Задача
Два игрока играют в следующую игру. На доске записано число 2. Ход состоит в том, что текущее число х на доске стирается. А вместо него записывается одно из трех чисел: х+3; х+5; и 2х. Выигрывает игрок, после хода которого на доске оказывается число. Большее 20. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – начинающий или второй игрок? Ответ обоснуйте.
Задача
Даны три горки фишек, содержащие соответственно 3,2 и 1 фишку. За один ход разрешается или утроить кол-во фишек в какой-нибудь горке, или добавить по 3 фишки в каждую из трех горок. Выигрывает тот игрок после чьего хода в каких-либо двух горках суммарно становится не менее 30 фишек. Два игрока ходят по очереди. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – начинающий или второй игрок? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Задача
Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале фишка находится в точке с координатами (-2;1). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (х;у) в одну из трех точек (х+4;у); (х;у+3); (х+2;у+2). Выигрывает игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами (0;0) не меньше 9 единиц. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Дополнительная задача
Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой – 4 камня, а во второй – 3 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или увеличивает в 3 раза число камней в любой куче. Или добавляет 2 камня в какую-то кучу. Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах становится не менее 24 камней. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Задача и её решение
Два игрока играют в следующую игру. На доске записано число 2. Ход состоит в том, что текущее число х на доске стирается. А вместо него записывается одно из трех чисел: х+3; х+5; и 2х. Выигрывает игрок, после хода которого на доске оказывается число. Большее 20. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – начинающий или второй игрок? Ответ обоснуйте.
| Исход | 1 ход 1 игрока | 1 ход 2 игрока | 2 ход 1 игрока | 2 ход 2 игрока |
| 2 | 5 | 8 | 11 | Умножением на 2 получаем выигрыш |
| 13 |
| 16 |
| 10 | 13 |
| 15 |
| 20 |
| 10 | Такой вариант рассмотрен | выигрыш |
| 7 | 10 | Такой вариант рассмотрен | выигрыш |
| 12 | 15 | Данный вариант не рассматриваем. Так как это победа соперника |
| 17 |
| 24 |
| 14 | 17 | Данный вариант не рассматриваем. Так как это победа соперника |
| 19 |
| 28 |
| 4 | 7 | 10 | Данный вариант не рассматриваем. Так как это победа соперника |
| 12 |
| 14 |
| 9 | 12 | Умножением на 2 получаем выигрыш |
| 14 |
| 18 |
| 8 | 11 | Умножением на 2 получаем выигрыш |
| 13 |
| 16 |
ВЫВОД: выигрывает второй игрок после любого хода первого игрока, если первый ход второго игрока будет 8 или 10 или 9
Задача и её решение
Даны три горки фишек, содержащие соответственно 3,2 и 1 фишку. За один ход разрешается или утроить кол-во фишек в какой-нибудь горке, или добавить по 3 фишки в каждую из трех горок. Выигрывает тот игрок после чьего хода в каких-либо двух горках суммарно становится не менее 30 фишек. Два игрока ходят по очереди. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – начинающий или второй игрок? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
| Исход | 1 ход 1 игрока | 1 ход 2 игрока | 2 ход 1 игрока |
| 3,2,1 | 9,2,1 | 27,2,1 | Утроив наибольший результат все варианты приводят к выигрышу |
| 9,6,1 |
| 9,2,3 |
| 12,5,4 |
| 3,6,1 | 9,6,1 | Утроив наибольший результат все варианты приводят к выигрышу |
| 3,18,1 |
| 3,6,3 | ? |
| 6,9,4 | выигрыш |
| 3,2,3 | 9,2,3 | выигрыш |
| 3,6,3 | ? |
| 3,2,9 | выигрыш |
| 6,5,6 |
| 6,5,4 | 18,5,4 | Утроив наибольший результат все варианты приводят к выигрышу |
| 6,15,4 |
| 6,5,12 |
| 9,8,7 |
ВЫВОД: первый игрок выиграет на третьем ходу, если его первый ход будет 9,2,1 или 6,5,4.
Задача и её решение
Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале фишка находится в точке с координатами (-2;1). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (х;у) в одну из трех точек (х+4;у); (х;у+3); (х+2;у+2). Выигрывает игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами (0;0) не меньше 9 единиц. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
| Исход | 1 ход 1 игрока | 1 ход 2 игрока | 2 ход 1 игрока | 2 ход 2 игрока |
| -2,1 | 2,1 | 6,1 | 10,1 | Не рассматривается, так как приводит к победе соперника |
| 6,4 |
| 8,3 |
| 2,4 | 6,4 | Приводит к победе |
| 2,7 |
| 4,6 |
| 4,3 | 8,3 | Приводит к победе |
| 4,6 |
| 6,5 |
| -2,4 | 2,4 | 6,4 | Приводит к победе |
| 2,7 |
| 4,6 |
| -2,7 | 2,7 | Не рассматривается, так как приводит к победе соперника |
| -2,10 |
| 0,9 |
| 0,6 | 4,6 | Не рассматривается, так как приводит к победе соперника |
| 0,9 |
| 2,8 |
| 0,3 | 4,3 | 8,3 | Приводит к победе |
| 4,6 |
| 6,5 |
| 0,6 | 4,6 | Не рассматривается, так как приводит к победе соперника |
| 0,9 |
| 2,8 |
| 2,5 | 6,5 | Приводит к победе |
| 2,8 |
| 4,7 |
ВЫВОД: Выигрывает второй игрок, если первый ход второго игрока будет (2,4), (4,3), (2,5)
10 319
4 028 
