Задачи на повторение курса геометрии.

Решение заданий площади многоугольников по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 9,11 класс http:// mathege.ru/or/ege/Main.html

Теорема Пика

Пусть L − число целочисленных точек внутри многоугольника, B − количество целочисленных точек на его границе, S − его площадь. Тогда справедлива формула Пика:

S = L + B/2 – 1

Пример 1.

Для многоугольника на рисунке L = 13 (красные точки),

B = 6 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому

S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.

1см

Теорема Пика

1см

Пример 2.

L = 18 (красные точки),

B = 10 (синие точки), поэтому

S = 18 + 10/2 – 1 = 22 квадратных единиц.

Площадь прямоугольного треугольника

Пусть а и b − катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, h – высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, S − его площадь.

Тогда справедливы формулы:

1

1

S = ab

S = ch

2

2

a

h

c

b

Площадь произвольного треугольника

Пусть а − сторона треугольника, h а – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.

Тогда справедлива формула:

1

S = ah a

2

h a

h a

a

a

Площадь параллелограмма

Пусть а − сторона параллелограмма, h а – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.

Тогда справедлива формула:

S = ah a

h a

h a

a

a

Площадь трапеции

Пусть а и b − основания трапеции, h – высота,

S − площадь трапеции.

Тогда справедлива формула:

a + b

S = h

2

a

a

h

h

b

b

Площадь четырехугольника

Пусть d 1 и d 2 диагонали произвольного четырехугольника, α – угол между ними, S − его площадь.

Тогда справедлива формула:

1

S = d 1 d 2 sin α

2

d 1

α

α

d 1

d 2

d 2

Задания открытого банка задач

1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

3

Решение:

7

1см

Ответ: 10,5.

Задания открытого банка задач

2. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

4

h a

8

1см

Ответ: 16.

Задания открытого банка задач

3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

h a

3

8

1см

Ответ: 12.

Задания открытого банка задач

4. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

1см

4

h a

6

Ответ: 12.

Задания открытого банка задач

5. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

1см

3

h a

8

Ответ: 12.

Задания открытого банка задач

6. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

8

Решение:

1

9

8

2

6

Ответ: 33.

8

1см

Задания открытого банка задач

7. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1

7

Решение:

4

9

5

Ответ: 15,5.

8

1см

Задания открытого банка задач

8. Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

7

Решение:

1

по теореме Пифагора:

а

а

1см

Ответ: 50.

Задания открытого банка задач

9. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

6

по теореме Пифагора:

2

b

3

а

1

1см

Ответ: 20.

Задания открытого банка задач

10. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

4

8

1см

Ответ: 16.

Задания открытого банка задач

11. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

4

5

3

1см

Ответ: 17,5.

8

Задания открытого банка задач

12. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

4

6

1см

Ответ: 8.

8

Задания открытого банка задач

13. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

5

4

1см

Ответ: 30.

8

Задания открытого банка задач

14. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

2

7

1см

Ответ: 36.

4

Задания открытого банка задач

15. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

7

1см

Ответ: 28.

Задания открытого банка задач

17. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

3

5

Решение:

2

9

7

Ответ: 25,5.

8

1см

7

Задания открытого банка задач

18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: (1 способ)

3

1см

2

Ответ: 13,5.

9

Задания открытого банка задач

18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: (2 способ)

S 2

4

7

S 3

2

1

1см

S 4

2

Ответ: 13,5.

Задания открытого банка задач

19. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

8

Решение:

6

9

3

Ответ: 51.

2

6

1см

Задания открытого банка задач

20. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

2

Решение:

5

9

Ответ: 31.

8

1см

Задания открытого банка задач

21. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

8

2

7

5

2

3

Ответ: 33,5.

1см

Задания открытого банка задач

22. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

8

Решение:

3

8

5

5

3

Ответ: 24.

1см

Задания открытого банка задач

23. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

8

Решение:

4

7

3

5

3

Ответ: 14,5.

1см

31

Задания открытого банка задач

24. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

7

3

2

8

Ответ: 18.

1см

32

4 √ 2

4 √ 2

Задания открытого банка задач

25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: (1 способ)

Площадь четырехугольника

(в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Диагонали данного четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 4. Поэтому длины диагоналей равны 4 √ 2, а синус угла между ними равен 1.

Тем самым, площадь данного четырехугольника равна 16.

4

4

4

4

1см

Ответ: 16.

33

Задания открытого банка задач

25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: (2 способ)

L = 15 (красные точки),

B = 4 (синие точки), тогда по теореме Пика

S = L + B/2 – 1

S = 15 + 4/2 – 1 = 16

Ответ: 16.

1см

34

Задания открытого банка задач

26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: (1 способ)

6

3

4

5

5

9

5

4

Ответ: 19,5.

9

1см

35

Задания открытого банка задач

26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: (2 способ)

L = 16 (красные точки),

B = 9 (синие точки), тогда по теореме Пика

S = L + B/2 – 1

S = 16 + 9/2 – 1 = 19,5

Ответ: 19,5.

1см

36