Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике. Школьный этап. 11 класс

Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике

Школьный этап

11 класс

Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов

1. Сумма двух чисел равна 1. Может ли их произведение быть больше 0,3?

2.Отрезки AM и BH - соответственно медиана и высота треугольника ABC.

Известно, что AH= 1 и . Найти длину стороны BC.

3. При каких значениях числового параметра а неравенство верно при всех значениях х?

4.Есть один килограмм 20%-ного соляного раствора. Лаборант поместил колбу с этимраствором в аппарат, в котором выпаривается вода из раствора и одновременно с этим внего с постоянной скоростью, равной 300 г./ч., подливается 30%-ный раствор этой же соли.Скорость выпаривания также постоянна и составляет 200 г./ч. Процесс останавливается, кактолько в колбе окажется 40%-ный раствор. Какова будет масса полученного раствора?

5. Сколькими способами среди всех натуральных чисел от 1 до 25 можно выбрать 13 различныхтак, чтобы сумма любых двух выбранных чисел не равнялась 25 или 26?