Задачи с экономическим содержанием на оптимизацию

Задачи с экономическим содержанием на

оптимизацию

Как известно, решение задач с экономическим содержанием вызывают трудности у учащихся, сдающих ЕГЭ по математике. В данной статье рассмотрим задачи на оптимизацию с экономическим содержанием.

1. Предприниматель купил здание и собирается в нем открыть отель. В отеле могут быть стандартные номера и номера люкс. Стандартный номер имеет площадь 27м² , а номер люкс 45м².

Общая площадь, которую можно отнести под номера составляет 981м². Предприниматель может поделить эту площадь как хочет. Стандартный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер люкс – 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Решение:

Сначала вычислим суточную стоимость одного м² стандартного номера:_{ } руб.

Суточная стоимость одного м² номера люкс:4000:45_{ }

То есть для получения максимальной прибыли надо открыть максимально возможное количество номеров люкс. Подсчитаем: 981:45_{ }

Подсчитаем, какую площадь займут эти 21 номера _{ }, значит осталось 981-945=36м² свободной площади, значит на этой свободной площади можно открыть еще один стандартный номер и тогда останется 36-27=9м² свободной площади. Итак, получаемая прибыль от 21 номера люкс и 1 стандартного номера равна:

_{ }руб.

Предположим, что предприниматель старается открыть такое количество стандартных и люкс номеров, чтобы вся площадь была использована ( очевидно, что это не всегда возможно. В тех случаях, когда это сделать невозможно, незанятая площадь должна быть минимальна)

Если номеров люкс будет 20, тогда они займут площадь _{ }м², значит осталось 981-900=81м² свободной площади и на этой площади можно открыть ровно 3 стандартных номера (81:27=3) в данном случае вся площадь занята номерами. Получаемая суточная прибыль составит:_{ }

Если номера люкс еще уменьшить, то суточная прибыль тоже уменьшится.

Ответ: 86000 руб.

Замечание:

В данного типа задачах нецелесообразно открывать максимальное количество номеров люкс ,не вычисляя стоимости 1м², ссылаясь на то, что эти номера в сутки приносят большую прибыль, чем стандартные номера, т.к может получится так, что разница в прибыли окажется на порядок ниже, чем разница занимаемой площади ( например, если площадь номеров люкс скажем в 6 раз больше, чем площадь стандартного номера, а суточная прибыль от номера люкс всего в 1,5 раза больше, чем от стандартного, то целесообразно открыть максимальное количество стандартных номеров, т.к в противном случае мы получаем нерациональное использование общей площади.

1. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера, площадью 21м² и номера люкс, площадью 49 м². Общая площадь, которую можно отнести под номера составляет 1099м². Обычный номер будет приносить прибыль 2000 рублей в сутки, а номер люкс 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Решение:

стоимость 1 м² стандартного номера: _{ }

стоимость 1 м² номера люкс: 4500:49_{ }

значит, для получения наибольшей прибыли надо открыть максимально возможное количество стандартных номеров. Подсчитаем: 1099:21_{ }, т.е можно открыть максимально 52 стандартных номера. Вычислим какую площадь они займут: _{ }м², значит осталось 1099-1092=7м² неиспользованной площади. На ней невозможно открыть люкс номеров. Вычислим суточную прибыль от 52 стандартных номеров:2000_{ }

Если стандартных номеров будет 51, тогда они займут площадь 51_{ }², осталось 1099-1071=28м² свободной площади, но ее не хватает для люкс номера, очевидно прибыль уменьшится: 2000_{ }

Если стандартных номеров будет 50, то они займут площадь 50_{ }², остается 1099-1050=49м². На этой свободной площади можно открыть ровно 1 номер люкс и вся общая площадь будет использована. Суточная прибыль составит:

2000_{ }руб.

При дальнейшем уменьшении стандартных номеров прибыль не превышает 104500руб.

Ответ 104500 руб.

1. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 га. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300ц/га, а на втором 200ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 200ц/га, а на втором 300 ц/га. Фермер может продать картофель за 10000 руб/ц, а свеклу 13000 руб/ц. Какой наибольший доход он может при этом получить?

Решение:

Выпишем данные задачи:

первое поле: картофель 300ц/га, свекла 200ц/га

Второе поле: картофель 200 ц/га, свекла 300ц/га

1. Подсчитаем максимальный доход с первого поля

Пусть х (га) – отведено под картофель, тогда 10-х (га) - отведено под свеклу.

Тогда с первого поля доход составит :

Этот доход будет наибольшим, если х будет наибольшим, т.е при х=10 ( т.е с первого поля получим максимальный доход, если все поле в 10 га будет засажено картофелем)

L(10)=400000_{ }= 30 млн руб

1. Подсчитаем максимальный доход со второго поля

Пусть у (га) – отведено под картофель, тогда 10-у (га) – отведено под свеклу. Тогда доход со второго поля составит

М(у)=200у _{ }

-3900000у=39000000-1900000у

Этот доход будет наибольшим, если у будет наименьшим, т.е при у=0 ( со второго поля получим максимальный доход если все поле в 10 га будет засажено свеклой)

М(0)=39000000-1900000_{ }= 39 млн руб

Получаем общий максимальный доход: 30 млн руб+39 млн руб = 69 млн руб

Ответ 69 млн руб

4.В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за 1 час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия требуется х² человеко -часов труда, а для добычи у кг никеля требуется у² человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый материал на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтоб завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько кг сплава при таких условиях ежедневно может произвести завод?

Решение:

Первая область:

пусть а рабочих добывают алюминий, тогда 100 – а рабочих добывают никель, очевидно, что _{ }.

Количество добытого алюминия в день: 0,3а_{ }

Количество добытого никеля в день: 0,1_{ } (100-а)_{ }

Вторая область:

Пусть в рабочих добывают алюминий, тогда 100-в рабочих заняты добычей никеля, очевидно, что _{ }.

Человеко-час=количество рабочих_{ }, получаем:

Х²=10b, значит, х= _{ }

У²=10(100-b), значит _{ }

Тогда общее количество алюминия по обеим областям составит: 3а+_{ }

А общее количество никеля: 100-а+_{ },

Но по условию, алюминия в сплаве должно быть в 2 раза больше, чем никеля, т.е Al=2Ni, получаем: 3а+_{ } = 2(100-а+_{ }

В этом равенстве выразим одну переменную через другую

3а+_{ }=200-2а+2_{ }

5а=200+2_{ }

а=40+0,4_{ }-0,2_{ }

Подставляя это в общее количество металлов, получим, что общее количество алюминия составит:

Al: 3(40+0,4_{ }-0,2_{ })+_{ }= 120+1,2_{ } -0,6_{ } +

+_{ }1,2_{ }+0,4_{ }

А общее количество никеля:

Ni: 100-(40+0,4_{ }-0,2_{ } =100-40-0,4_{ }+0,2_{ }+_{ } = 60+0,6_{ } + 0,2_{ }

Подсчитаем общую массу сплава и рассмотрим его как функцию от в

F(b)=_{ }1,2_{ }+0,4_{ } 60+0,6_{ } + 0,2_{ }

F(b)=_{ }1,2_{ }+0,4_{ } 60+0,6_{ } + 0,2_{ }

F(b)=180+1,8_{ }+0,6_{ }

Исследуем эту функцию на максимум при условии _{ }

Найдем критические точки:_{ }

Возводя в квадрат обе части уравнения, получим

81_{ }

810b=9000-90b или 900b=9000 или b=10 – критическая точка

_{ }

F(10)=180+1,8_{ }

Ответ:240 кг

5.В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х² человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у² человеко- часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причем 1 кг алюминия можно заменить на 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Решение:

1 область:

Так как металлы взаимозаменяемы, то для получения наибольшего количества металлов всех рабочих целесообразно направить на добычу алюминия, т.к. каждый рабочий за день работы никеля добывает больше, чем алюминий. Получаем, наибольшее количество металлов добытое рабочими первой области за сутки составит : 0,3_{ }160_{ }

2 область:

Пусть а рабочих заняты добычей алюминия, тогда 10-а рабочих заняты добычей никеля, причем _{ }

Человеко-час=количество рабочих_{ }, получаем:

Х²=5а, значит _{ }

У²=(160-а)_{ }5, значит _{ }

Получаем, что общее количество металлов, добытое рабочими второй области составит:

F(а)=_{ }

Исследуем эту функцию на максимум:_{ }

_{ } или 10а=800 или а=80 – критическая точка.

_{ }
F(80)=_{ }(кг)

Значит, наибольшая масса металлов, добытая суммарно по двум областям составит: 240 +40 =280 (кг)

Ответ: 280 кг