалось дознаться. Но я установил продолжительность горения свеч. Как вы выйдите из этого затруднения?

19.

Вдова обязана оставшееся после мужа наследство в 3500 рублей разделить с ребенком, который должен родиться. Если это будет сын, то мать, по римским законам, получает половину сыновней доли. Если родится дочь, то мать получает двойную долю дочери. Но случилось так, что родились близнецы – сын и дочь.

Как следует разделить наследство, чтобы выполнить все требования?

20.

Вы не раз видели горошины и часто держали в руках стаканы. Размеры тех и других должны быть вам известны. Представьте себе стакан, доверху полный гороха. Нанижем все горошины на нитку, как бусы.

Если эту нить с горошинами вытянуть, то какой примерно длины она будет?

21.

Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и еще 1 рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег и еще 2 рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да еще 1 рубль. После этого денег у купца совсем не осталось. Сколько денег у крестьянина было первоначально?

35

Ответы и решения задач

на составление системы или сравнение

1.

4м + 2д = 14 4м = 14 – 2д

2м + 6д = 15 4м = 30 – 12д 14 – 2д = 30 – 12д 10д = 16 д = 1,6

Ответ: 1,6м – для мужского пальто.

2,7м – для детского пальто.

2.

х – скворцы. х = у + 1

у – деревья. х/2 = у - 1 у +1= 2у – 2 у = 3 х = 4

Ответ: 4 скворца и 3 дерева.

3.

Так как передача двух слив уравнивает число слив у собеседников, то у одного из них на 4 сливы больше, чем у другого. Если же человек, у которого меньше слив, две сливы отдаст человеку, у которого их больше, то разница увеличится до 8 слив. Поскольку второй человек тогда будет иметь слив в два раза больше, то ясно, что у одного из них после передачи будет 8 слив, а у другого 16 слив. Следовательно, до передачи 2 слив у одного было 10 слив, а у другого было 14 слив.

Решение №2.

х + 2 = у – 2 х = у - 4

у + 2 = 2 (х – 2 ) у + 2 = 2 (у – 4 – 2 ) у = 14 х = 10

Ответ: 10 слив у первого.

14 слив у второго.

4.

х – цена 1-ого коня. х + 120 = (у + 25)3 х = 3у - 45

у – цена 2-ого коня. 2 (у + 120) = х + 25 х = 2у + 215

3у – 45 = 2у + 215 у = 260 х = 735

Ответ: 735 – цена 1-ого коня.

260 – цена 2-ого коня.

5.

Если бы вместо плаща, шляпы и калош куплено было только две пары калош, то пришлось бы заплатить не 140 рублей, а на столько меньше, на сколько калоши дешевле плаща с шляпой, то есть на 120 рублей. Мы узнаем, следовательно, что две пары калош стоят 140 – 120 = 20 рублей, одна пара – 10 рублей. Значит, плащ и шляпа вместе стоят 140 – 10 = 130 рублей. Известно что плащ дороже шляпы на 90 рублей, отсюда 130 – 90 = 40 рублей.

40 : 2 = 20 рублей – это стоимость шляпы. 20 + 90 = 110 рублей – цена плаща.

Ответ: 10 руб.- цена калош.

20 руб.- цена шляпы.

110руб.- цена плаща.

36

6.

Ср.= Мл + 2

Ст.= Ср.+ Мл.+ 4 = Мл. + 2 + Мл. + 4 = 2Мл +6 Ст.+Ср.+Мл.=96

2Мл. + 6 + Мл. + 2 + Мл.= 96 4Мл = 88 Мл. = 22года.

Ответ: 22 года – младшему.

24 года – среднему

50 лет. – старшему.

7.

Присоединившийся товарищ дал 8 рублей за съеденные им 8/3 пряника, или 1/3 пряника в одном рубле. Первый мальчик уделил товарищу 15/3-8/3=7/3 пряника, а второй – 9/3- 8/3 = 1/3 пряника. Следовательно, первый должен получить 7 рублей, а второй – 1 рубль.

Ответ: Первому – 7 рублей.

Второму – 1 рубль.

8.

На корабле было 6 кошек.

9.

У пауков по 8 ног, а у жуков – 6, значит было 3 паука и 5 жуков.

10.

х – кол-во яблок у 1-ого. х + 1 = 2( у – 1) х = 2у - 3

у - кол-во яблок у 2-ого. у + 1 = х – 1 х = у + 2

2у – 3 = у +2 у = 5 х = 7

Ответ: У первого 5 яблок.

У второго 7 яблок.

11.

5с + 3л = 100, причем с больше чем л. Уравнение имеет решение при с = 17 и л = 5; или с = 14 и л = 10. Нам известно, что число, обозначающее сумму собак и людей, должно делиться на 3, т.е. нам подходит второе – 14 собак и 10 людей. Кошек было 24 : 3 = 8.

Ответ: 8 кошек.

12.

10 автомобилей и 30 мотоциклов.

13.

1 + 2 + 1/2 = 3,5 части. 14000 : 3,5 = 4000 руб.

Ответ: 4000 тыс. получит мать.

8000 тыс. получит сын.

2000 тыс. получит дочь.

37

14.

Если первый проработал Х дней, то за них он должен получить Х рублей. Второй проработал ( Х – 1 ) дней, но за каждый день он получал ( Х + 1) рублей. Следовательно, второй должен получить ( Х – 1 ) ( Х + 1 ) = Х² -1 т.е. первый должен получить на 1 рубль больше.

15.

20 ножниц.

16.

Пусть число прыжков собаки будет х. Один прыжок собаки равен 7/3 прыжков лисицы, а х прыжков собаки равны 7х/3 прыжков лисицы. С другой стороны, собака делает 6 прыжков в то время, как лисица делает 9; отсюда следует, что лисица сделает 9х/6 прыжков, в то время как собака сделает х своих прыжков. Следовательно, 7х/3 = 60 + 9х/6, откуда х = 72.

Ответ: 72 прыжка.

17.

а) 4 яблока. б) 7 яблок.

18.

х – время горения свеч. Каждый час сгорала 1/5 толстой свечи и 1/4 тонкой. Значит огарки можно выразить: 1 – х/5 и 1 – х/4. Нам известно, что учетверенная длина толстого огарка 4 (1 –х/5) равнялась длине 1 – х/4 тонкого огарка: 4(1- х/5) = 1 - х/4 отсюда х = 3 ¾

Ответ: Свечи горели 3 час. 45мин.

19.

Вдова должна получить 1000 руб., сын 2000 руб., дочь 500 руб.

20

Диаметр сухой горошины – примерно 0,5см. В сантиметровом кубике их уместится 2х2х2 – 8 горошин. Емкость стакана 250см³. 8 х 250 = 2000 – это число горошин в стакане. Длина нити будет равна 0,5 х 2000 = 1000см.= 10м.

Ответ: 10 метров.

21.

Третий купец получил 2 рубля. Сумма, заплаченная второму купцу, без двух рублей составляет 4 рубля, значит уходя от первого крестьянин имел 8 рублей. Деньги, заплаченные первому купцу, без одного составят 9 рублей. Значит первоначально крестьянин имел 18 рублей.

Ответ: 18 рублей.

38

Доводы, до которых человек додумывается сам,

обычно убеждают его больше, нежели те,

которые пришли в голову другим.

Б.Паскаль

Игры, числовые головоломки

Содержание

1. Натуральный ряд чисел.

2. Пять двоек.

3. 15 спичек.

4. Охрана бастиона.

5. Перекладывание предметов.

6. Перекладывание.

7. Длина полуокружности.

8. Разбить на две части.

9. В доме 6 этажей.

10. Шутка.

11. Разрубить подкову.

12. Разделить подкову на части.

13. Два поезда.

14. Пройти от А к Б.

15. Переложить 4 предмета.

16. Совок и мусор.

17. Превращение квадратов.

18. Как перейти ров.

19. Увеличение бассейна.

20. Измерение кирпича

21. Посадка деревьев.

.

Игры, числовые головоломки

1.

Напишите по порядку девять цифр: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Вы можете, не меняя их порядка, вставить между ними знаки плюс и минус таким образом, чтобы в результате получилось ровно 100.

2.

В вашем распоряжении пять двоек и любые знаки математических действий. Вы должны с помощью только этого цифрового материала, используя его полностью и применяя знаки математических действий, выразить следующие числа: 15, 11, 12321.

3.

В эту игру играют двое. Кладут на стол 15 спичек. Первый игрок берет из них одну, две или три спички, сколько пожелает. Затем второй берет тоже одну, две или три спички, по своему желанию. Потом опять берет первый и т. д. Брать больше трех спичек сразу нельзя. Кто возьмет последнюю спичку, тот проигрывает.

Как вы должны играть, чтобы наверное выиграть ?

4.

Вдоль стен квадратного бастиона требовалось поставить 16 часовых. Комендант разместил их по 5 человек с каждой стороны. Затем пришел полковник и, недовольный размещением часовых, распорядился расставить солдат так, чтобы с каждой стороны было их по 6. Вслед за полковником пришел генерал, рассердился на полковника за его распоряжение и разместил солдат по 7 человек с каждой стороны.

Каково было размещение солдат ?

5.

15 спичек расположены в ряд. Требуется собрать их в 5 кучек по 3 спички, перекладывая их по одной и каждый раз перескакивая при этом через 3 спички.

6.

На столе лежат 4 целых спички и столько же половинок: 1!1!1!1! Требуется переложить их так, чтобы лежали подряд 4 половинки, а затем 4 целых спички. При этом разрешается перекладывать только по 2 рядом лежащие спички, сохраняя расстояние между ними.

7.

П осмотрите на чертеж и быстро ответьте, что больше:

Длина большой полуокружности или сумма трех

м аленьких полуокружностей?

39

8.

В квадрате выделены 4 точки. Можно ли провести

отрезок так, чтобы квадрат разбился на две части,

и в каждой из них было по одной точке?

9.

В доме 6 этажей. Скажите, во сколько раз путь по лестнице на 6 этаж длиннее, чем путь по той же лестнице на третий этаж.

10.

Шутка. При помощи двух спичек, не ломая и не разрезая их, образовать квадрат.

11.

Как провести две прямые линии, вдоль которых можно было

бы разрезать подкову на 6 частей, не перемещая их при

разрезании.

12.

А вот подкова с отверстиями для гвоздей. Разрубите ее двумя

П рямолинейными ударами на 6 частей так, чтобы в каждой

части было по одному отверстию.

1 3.

Два поезда, каждый по 80 вагонов, встретились на одноколейном пути, имеющем небольшую тупиковую ветку. Как разойтись этим поездам, если тупиковая ветка может вместить паровоз и с ним не больше 40 вагонов?

а
					б

14.

Попробуйте пройти из пункта А в пункт Б, побывав

в каждой клетке только один раз.

1 5.

П ереложив четыре спички, превратите топор в три

р авных треугольника.

40

1 6.

В нутри совка, образованного четырьмя спичками,

находится мусор. Не трогая мусор, переложите две

спички так, чтобы получился такой же совок, а

мусор оказался вне его.

1 7.

П ревратите эти 5 квадратов в 3, убрав 3 гвоздя.

1 8.

Ч етырехугольное поле окружено рвом шириной

3 метра. Ров наполнен водой. Как перейти на поле,

если имеются две толстых доски, длина каждой из

которых тоже 3 метра.

1 9.

К ак увеличить площадь бассейна вдвое, сохранив

деревья и не изменяя квадратной формы бассейна?

20.

К ак с помощью линейки измерить расстояние между

двумя наиболее удаленными друг от друга вершинами

кирпича.

21.

Один садовник получил очень странный заказ: посадить 24 дерева в шесть рядов так, чтобы в каждом ряду было по 5 деревьев.

Как он справился с этой задачей?

41

Ответы и решения

на игры, головоломки

1.

1+2+3-4+5+6+78+9=100 1+2+34-5+67-8+9=100

1+23-4+56+7+8+9=100 1+23-4+5+6+78-9=100

12+3-4+5+67+8+9=100 12+3+4+5-6-7+89=100

12-3-4+5-6+7+89=100 123-45-67+89=100

123+45-67+8-9=100 123-4-5-6-7+8-9=100

123+4-5+67-89=100

2.

(2+2)² –2/2=15 22/2+2х2=15 (2х2)² –2/2=15

2⁽²⁺²⁾ –2/2=15 22/2+2² =15 22/2+2+2=15

22/2-2/2=11 (222/2)² =111² =12321

3.

Берете 2 спички, вторым ходом подгоняете под 9, третьим – под 5. Теперь сколько бы не взял противник, вы всегда оставите ему одну спичку.

Для быстрого счета помните, что вместе с противником вы всегда можете взять 4 спички. Он 1 вы 3, он 2 вы 2, он 3 вы 1.

4 .

5.

5-1,6-1,9-3,10-3,8-14,7-14,4-2,11-2,13-15,12-15.

5-1,6-1,9-3,10-3,8-14,4-13,11-14,15-13,7-2,12-2.

6.

Пронумеруем лежащие спички и их половинки в порядке следования слева направо номерами 1,2,…..8. Снабдим также номерами 9 и 10 два пустых места. 2и3 на 9и10, 5и6 на 2и3, 8и9 на 5и6, 1и2 на 8и9.

7.

Длина окружности равна 2пR. Сумма диаметров равно. Значит, длина большой полуокружности равна сумме длин малых полуокружностей.

8 .

42

9.

До 6 этажа – 5 пролетов, до 3 этажа – 2 пролета. 5 :2 = 2, 5

Ответ: В 2,5 раза.

10.

Положите 2 спички на край стола или книги так, чтобы края стола или книги образовали две другие стороны квадрата.

1 1.

1 2.

Первым разрезом отделяем верхнюю часть. Получившиеся

три части складываем так, чтобы совместились отверстия

и вторым резом разрезаем подкову на требуемые 6 частей.

В этой задаче нет запрета на перемещение частей после разреза.

13. 40 Б+40

80+А Б+40 80+А+40 Б+40 80+А+40

А+40 40

Б+40+80 Б+40 80+А

14.

а
					б

15.

1 6.

17.

43

1 8.

1 9.

20.

Искомое расстояние можно измерить, например, так. Положить кирпич на угол стола так, чтобы его вершина совпала с углом, а ребра были расположены по краям стола. Отметить длину кирпича. Затем сдвинуть кирпич вдоль края стола так, чтобы вершина совпала с отметкой. Теперь расстояние от угла стола до вершины кирпича легко измерить линейкой.

. . .

2 1. . .

. .

. .

. .

. .

. .

. . .

44

Есть дети с острым умом и любознательные,

но дикие и упрямые. Таких обычно ненавидят

в школах и почти всегда считают безнадежными;

между тем из них обыкновенно выходят великие

люди, если только воспитать их надлежащим образом.

Ян Коменский

Задачи для 8–9 классов

Содержание

1. Плотники и столяр.

2. Два приятеля варили кашу.

3. 9 монет одинакового достоинства.

4. Конкурс любителей задач.

5. 300 электронов.

6. Гусеница и дерево.

7. Два путешественника и собака.

8. Трое крестьян.

9. Три философа.

10 Городской театр.

11. Четыре весельчака.

12. Секретарша и письма.

13. Теннисный мяч.

14. Пешеход и трамвайные вагоны.

15. Два поезда.

16. Пятеро крестьян.

17. Путешественники.

18. Покупка ювелирных изделий.

19. Три брата и 24 яблока.

20. Три охотника.

21. Поездка на велосипеде.

22. Морской рейс.

23. Две свечи.

24. Сколько стоит кафтан.

25. Хозяин и работник.

26. Чистка картофеля.

27. Покупка сувениров.

Задачи для 8 – 9 классов

1.

Бригада из шести плотников и столяра взялась выполнить одну работу. Каждый плотник заработал по 20 рублей, столяр же на 3 рубля больше, чем заработал в среднем каждый из семерых членов бригады.

Сколько же заработал столяр ?

2.

Два приятеля варили кашу: один всыпал в котелок 200г крупы, другой – 300г. Когда каша была готова , и приятели собирались ее есть, к ним присоединился прохожий и вместе с ними участвовал в еде. Уходя он оставил им за это 50 копеек.

Как должны приятели поделить между собой полученные деньги ?

3.

Имеется 9 монет одинакового достоинства. Известно, что 8 из них имеют одинаковый вес, а одна – фальшивая – немного легче остальных. Требуется при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету.

4.

На конкурсе любителей задач и головоломок особенно отличились 3 человека. Чтобы выделить из них победителя, решили провести еще одно испытание. Показали им 5 бумажек: 3 белые и 2 черные. Затем всем троим завязали глаза и каждому наклеили на лоб по белой бумажке, а черные бумажки уничтожили. После этого повязки сняли и объявили, что победителем будет тот, кто первым определит цвет своей бумажки. Никто из соревнующихся не мог видеть цвета своей бумажки, но видел белые бумажки , у своих товарищей. После некоторого размышления все трое пришли одновременно к заключению, что у каждого из них белая бумажка.

Как они рассуждали ?

5.

300 электронов несколькими группами должны перейти с одного энергетического уровня на другой. Но квантовый переход совершился числом групп на две меньшим, поэтому в каждую группу вошло на пять электронов больше.

Каково число электронных групп?

Для отправки 300 детей в оздоровительный лагерь заказали несколько автобусов. К назначенному времени два автобуса не прибыли. Пришлось в каждый автобус посадить на пять человек больше, чем предполагалось.

Сколько автобусов было заказано?

45

6.

В шесть часов утра в воскресенье гусеница начала всползать на дерево. В течении дня, т.е. до 18 часов, она всползла на высоту 5м.

В течение ночи спустилась на 2м. В следующие сутки она проделывала тоже.

В какой день и час она всползёт на высоту 9м?

7.

Два путешественника идут по одной дороге в одном направлении. Первый находится на 8км впереди другого и идёт со скоростью 4км/час. Второй идёт со скоростью 6км/час. У первого путешественника есть собака, которая именно в тот момент, когда мы начали наблюдать за ними, побежала ко второму путешественнику со скоростью 15км/час. Затем она вернулась к хозяину и опять побежала к другому путешественнику. Так она бегала до тех пор, пока путешественники не встретились.

Какой путь пробежала собака?

8.

Трое крестьян Иван, Пётр и Николай за выполненную работу получили мешок зерна. На беду под рукой не оказалось мерки и пришлось делить зерно “на глазок”. Старший – Иван, рассыпал зерно на три кучи, как он считал, поровну:

-Первая куча тебе, Петр. Вторая – Николаю. Третья мне.

-Я не согласен, - возразил Николай, - моя куча зерна самая маленькая. –Будь мы вдвоём, я да Пётр, - вскричал в сердцах Иван, - я бы мигом разделил. Рассыпал бы зерно на две равные кучи и предложил бы Петру выбирать любую, а оставшуюся взял бы себе. Оба мы были бы довольны. А тут не знаю как и быть. Задумались крестьяне, как же разделить зерно, чтоб все были довольны. И придумали. Придумайте и вы.

9.

Утомившись от споров и летнего зноя, три древнегреческих философа прилегли немного отдохнуть под деревом сада академии и уснули. Пока они спали, шутники испачкали углем их лбы. Проснувшись и взглянув друг на друга, все пришли в веселое настроение и начали смеяться, но это никого не тревожило, так как каждому казалось естественным, что двое других смеются друг над другом. Внезапно один из мудрецов перестал смеяться, так как он сообразил, что и его лоб запачкан. Как он рассуждал?

46

10.

Театр в маленьком городке насчитывал сто мест. В день премьеры спектакля все билеты были проданы – на общую сумму в 100 рублей. Стоили билеты: для мужчин-5 рублей, для женщин-2 рубля, для детей-10 копеек. По силам ли вам подсчитать, сколько мужчин, женщин и детей было на премьере?

11.

Четыре весельчака сели играть и играли всю ночь до рассвета. Они играли за деньги, а не просто для забавы. У каждого был свой счет. Ну а когда стали подсчитывать выигрыш, оказалось, что у всех он одинаков! Вы можете объяснить этот парадокс? Если никто не проиграл, как же они все выиграли?

12.

Утром секретарша отпечатала четыре письма четырем разным людям и напечатала адреса на конвертах. Затем разложила письма по конвертам наугад. Может ли получиться так, что три письма из четырех окажутся в нужных конвертах?

13.

Теннисный мяч угодил прямо в норку суслика, который вырыл ее на корте загородного клуба. Норка оказалась столь глубока, а изгиб ее столь причудлив, что достать мяч с помощью палки и думать нечего. Однако всего за пару минут игрок справился с задачей. Как ему удалось заполучить мяч, не перекопав при этом весь корт?

14.

Пешеход, следуя вдоль линии трамвая, через каждые 4 минуты встречает вагон трамвая, и через каждые 12 минут его нагоняет вагон трамвая, движущийся в одном с ним направлении. Спрашивается, через какие промежутки времени отходят от станции трамвайные вагоны? Предполагается, что все вагоны движутся равномерно с одинаковой скоростью и что пешеход также идет равномерно.

15.

Два поезда двигались по параллельным путям друг другу навстречу, один со скоростью 18км/час, а другой со скоростью 24км/час. Пассажир, сидевший в первом поезде, заметил, что поезд шел мимо него в течении 12 секунд. Какова длина второго поезда?

47

16.

У пятерых крестьян – Ивана, Петра, Якова, Михаила и Герасима – было 10 овец. Не могли они найти пастуха, чтобы пасти овец, и говорит Иван остальным: «Будем, братцы, пасти овец по очереди – по столько дней сколько каждый из нас имеет овец». По сколько дней каждый крестьянин должен пасти овец, если известно, что у Ивана в два раза меньше овец, чем у Петра, у Якова в два раза меньше, чем у Ивана; Михаил имеет овец в два раза больше, чем Яков, а Герасим – вчетверо меньше, чем Петр?

17.

Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?

18.

Ювелир продал каждому из покупателей столько колец, сколько у него всего было покупателей, причем за каждое кольцо он взял столько рублей, сколько колец он продал каждому. Часть вырученной суммы ювелир потратил на покупку 10 браслетов. За каждый браслет он заплатил число рублей, меньшее числа браслетов, но каждый из них стол дороже кольца. Оставшаяся у ювелира сумма была меньше цены браслета.

Определите стоимость кольца и браслета?

19.

Три брата получили 24 яблока, причем каждому досталось столько яблок, сколько ему было лет три года тому назад. Самый младший, мальчик очень смышленый, предложил братьям такой обмен яблоками:

Я, - сказал он, - оставлю себе только половину имеющихся у меня яблок, а остальное разделю между вами поровну; то же сделает средний брат, а затем и старший. Братья согласились. В результате у всех оказалось яблок поровну.

Сколько лет было малышу и каждому из остальных братьев?

20.

Три охотника несколько дней подряд провели в тайге на охоте. В последний

день охоты утром случилась неприятность: переходя вброд небольшую речушку два охотника подмочили свои патронташи. Часть их патронов оказалась негодной к употреблению. Три друга поровну поделили между собой сохранившиеся патроны. После того как каждый охотник сделал четыре выстрела, у всех охотников вместе осталось столько патронов, сколько было после дележа у каждого.

Сколько всего пригодных патронов было в момент дележа?

48

21.

Когда велосипедист проехал 2/3 пути, лопнула шина. На остальной путь пешком он затратил вдвое больше времени, чем на велосипедную езду.

Во сколько раз велосипедист ехал быстрее, чем шел?

22.

Теплоход отправился в дальний морской рейс. Когда он отошел от берега на расстояние 180 миль, за ним вылетел гидросамолет с экстренной почтой. Скорость гидросамолета в 10 раз больше скорости теплохода. На каком расстоянии от берега гидросамолет нагонит теплоход?

23.

Горят две свечи неодинаковой длины и разной толщины. Более длинная полностью сгорает за 3,5 часа, а короткая за 5 часов. Через 2 часа одновременного горения длины свечей оказались равными.

Во сколько раз одна свеча первоначально была короче другой?

24.

Хозяин нанял работника на год и обещал ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот, проработав только 7 месяцев, захотел уйти. При расчете он получил кафтан и 5 рублей. Сколько стоит кафтан?

25.

Хозяин нанял работника с таким условием: за каждый рабочий день будет платить ему по 20 копеек, а за каждый нерабочий день – вычитать 30 копеек. По прошествии 60 дней работник ничего не заработал.

Сколько было рабочих дней?

26.

Двое очистили 400 штук картофеля; один очищал три штуки в минуту, другой – две. Второй работал на 25 минут больше первого.

Сколько времени работал каждый?

27.

Некий человек покупал сувениры. Когда он давал деньги за 8 сувениров, то у него оставалось 60 копеек. Когда же он давал за 9 сувениров, то ему не хватило 1 рубля 60 копеек.

Сколько денег было у этого человека?

49

Ответы и решения задач для 8 – 9 классов

1.

Узнаем средний заработок члена бригады 3р. : 6 = 0,5р. 20р. + 0,5р. = 20р.50коп.

Столяр заработал 20р.50коп. + 3р. = 23р.50коп.

Ответ: 23р50коп.

2.

500гр. каши стоит 1р.50коп.

100гр. каши стоит 30коп.

Первый затратил 60коп. – 200гр. по 30коп.

Скушал каши на 50коп., Значит ему нужно взять 10копеек.

Второй затратил 90коп.

Скушал каши на 50коп., Значит ему нужно взять 40копеек.

Ответ: Первому – 10 копеек.

Второму – 40 копеек.

3.

Разбиваем 9 монет на 3 равные группы и кладем по 3 монеты на каждую чашу весов (первое взвешивание); третью группу оставляем в стороне. Возможны 2 случая.

Весы остаются в равновесии; тогда искомая монета – в числе оставленных в стороне. Выбираем из 3 оставленных монет любые 2 и кладем их по одной на разные чаши весов (второе взвешивание). Если теперь равновесия не будет, то чашка с фальшивой (более легкой) монетой пойдет вверх; если весы останутся в равновесии, то искомая монета – третья, не попавшая на весы.

Равновесия нет; следовательно искомая монета – на той чаше которая пошла вверх.. Там 3 монеты. Решается аналогично.

4.

(А) рассуждал так: ,, Бумажки у моих товарищей белые, значит, у меня бумажка может быть белой, а может быть и черной. Предположим она черная. Тогда (Б) имеет основания достоверно заявить о цвете своей бумажки, так как он может сказать себе: ,, Я вижу, что у (А) бумажка черная, а у (С) – белая, значит, у меня может быть или белая или черная, но она не может быть черная, так как тогда (С), зная что черных бумажек только две, и видя у меня и у (А) черные бумажки, немедленно заявил бы о цвете своей бумажки. Но (С) не заявил об этом немедленно, следовательно, он думает, не черная ли у него бумажка, но тогда, значит, он у меня видит белую бумажку”. Но (Б) тоже молчит, следовательно, моя бумажка – не черная. Но если она – не черная, значит, - белая “.

Так рассуждал (А), уверенный в способности своих товарищей столь же логично мыслить. Аналогично рассуждали и остальные два товарища, поэтому все они одновременно и пришли к правильному заключению о том, что у каждого из них бумажка белая.

50

5.

Это две одинаковые задачи.

Х – число мест в автобусе.

300 : Х = 300 : (Х + 5) + 2

300Х + 1500 = 300Х + 2Х² + 10Х

2Х² +10Х – 750 = 0 Х = 25 300 : 25 = 12 300 : 30 = 10.

Ответ: Заказали – 12 автобусов.

Прибыло – 10 автобусов.

6.

В конце вторых суток, во вторник в 6 часов утра, гусеница будет на высоте

6 метров; но в этот же день, начиная с 6 часов утра, она до 18 часов может всполсти еще на 5 метров. Следовательно, на высоте 9 метров она окажется во вторник в 13 часов 12 минут.

Ответ: Во вторник в 13час.12мин.

7.

Второй путешественник нагонит первого через 4 часа т.к. 6км/час – 4км/час =

2км/час. 8км : 2км/час = 4часа. За это время собака со скоростью 15км/час пробежит 60км.

Ответ: 60км.

8.

Иван предложил крестьянам делить зерно так: - Я рассыплю зерно на три кучи, на мой взгляд, поровну и отхожу в сторону. Мне подойдет любая из куч. Пусть затем Петр укажет наименьшую, по его мнению, кучу зерна. Если Николай также считает, что зерна в этой куче меньше трети, то отдайте ее мне, а остаток зерна делите между собой известным уже способом. Если Николай решит, что в указанной куче не меньше трети зерна, Пусть возьмет ее себе. Петр возьмет наибольшую, по его мнению, кучу, а оставшаяся достанется мне.

9.

Рассуждал он так:

« Каждый из нас может думать, что его собственное лицо чистое. Б уверен, что его лицо чистое, и смеется над измазанным лбом мудреца В. Но если бы Б видел, что мое лицо чистое, то он был бы удивлен смеху В, так как в этом случае у В не было бы повода для смеха. Однако Б не удивлен, значит, он может думать, что В смеется надо мной. Следовательно, мое лицо испачкано.

10.

311 мужчин – 55 рублей, 19 женщин – 38 рублей, 70 детей – 7 рублей.

11.

Условие задачи – логический трюк. Все четверо играли на скрипке – это был скрипичный квартет, и после выступления каждый из них получил гонорар.

51

12.

Нет, не может. Если вложить наугад три письма в нужные конверты, то и четвертое непременно окажется на своем месте.

13.

Он опустил в норку шланг и наполнил ее водой, после чего теннисный мяч всплыл сам.

14.

V1 – скорость вагона.

V2 – скорость пешехода.

S – расстояние между двумя последовательными вагонами, идущими в одном направлении, то по условию задачи: 4v1 +4v2 = S 12v1 – 12v2 = S

Из этих уравнений находим, что V1 /V2 = 2 т.е. что пешеход движется вдвое

медленнее трамвая. Заметив, что время, протекающее между прохождениями через станцию двух следующих один за другим вагонов, выразится через S/V1 , найдем из предыдущего, что S/V1 = 6

Ответ: Через 6 минут.

15.

Если считать, что пассажир сидит в неподвижном поезде, то второй поезд идет мимо него со скоростью 18 + 24 = 42 км/час = 35/3 м/сек.

Так как поезд шел мимо пассажира 12 секунд, то его длина равна

12 х 35/3 = 140 метров.

Ответ: 140 метров.

16.

Обозначим количество овец у каждого крестьянина начальными буквами их имен.

И = П/2 Я = И/2 М = 2Я Г = П/2- Логично предположить, что у Якова одна овца, тогда у Михаила 2 овцы и у Ивана 2овцы, у Петра 4 овцы и у Герасима одна овца.

Ответ: Герасим и Яков пасут по 1 дню.

Михаил и Иван – по 2 дня. Петр – 4 дня.

17.

За 30 дней путешественники проходят 30:10+30:15=5 расстояний между городами. Следовательно, они сойдутся через 30:5=6 дней

Ответ: Через 6 дней.

18.

Обозначим через Х цену кольца, через У – цену браслета, а через Z – оставшуюся у ювелира сумму денег. Тогда, согласно условию задачи,

Х3 = 10У + Z. Левая часть должна быть точным кубом и может быть равна

27 или 64. 27 не годится. Следовательно, Х3 =64 = 10У+ Z, откуда

Х = 4, У = 6, Z = 4.

52

19.

Ст. Ср. Мл.

8 8 8

16 4 4 Ответ: Старшему было16 лет.

14 8 2 Среднему – 10 лет.

13 7 4 Младшему – 7 лет.

20.

После дележа патронов, охотники втроем израсходовали 12 патронов. После этого у всех вместе осталось столько штук, сколько после дележа было у каждого, то-есть общее число патронов уменьшилось в три раза. Иными словами, охотники израсходовали 2 части, а одна осталась. Две части составляют 12 патронов, а одна часть – 6 штук. Значит, осталось 6 патронов. Это и есть число патронов, доставшихся каждому при дележе. Следовательно, перед дележом было 18 годных патронов.

Ответ: 18 патронов.

21.

Велосипедист прошел пешком 1/3 пути, то-есть вдвое меньше того, что проехал, а времени затратил вдвое больше.

Следовательно, он ехал в 4 раза быстрее, чем шел.

22.

Алгебраическое решение. Скорость теплохода – Х; скорость гидросамолета – 10Х. Путь гидросамолета до встречи с теплоходом – S; за то же время путь

теплохода S – 180, следовательно, S/10Х = S – 180/Х. Умножаем оба равенства на 10Х и получаем S = 200 миль.

Арифметическое решение. В то время за которое гидросамолет делает 10 миль, теплоход удаляется на одну милю. Пока гидросамолет пролетит 180 миль, теплоход удалится на 18 миль. Гидросамолет пролетит еще 10 миль, теплоход пройдет 19 милю. На 20 миле гидросамолет догонит теплоход.

Ответ: 200 миль.

23.

Х – длина длинной свечи, У – длина короткой. За час первая свеча сгорит на

Х:31/3=2/7Х, а вторая – на 1/5У. За два часа они соответственно сгорят на

4/7Х и 2/5У. От первой свечи останется 3/7Х, а от второй 3/5У. По условию задачи 3/7Х = 3/5У; следовательно одна свеча короче другой в 5/7 раза.

Ответ: В 5/7 раза.

24.

Работник не доработал у хозяина 5 месяцев и недополучил 7 рублей. Значит, месячная плата в рублях составляет 7/5 рубля или 1 рубль 40 копеек. Плата за 7 месяцев составляет 9 рублей 80 копеек. Но работник получил 5 рублей и кафтан. Значит, кафтан стоит 4 рубля 80 копеек.

Ответ: 4 рубля 80 копеек.

53

25.

Если бы работник работал без прогулов, то за 60 дней он заработал бы

20 х 60 = 1200 копеек. За каждый нерабочий день у него вычитают 30 копеек и он не зарабатывает 20 копеек, т.е. за каждый прогул он теряет 20 + 30 = 50 копеек. Поскольку за 60 дней работник ничего не заработал, то потеря за все нерабочие дни составила 1200 копеек, т.е. число нерабочих дней равно

1200 : 50 = 24 дня. Количество рабочих дней равно 60 – 24 = 36 дням.

Ответ: 36 дней.

26.

За 25 минут второй очистил 2 х 25 = 50 штук. Вдвоем они очистили 350 штук, по 5 штук в минуту. На это они затратили 350 : 5 = 70 минут.

Значит, первый работал 70 минут, второй 70 + 25 =95 минут.

Ответ: 70 и 95 минут.

27.

Один сувенир стоит 60коп.+1р.60коп.= 2р.60коп.

Первый случай 2р.60коп.х 8+60коп.= 18р.20коп.

Второй случай 2р.60коп.х 9- 1р.60коп = 18р.20коп. Ответ: 18р.20коп

54