Задачи с экономическим содержанием

ЗАДАЧИ C ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ в ЕГЭ

Платежи по кредитам в задачах ЕГЭ с экономическим содержанием в зависимости от формы выплаты делятся на два вида : дифференцированные платежи и аннуитетные платежи .

Дифференцированные платежи характерны тем, что задолженность по кредиту погашается равномерно начиная с самых первых выплат, а проценты начисляются на фактический остаток. Таким образом, каждый последующий платеж меньше предыдущего.

Аннуитет — начисление равных платежей на весь срок погашения кредита. При этом в первой половине срока погашения задолженность по кредиту практически не гасится — выплачиваются в большей части проценты. Эта особенность делает платежи относительно небольшими, но увеличивает общую сумму начисляемых процентов.

Чтобы наглядно показать разницу в погашении кредита при разных методах начисления платежей, приведем графики погашения кредита в размере 1 000 000 руб., взятого на 20 лет при 12% годовых (серым выделена выплата процентов по кредиту, синим — выплата тела кредита).

График погашения кредита дифференцированными платежами

График погашения кредита

аннуитетными платежами

S – сумма кредита,

r -процент, который начисляет банк,

Sk - долг клиента перед банком

после начисления процентов,

где k =1+

Х - платёж при аннуитетных платежах

n -количество лет ( месяцев), в течении которых выплачивается кредит

Задача 1. 31 декабря 2014г. Сергей взял в банке 9 930 000 руб. в кредит под 10% годовых.

Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа.

Какова должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

S =9 930 000 руб.

r =10%, х руб.- ежегодная сумма платежа, n =3, k =1,1

Sk руб. - долг перед банком 31 декабря 2015г.

(Sk-х) руб. – остаток после первой выплаты

(Sk-х)k руб. - долг перед банком 31 декабря 2016г.

((Sk-х)k-х)руб.- остаток после второй выплаты

((Sk-х)k-х)k руб.- долг перед банком 31 декабря 2017г.

(((Sk-х)k-х)k-х) руб.- остаток после третьей выплаты

Известно, что долг был полностью выплачен

тремя равными платежами.

Составим уравнение: ((Sk-х)k-х)k-х=0

((S k-х)k-х)k-х=0

(S k 2 -kх-х)k-х=0

(S k 3 -k 2 х-kх)-х=0

S k 3 -k 2 х-kх-х=0

k 2 х+kх+х= S k 3

х(k 2 +k+1)=S k 3

х= S k 3 /(k 2 +k+1)

х=9 930 000·1,1 3 /(1,1 2 +1,1+1)

х=3993000

Ответ : 3993000 руб

Задача2. В июле 2018 года планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей необходимо взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами, и банку будет выплачено 311 040 рублей?

S руб.- сумма кредита

r =20%, х руб.- ежегодная сумма платежа, n =4, k =1,2

Известно, что за 4 года банку будет выплачено

311 040 рублей, тогда

х =311040: 4=77760 (руб.)

S k руб. - долг перед банком в январе 2019г.

(S k-х) руб. – остаток после первой выплаты

(S k-х)k руб - долг перед банком в январе 2020г.

((S k-х)k-х)руб.- остаток после второй выплаты

((S k-х)k-х)k руб.- долг перед банком в январе 2021г.

(((S k-х)k-х)k-х) руб.- остаток после третьей выплаты

((((S k-х)k-х)k-х)kруб.- долг перед банком в январе 2022г.

((((S k-х)k-х)k-х)k-х) руб.- остаток после четвёртой выплаты

Известно, что долг был полностью выплачен тремя равными платежами .

Составим уравнение: (((S k-х)k-х)k-х)k-х=0

(((S k-х)k-х)k-х)k-х=0

S k 4 -k 3 х-k 2 х- kх-х=0

S k 4 = k 3 х+k 2 х+kх+х

S =х( k 3 +k 2 +k+1)/k 4

S=77760·(1,2 3 +1,2 2 +1,2+1)/1,2 4

S =201300(руб.)

Ответ : 201300 руб.

Задача 3. Гражданин приобрел ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги возрастает каждый год на 2 тысячи рублей. В любой момент гражданин может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет под 10% начислений в год. В течение какого года после покупки гражданин должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

7тыс.руб. -цена ценной бумаги

2 тыс.руб .- ежегодное возрастание цены ценной бумаги.

r =10%, k =1,1

Пусть х лет ценная бумага находится у гражданина, тогда через х лет после продажи ценной бумаги гражданин получит (7+2х)руб .

Пусть на (х+1) год гражданин положил деньги в банк под 10 % начислений в год, тогда через 1 год на счёте будет (7+2х)·1,1 руб .Если бы гражданин не продал ценную бумагу, то стоимость ценной бумаги через 1 год составила бы( (7+2х)+2) руб.

Найдем такое значение х, при котором это будет самое выгодное вложение.

Найдем такое значение х, при котором это будет самое выгодное вложение.

(7+2х)·1,1˃(7+2х)+2

7,7+2,2х˃9+2х

0,2х˃1,3

х˃6,5

х=7

Вопрос задачи :в течение какого года после покупки гражданин должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Ответ: в течении 8 года.