Задание 14. Вариант 5 ЕГЭ 2022 из 36 вариантов

Задание 14. Вариант 5 ЕГЭ 2022 из 36 вариантов

Задание 14. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания АВ равна 3, а боковое ребро AA1 равно √3. На рёбрах C1D1 и DD1 отмечены соответственно точки К и М так, что D1K = KC1, a DM : MD1 = 1:3.

а) Докажите, что прямые MK и BK перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMK и ABB1.

Решение.

а)Рассмотрим прямоугольный треугольник KMD1, так как ABCDA1B1C1D1 – правильная призма. По теореме Пифагора, имеем:

Рассмотрим прямоугольный треугольник BKB1, из которого:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD:

тогда

Можно заметить, что  . Следовательно, треугольник BKM – прямоугольный с катетами KM и BK, то есть,  .

б)Угол между плоскостями BMK и ABB1 – это то же самое, что и угол между плоскостями BMK и DD1C1. Плоскости пересекаются по прямой KM, причем  .

Построим прямую KL, которая принадлежит плоскости DD1C1 и перпендикулярна прямой KM. Рассмотрим подобные треугольники D1KM и C1LK (подобны по двум углам:  ;  ):

Следовательно, точка L совпадает с точкой C и  и угол BKC–линейный угол двугранного угла между плоскостями BMK и DD1C1, а также между плоскостями BMK и ABB1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник KC1C, из которого:

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCK (так как  ):

и

Ответ: