Задание 14. Подготовка к ЕГЭ из 36 вариантов

Задание 14. Подготовка к ЕГЭ из 36 вариантов

Задание 14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра АВ = 35, AD = 12, СС1 = 21.

а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.

Решение.

а) Основание ABCD является прямоугольником, следовательно, треугольник ABD – прямоугольный с катетами AB и AD, AH – его высота, то есть  . Так как  , то отрезок   по теореме о трех перпендикулярах, и, следовательно, для треугольника   отрезок   является высотой. На этом основании можно заключить, что высоты   и   имеют общее основание BD.

б) Угол между плоскостями ABC и   соответствует двугранному углу   (см. рисунок). Так как треугольник   прямоугольный, то тангенс угла   равен

.

Длину отрезка AH можно найти из формулы площади треугольника DAB:

,

откуда

.

Отрезок BD найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ADB:

и

.

Таким образом, тангенс угла  , равен:

,

откуда

.

Ответ:  .

Задание 14. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а АС — диаметр основания. Известно, что угол ACB = 45°, AB = 3√2, СС1 = 6.

а) Докажите, что угол между прямыми AC1 и BC равен 60°.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC1.

Решение.

а) Пусть ВВ1 — образующая цилиндра. Тогда BB1C1C — прямоугольник, поэтому угол между прямыми AC1 и BC равен углу AC1B1.

Угол ABC опирается на диаметр основания цилиндра, поэтому он прямой. Значит, прямая B1C1, параллельная прямой BC, перпендикулярна прямым AB и BB1. Таким образом, прямая B1C1 перпендикулярна плоскости ABB1, а значит, угол АВ1С1 прямой.

В прямоугольном треугольнике АВ1С1

Значит, угол AC1B1 =60°.

б) Прямая АВ перпендикулярна прямым ВС и BB1. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна плоскости BB1C. Следовательно, треугольник ABC1 прямоугольный, поэтому искомое расстояние равно его высоте h, проведённой к гипотенузе. Получаем:

Ответ:  .