Задачи на деление с остатком

7 кл Задачи на делимость

Признаки делимости (малый мехмат Занятие 15.)

При реш задач пригодятся следующие признаки делимости:

Натуральное число делится на 3 только тогда, когда его сумма цифр делится на 3. 
Натуральное число делится на 9 только, когда его сумма цифр делится на 9. 
Натуральное число делится на 2 только когда его последняя цифра чётна. 
Натуральное число делится на 5только, когда его пос цифра равна 0 или 5. 
Нат число делится на 4 только когда число, обр его 2 поси цифрами (в том же порядке), де на 4. 
Натуральное число делится на 8 тольк, когда число, обр его 3 посл цифрами (в том же порядке), делится на 8.

Квадраты целых чисел при делении на m = 4 могут давать только остатки 0 и 1, а при делении на m = 5 –– остатки 0, 1 и 4.

 Число делится на  только когда число, составленное из последних  цифр его десятичной записи, идущих в том же порядке, делится на  .

1.В написал в тетради число 65349*0712 в кач примера числа, ко делится: а) на 9; б) на 3. (Помог В восст проп цифру. Ука все возм варианты!

2.Запи подряд цифры от 1 до 9, полу число 123456789. Простое оно или сост? Из ли ответ в за, если каким-то об поменять порядок цифр в этом числе?

3.Делится ли число 32561698 на 12? Решите эту задачу:

а)с пом признака делимости на 4; б)с пом признака делимости на 3.

4.Д и Т по очереди выписали на доску цифры 6значного числа. Сначала Д выписал 1 цифру, затем Т 2ю, и т д. Т хочет, чтобы полученное в результате число делилось на 3, а Д хочет ей помешать. Кто из них может добиться желаемого независимо от ходов соперника?

5.В стране Цифра 9 гор с назв 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путеш обнар, что 2 гор соед авиал только в том сл, если двузначное число, составленное из цифр — названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из г 1 в г 9?

6.Чтобы открыть сейф, надо ввести код — 7зн число, сост из 2 и 3. Сейф откр, если двоек в коде больше, чем троек, а сам код дел и на 3, и на 4. Какой код м открывать сейф?

7.Замен * в записи числа 72*4* цифр так, чтобы это число дел на 45. Укаж все возм вар!

8.а)Доказать, что произведение 2 последовательных чётных чисел всегда делится на 8.

б)Может ли произведение 4 последовательных натуральных чисел оканчиваться на 116?

9.Доказать, что из любых 7 различных цифр можно составить число, кот дел на 4.

10.Может ли произведение числа и суммы его цифр = 4704?

11.Может ли натуральное число, записанное с помощью 10 нулей, 10 единиц и 10 двоек, быть квадратом некоторого другого натурального числа?

12.Натуральное число В обладает следующим свойством: для любого числа A, кот делится на В, на В также делится и все числа, полученные из А перестановкой цифр. Доказать, что В может б ытьравно только 1, 3 или 9.

13) Натуральное число оканчивается на 35. Может ли оно быть квадратом некоторого натурального числа? 

14)Доказать, что если сумма трех последовательных натуральных чисел есть число нечетное, то их произведение делится на 24.

https://ankolpakov.ru/2018/09/02/olimpiadnye-zadachi-na-delimost/

1)Док, что если нат число не дел на 3, то ост от дел квадр этого числа на 3 = 1.

2). Док, что при любом нат п число 3п + 2 не явл квадратом целого числа.

3). Док, что:1) 10⁷⁰ -361 дел на 27; 2) 10⁸⁰ - 298 дел на 99; 3) 91⁵⁰ -19 ⁷⁵ дел на 18;

14). Пусть  — на числа, причем   правильная несократимая дробь. На какие натуральные числа можно сократить дробь  , если известно, что она сократима?

Реш Пусть  — общий делит чисел  и  . Имеем сму уравн:

или Если  не дел на 11, то  явл общ делит чисел  , что против усл зад. Если дел на 11, но  , тогда число - также б явл общ дели   , что невозм. И, , если  , то в кач прим м взять  Тогда дробь  , равную  , м сокр на 11.

Т е, если данная в условии дробь сократима, то ее можно сократить только на число 11.

Задачи на решение 1 уравненияв целых числах

Т о делении с остатком. Для любого целого a и натурального b существует единсвенная пара чисел q и r таких, что a bq r , где q - целое, а r - нат или 0 причем r м принимать лишь b различныз значений 0, 1, 2, …,b 1.
Заметим, что если остаток r =0, то число a делится на число b .

О2. Два числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих нат делителей, кр 1

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1)Доказать, что если п - натуральное и п 1, то  - составное число.

Найти целые числа х и у, удовл уравнению  .

2). 9 пирожных стоят ,

Реш Х гривен-1 пирож, тогда 9х11
отв x=1.11гривны

3) Сумма двух целых чисел = 101, а разность их квадратов – простое ч-ло. Найди эти числа.
Реш. Обозн числа через a и b . Тогда , где p - простое , т.е. . т к (a b) 101, то101(a b)=p . Отсюда ,p дел на 101, но p -простое, зн p=101. Имеем: a b 1, отс a=b+1.
Т к a b 101, нах, что a 51 и b 50 .Ответ: 51 и 50.

4). Перед маг у М и Ш денег было поровну. М израсходовал в 8 р меньше денег, чем Ш, а осталось у него в 9 раз больше денег, чем у Ш Доказать, что изначально количество денег у М делилось на 71 (имеется в виду, что у М и Ш было целое количество денег)

реш пусть было по x руб а М израсходовал y руб лей. Тогда по условию имеем уравнение

. x делится на71, ч т д

5). Могут ли числа 1234567897 и 1234567892 быть квадратами каких-ло целых чисел?
Реш. Дан числа не могут являться квадратами целых из-за свойств последних цифр 7 и 2. при возв в квадрат целого числа, последняя цифра м б р= 1, 4, 9, 6, 5, 0. (Проверьте!)

6) Является ли число 123321123321 квадратом какого-либо целого числа?
Реш Предп, что дел на 3 т к его сумма цифр дел

Зн дел н 3 и к дел на 3 но тогда дел на 9 но сумма цифр не дел на 9

З 5. Док, что знач многочлена При любом целом n дел на 3.

реш

Произведение 3послед целых чисел дел на 3, 2е слаг тоже

За6. Док, что делится на 5 при любом нат m .

Произв 5 послед целых чисел дел на 3, 2е слаг тоже

7). Найти все пятизначные числа вида которые делятся на 18 (m,n-цифры)

Реш Из призн делимости на 2 след, что n - четная ц, т.е. n 0 , 2, 4, 6, 8

Пусть n 0 , и числа имеют вид 517m0. Из признака делимости на 9 следует делимость суммы 5 1 7 m 0 на 9. След m м б равным только 5. Получ число 51750.
Пусть n 2 , и числа имеют вид 517m2 . Из призн дел на 9 след делимость суммы 5 1 7 m 2 на 9. След m м принимать только зн 3 и получ число 51732.
Рассмотрим остальные варианты нахождения остатка числа:

51714, 51786, 51768.

Ответ: 51750, 51732, 51714, 51786, 51768.

З 8. Доказать, что число делится на 10.

Реш у посл цифра 6 зн и у тоже 8 и у 2

= ч-ло заканч 1 тоже заканч 1 умн га 49 посл цифра –числа 9

и посл цифра – =9

Сумма 34чисел, одно из кот заканч на 2, а два др заканч на 9, дел на 10, т к посл цифра =0

З9. Если 2знач число разделить на произведение его цифр, то в частном получим 1, а в остатке 16.

Найти это число
Реш 1 способ Пусть. где x , y - цифры.

6 имеет 4 нат рделителя: 1, 2, 3 и 6

Если x-1 =1, то x=2 , тогда Если x-1 =2, то x=3 , тогда

Если x-1 =3, то x=4 , тогда Если x-1 =6, то x=7 , тогда

4 квндидата Усл удовл только 3

2 способ. Приведем ур к виду л ч –натуральные делители

Решите в целых числах уравнение

Для следующих задач свойства делимости имеют решающее значение. В процессе решения их надо следить за целочисленностью всех переменных кот д б такими по смыслу .

Зад 12. Имеются контейнер с овощами массой 130 и 160кг.Надо полностью загрузить им прицеп грузоподъемностью 3 т. Как это можно сделать?
Реш. Обозначим кол контейнеров 130кг через x , а 160кг через y .По условию общая масса всех контейнеров = 3т, т е, имеем уравнение :

1) не удовл усл зад 2)

Пр 8. За 2005 г ч-ло книг в фонде библиотеки поселка увеличилось на 0,4%, а за 2006г-на 0,8%, оставшихся при этом меньше 50тыс. На сколько книг увеличился фонд б-ки поселка за 2006 г?

Реш. Пусть  - число книг в библиотеке в начале 2005г. Тогда в конце 2005г в библиотеке было   , а в конце 2006 г -  .Т к последнее число является целым, а каждое из чисел 125 и 250 взаимно просто с каждым из чисел 126 и 251, то x делится без остатка на  . Так как x при этом не превосходит 50000, то x=31250. Тогда за 2006 г фонд библиотеки увеличился на

Пр 9. На заводе было несколько одинаковых прессов, штам детали, и завод вып 6480 де в день. После реконструкции все прессы заменили на более производительные, но также одинаковые, а их число увеличилось на 3. Завод стал выпускать в день 11 200дет. Сколько прессов было первоначально?

Реш. Разложим 6480 и 11 200 на простые множители Пусть -n кол прессов, кот б на заводе первонач. Тогда  n+3 - количество прессов, которое стало после реконструкции. Т к каждый пресс выпускает в день целое число деталей, то 6480 должно делиться на n, а 11200- на  n+3 . При этом n не может делиться на 3, так как тогда бы и  n+3 дел на 3, а в разложении числа 11200 на простые множ тройки отсутствуют. Значит,  является делителем числа  , т.е. м принимать одно из значений:2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80.Тогда n+3 принимает, значение 5, 7, 8, 11, 13, 19, 23, 43, 83.

Ясно, что всем условиям делимости удовлетворяют k n=2? N=4 n=5 сл n=2  производит каждого пресса до реконструкции= 3240 дет/день, а после реконструкции-2240 дет/день, что противоречит условию. В случае   n=4 производит каждого пресса до реконструкции = 1620 дет/ день, а после -1600 дет/ день, что также противор усл. И, в сл  n=5 произв каждого пресса до реконстр= 1296 дет/ день, а после – 1400 дет/день, что не противор усл задачи.Ответ: 5 прессов. .

Пр10. Брокер фирма выст на торги акции 2 комп: нефтяной – по 100$ за акцию и газовой – по 65$ 60 центов за акцию. Всего б 200 акций. Все акции газ компании проданы, а часть акций нефтян ост непроданными. Общая сумма выручки = 13120$. Найти сумму выручки, полученной за акции газовой компании.

Решение .Пусть  - количество проданных акций нефтяной и газовой компаний . Согласно условию задачи получим уравнение:

Т к   цел, а чло 125 и 82 вз простые, то   д дел на 82 без ост Следовательно  , т к иначе число  б отрицательно. Таким образом, выручка от продажи акций га комп составит  $ Отв: 4920$.

Пр 11. На цехе имелось  одинаковых станков, кот, раб вместе, вытачивали в день 5850 дет. После реконструкции число проивзеденных в день каждым станком деталей возросло на 20%. Это позволило, по крайней мере, без сокращения общего объема продукции цеха уменьшить число станков максимум на 4 Найти   .

Решение. Пусть  x - кол деталей, кот вытачивает в день каждый станок до реконструкции. Тогда, согласно условию задачи, имеем следующую систему:

Т к  n целое то  Разл т число 5850 на прост множ:  . Поск  явл дели числа 5850. то  или  . Если  , то  и  целое. Таким образом, в цехе до реконструкции было 26 станков. Ответ: 26 станков.

Задача о размене Сколькими способами можно набрать 1 руб 3-копеечн и 5коп монетами?

Решение Пусть 3-коп монет было x , а 5-коп – y имеем уравнения

число x должно быть кратно 5. Так как то

Рассмотрев все варианты, находим количество способов выдачи денег

Задачи для самостоятельного решения.

Уровень А:

1)Существует ли такое натуральное n , что число  делится нацело на 2005?2. Док что  не делятся на 121 ни при каком целом 

2) Определить сумму всех таких натуральных чисел  , для кот орых числа 3920 и 4320 делятся без остатка на   и  соответственно.

3) Пусть m,n –натуральные числа , причем  m/n- правильная несократимая дробь. На какие натуральные числа можно сократить дробь  если известно, что она сократима?

4)Среди учащихся старших классов проведён опрос: кто любит волейбол,, а кто баскетбол. Оказ, что 52% любит волейбол любят и баскетбол, а 65% любит баскетбола любят и волейбол. Зато 36% всех опрошенных не любят ни волейбол, ни баскетбол. Каким при этих условиях может быть наименьшее число опрошенных?

5) На фабрике несколько одинаковых поточных линий вместе выпускают в день 15000 банок консервов. После реконструкции все поточные линии заменены на более производительные , но также одинаковые, а их количество увеличилось на 5. Фабрика стала выпускать 33792 банки в день. Сколько поточных линий было первоначально?

Задачи из [4]

6-значн номер билета называется счастливым, если сумма его первых 3 цифр = сумме 3 последних цифр. Докажите, что сумма всех счастливых номеров делится на 13. (Номер автобусного билета может
начинаться с произвольного числа нулей.)

Найдите все целые числа a, для которых число будет целым.

Пусть x и y –– целые ч такие, что 3x + 7 y делится на 19. Докажите, что 43x + 75 y тоже делится на 19

При каких натуральных n число делится а) на 11; б) на 121?

Найдите наибольшую степень двойки, на которую при любом нечётном a делится число

Докажите, что для чётных натуральных чисел n число делится на 48.

ССЫЛКИ и ЛИТЕРАТУРА

1) малый мехмат МГУ кружок 6 кл.Е.А.Асташов http://mmmf.msu.ru/archive/20122013/z6/15.html

2)Математика 7 класс. Задачи на делимость ,7 кл, СУНЦ НГУ,2012 г

4) Н. Б. Алфутова, Ю. Е. Егоров, А. В. Устинов Вступительные экзамены ФМШ при МГУ