Задачи с пропорциональными величинами.

Задачи с пропорциональными величинами.

Понятие виды пропорциональной зависимости между величинами.

Особую сложность для младших школьников представляют задачи с пропорциональными величинами. Одна из причин, возникающих у детей трудностей в процессе решения этих задач, заключается в том, что понятие «пропорциональная зависимость» не является предметом специального усвоения и изучения. По нашему мнению, необходимо введение данного понятия в активный словарь младших школьников.

Остановимся подробнее на определении понятий «зависимость», «пропорциональность», «пропорциональные величины».

Зависимость - вид отношений. Причинно-следственная обусловленность отношений между сущностями, явлениями, переменными их описывающими.

Пропорциональность - характеристика, свойство отношений между величинами, соответствующее отношениям пропорциональной зависимости.

Пропорциональность - такая зависимость между величинами, при которой увеличение одной из них влечёт за собой изменение другой во столько же раз.

Пропорциональные величины - две взаимно зависимых величины, отношение между которыми сохраняется неизменным.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при изменении значений одной величины в каком-то произвольном отношении соответствующие значения другой величины изменяются в таком же отношении.

Примерами прямо пропорциональных величин являются: площадь поля и количество собранного урожая (при условии, что с каждого квадратного метра поля собирают поровну), количество выполненной работы и ее продолжительность (при условии, что производительность работы остается неизменной), количество рассматриваемого товара и его стоимость (при условии, что товар получен по одной и той же цене).

Если имеются величины, обладающие тем свойством, что при увеличении любого значения одной из них соответствующее значение другой тоже увеличивается, но не в том же отношении, то такие величины не будут прямо пропорциональными.

В этом заключается важное свойство любых двух величин, связанных прямо пропорциональной зависимостью.

1. Все значения одной из двух прямо пропорциональных величин можно получить посредством умножения соответствующих значений другой величины на одно и то же число, называемое коэффициентом пропорциональности первой из взятых величин относительно второй и обозначаемое обычно буквой k.

В общем виде это можно записать: у = k · х.

1. Если все значения одной величины равны произведениям соответствующих значений другой величины на одно и то же число, то эти две величины прямо пропорциональны.

2. Из свойств 1 и 2 следует: две величины прямо пропорциональны тогда и только тогда, когда любое значение одной из них (у) равно произведению соответствующего значения другой (х) на одно и то же число (k), т.е. если у = k · х. где k – коэффициент пропорциональности.

3. Если одна величина прямо пропорциональна другой с коэффициентом пропорциональности k, то вторая прямо пропорциональна первой с коэффициентом пропорциональности, равным 1 : k.

Величина растет равномерно, если она получает значения, из которых каждое последующее больше предыдущего на одно и то же число.

5. При равномерности роста одной из двух прямо пропорциональных величин другая величина растет также равномерно.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при изменении значений одной величины в каком–то произвольном отношении соответствующие значения другой величины изменяются в обратном отношении.

Примерами величин обратно пропорциональных друг другу являются: количество метров ткани, необходимое для пошива платья и ширина этой ткани; количество рабочих, нужных для выполнения некоторой определенной работы и время ее выполнения; время, нужное для переезда из одного пункта в другой и скорость движения и т. д.

Итак, одна величина обратно пропорциональна другой лишь при выполнении условия: если в каком-то отношении увеличить значение одной величины, то соответствующее значение другой уменьшится в том же отношении (и наоборот, при уменьшении значения одной величины в каком – то отношении соответствующее значение другой увеличивается в том же отношении).

Если при увеличении значений одной величины соответствующие значения другой величины уменьшаются, но в другом отношении, то такие величины не будут обратно пропорциональными.

1. Все значения величины, обратно пропорциональной некоторой другой величине, можно получить посредством деления одного и того же числа на соответствующие значения этой второй величины.

2. Если каждое значение одной величины у получается посредством деления одного и того же числа k на соответствующее значение второй величины х, то эти две величины у и х обратно пропорциональны.

Две величины обратно пропорциональны тогда и только тогда, когда любое значение одной из них равно частному от деления одного и того же числа на соответствующее значение другой.

Таким образом, для записи обратной пропорциональности двух величин х и у удобно пользоваться формулой у = k : х, или у = k /х.

3. Если одна величина обратно пропорциональна другой с коэффициентом обратной пропорциональности k , то и вторая обратно пропорциональна первой с тем же коэффициентом обратной пропорциональности.

4. Если имеются две величины, находящиеся между собой в обратно пропорциональной зависимости, и если одна из них равномерно растет, то другая убывает неравномерно.

Если при равномерном росте одной величины другая равномерно растет или равномерно убывает, то говорят, что эти две величины линейно зависят друг от друга (или что они связаны линейной зависимостью).

Первоначальное ознакомление детей с разного рода зависимостями очень важно для установления причинной связи между явлениями окружающей действительности и имеет большое значение для подведения детей к идее функциональной зависимости. Отметим, что речь идет о зависимости между двумя величинами при постоянном значении третьей величины. Тогда мы имеем дело с тремя множествами: 1) множество значений одной величины; 2) множество значений второй величины и 3) множество пар, в которых на первом месте стоит значение первой величины, а на втором – значение второй величины. В таком случае, действительно формируются определенные функциональные представления младших школьников.

Методика ознакомления младших школьников с величинами во многом определяется содержанием, целями работы по формированию измерительных и вычислительных умений и навыков и ведущими принципами обучения математике в младших классах – учет возрастных особенностей учащихся, органическое сочетание обучения и воспитания, усвоение знание во взаимосвязи с развитием познавательных способностей детей, практическая направленность преподавания. Поэтому при первичном знакомстве учащихся с некоторыми зависимостями рекомендуется использовать опыт наблюдений учащихся за изменением значений величин полученный в ходе экскурсии в магазин, на производство и т.п.

При решении задач с пропорциональными величинами учащиеся практически устанавливают зависимость между значениями величин: времени и расстояния, количества предметов и их стоимости и т.д. В ходе анализа и решения задач ученики составляют таблицы, помогающие осмыслить зависимость между величинами, используют формулы, запись решения в виде выражения. Таким образом, формируется первоначальное представление учащихся о способах задания функции.

Для ознакомления детей с примерами зависимости между величинами следует брать такие примеры, которые достаточно часто встречаются детьми в жизни и понятны им, например зависимость массы ребенка от возраста. Ознакомление с примерами зависимости между величинами и решением различных задач с пропорциональными величинами проходит последовательно, на протяжении нескольких уроков. Важным результатом ознакомления учащихся начальной школы с этим вопросом является усвоение простейших формул, связывающих такие величины, как длина, ширина и площадь прямоугольника; скорость, время и расстояние.

Л.Г. Петерсон проблему ознакомления детей с примерами зависимости между величинами методически решает за счет использования следующих приемов:

Решение задач с недостающими данными.

Пример. Васе от дома до школы 540 м, а Паше – 480 м. Кто ближе живет? Кто быстрее дойдет?

Саша купил на 30 рублей тетради и на 45 рублей карандаши. На покупку каких предметов он истратил денег больше? Каких предметов он купил больше?

Анализируя тексты этих задач, учащиеся обнаруживают, что в них не хватает данных и что ответы на вопросы зависят от цены и скорости.

Фиксация условия задач не только в таблице, но и в виде схемы. Это позволяет «визуализировать» зависимости, рассматриваемые в задаче. Так, если одно и тоже расстояние в 12 км движущиеся объекты проходят за разное время (2 ч, 3 ч, 4 ч, 6 ч), то с помощью схемы наглядно интерпретируется обратная зависимость – чем больше частей (время), тем меньше каждая часть (скорость).

Изменение одного из данных задачи и сравнение результатов решения задач.

Пример. В школьную столовую привезли 48 кг яблок. Сколько ящиков могли привезти, если во всех ящиках яблок было поровну?

Учащиеся дополняют условие задачи и фиксируют зависимость между величинами с помощью различных средств структурирования теоретических знаний – в таблице, схеме и словесно.

Здесь же полезно обратить внимание на кратное отношение рассматриваемых величин – во сколько раз больше одна из величин, во столько же раз больше (меньше) другая при постоянной третьей.

Поиск способа решения задач на основе применения указанных зависимостей между величинами покажем на задачах.

Пример. На пошив 8 одинаковых пальто израсходовали 24 м ткани. Сколько ткани потребуется на 2 таких же пальто?

Решая эту задачу традиционным способом, имеем:

1. 24 : 8 = 3 (м) ткани потребуется на пошив одного пальто.

2. 3 · 2 = 6 (м) ткани потребуется на пошив двух пальто.

Для решения задачи другим способом, выясним существует ли зависимость между данными величинами и какая.

Составим таблицу и пронаблюдаем, как изменяется общий расход ткани в зависимости от изменения количества сшитых пальто.

Таблица 1.

Для выявления вида зависимости, возьмем отношение любых двух значений величин из первой строки и соответствующих им значений из второй строки и найдем их значения: 4:2=2 и 12:6=2 т.е. отношение двух произвольных значений одной величины равно отношению двух соответствующих значений другой величины, следовательно по определению эти величины прямо пропорциональны.

Таким образом, если количество изделий увеличилось во сколько - то раз, то и расход ткани увеличился во столько же раз.

Решение задачи другим способом:

1) 8 : 2 = 4 – во столько раз меньше сшили пальто.

2) 24 : 4 = 6 (м) потребуется ткани на 2 пальто.

Эту же задачу можно решить алгебраически.

1) Пусть х м ткани израсходовали на 2 пальто х м – 2 пальто,

24 м – 8 пальто.

2) Составим и решим уравнение: 8 х = 24· 2, 8х = 48, х = 6 (м).

Ответ: 6 м.

Пример. Какой путь проедет поезд, двигаясь равномерно, за 14 с, если 60 м он проехал за 2 с?

Перед решением задачи необходимо отметить, что пройденный путь и время движения прямо пропорциональны при равномерном движении (т.е. при постоянной скорости). Таким образом, во сколько раз увеличится время движения, во столько же раз увеличится пройденный путь.

Решение задачи:

1 способ

1. 14 : 2 = 7 во столько раз увеличится время движения.

2. 60 · 7 = 420 (м) – пройденный путь за 14 с.

2 способ

1. Пусть х ( м) – путь, который проехал поезд за 14 с.

Т.е. х м – 14 с

60 м - 2 с.

2) Составим и решим уравнение: х / 60 = 14 / 2, х / 60 = 7, х = 420 (м)

Ответ: 420 м.

При решении простых задач с пропорциональными величинами целесообразно использовать как уже рассмотренные методические приемы обучения решению задач, так и следующие:

-изменение одного из данных задачи;

-сравнение результатов решения задач, в которых изменяется одно из данных;

-интерпретация задач в виде схемы, записи задач в таблице;

-анализ текстов задач с недостающими и лишними данными.

Рассмотрим подробнее описанные приемы:

Изменение одного из данных задачи.

Пример. 24 кг помидоров разложили в 2 ящика, в 4 ящика, в 6 ящиков, в 3 ящика, в 8 ящиков. Сколько кг помидоров в 1 ящике?

Составим таблицу.

Таблица 2.

Анализ: - какая величина не изменяется?

- какие величины изменяются?

- как они изменяются?

Зависимость между количеством ящиков и массой 1 ящика при постоянной массе можно смоделировать с помощью схемы. Для этого дети в тетрадях изображают 5 отрезков по 24 клетки, каждый из которых соответственно делится на 2, на 4, на 6, на 3, на 8 одинаковых частей. Анализ таблицы позволяет детям осознать зависимость между количеством ящиков и массой 1 ящика при постоянной общей массе.

Сравнение результатов решения задач, в которых изменяется одно из данных.

Пример. Рассмотрим равномерное движение автомобиля, со скоростью 60 км/ч.

Таблица 3.

Здесь имеются две величины – пройденный путь и время движения. В первом ряду записано несколько значений первой величины, во втором – соответствующие значения второй. Эти две величины зависят одна от другой: взяв какое-нибудь произвольное число километров пути, мы найдем время (делением на 60), а взяв какое-нибудь произвольное число часов, найдем путь (умножением на 60). Взяв отношение каких-нибудь двух значений одной величины, например 90км:150км=3:5=0,6, а также отношение соответствующих значений другой, в данном случае 1½ часа:2½часа=3:5=0,6, видим, что эти два отношения равны, т.е. 90км:150км=1½часа:2½часа или 90:150=1½:2½, т. Е. из четырех чисел можно составить пропорцию.

Таким образом, рассмотренный путь при равномерном движении и время этого движения – две прямо пропорциональные величины.

Интерпретация задач в виде схемы, записи задач в таблице.

Пример. В палатку привезли 6 ящиков апельсинов. Сколько апельсинов привезли в палатку?

Дети обнаруживают, что ответить на вопрос задачи нельзя, неизвестна масса одного ящика. Фиксируем в таблице:

Таблица 4.

Дети дополняют условие, решают задачу.

Затем необходимо проследить, как будет изменяться общая масса в зависимости от изменения массы одного ящика или от изменения количества ящиков.

Таблица 5.

Анализ: - какая величина не изменяется?

-какие величины изменяются?

-во сколько раз масса 6 ящиков больше чем масса 3 ящиков? Почему?

-во сколько раз масса 3 ящиков меньше, чем масса 12 ящиков? Почему?

Аналогичные наблюдения следует провести при условии изменения количества ящиков при неизменном количестве.

Анализ текстов задач с недостающими и лишними данными.

Пример. Миша купил на 10 рублей кисточки и на 5 рублей карандаши. Чего купил Миша больше: кисточек или карандашей?

Маша купила 5 тетрадей в клетку и 2 блокнота. За что она заплатила денег больше: за тетради или блокноты?

Анализируя задачи, учащиеся обнаруживают, что в них не хватает данных и что ответы на вопросы, поставленные в задачах – зависят от цены предметов.

Учащиеся отвечают: «Это зависит от того, сколько стоит 1 блокнот, 1 тетрадь…»

Для разъяснения учащимся математического смысла понятия «зависит» необходимо проследить, как изменяется одна величина при постоянной третьей. Для этого рассматривают вышеприведенные задачи.

Знание зависимости между величинами позволяет находить различные способы решения текстовых задач. Поиск разных путей решения задач с пропорциональными величинами способствует осознанию причинно-следственных связей, накоплению представлений о функциональной зависимости, подготовки учеников начальных классов к изучению функций в последующих классах.