Задание 14. Вариант 25. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов

Задание 14. Вариант 25. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F — середина ребра AS.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF.

Решение.

а) Плоскость BCF также будет проходить через точку G, лежащую по середине отрезка SD (см. рисунок), так как для плоскости должно соблюдаться  ,   и  . В результате имеем прямую FG, являющуюся линией пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Спроецируем точку F на вектор AD, получим точку M, причем  . Аналогично построим проекцию точки F на вектор BC, получим точку N и  . В результате получили треугольник MFN, в котором угол   будет соответствовать углу между искомыми плоскостями. Найдем данный угол по теореме косинусов, получим:

.

Определим длины сторон треугольника MFN. Рассмотрим прямоугольный треугольник FBN, у которого сторона  , так как она является медианой равностороннего треугольника со сторонами 1. Длина   находится из равнобедренной трапеции FGBC. По теореме Пифагора находим катет FN:

.

Найдем теперь длину FM из прямоугольного треугольника AFM, в котором  ,   (из равнобедренной трапеции AFGD) и по теореме Пифагора получаем:

.

Таким образом, косинус угла между плоскостями равен (здесь взят модуль, так как за угол между плоскостями берется острый угол)

и угол

.