Задание 16. Вариант 8. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов

Задание 16. Вариант 8. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 27. Известно, что АВ = ВС = CD = 36.

а) Докажите, что прямые ВС и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Решение.

а) Острые углы ВСА и CAD равны, поскольку опираются на равные хорды АВ и CD. Значит, прямые ВС и AD параллельны.

б) Обозначим угол ВСА через α. По теореме синусов

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому  . Значит,  .

Четырёхугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому  . Значит,

Таким образом, по теореме синусов для треугольников ACD и АСВ получаем:

Ответ: 44.

Второй способ решения части б). Проведем 2 высоты: ВМ и СН. Треугольник АВМ прямоугольный. Угол А равен 2α. Тогда АМ= АВcos2α=36cos2α=36(1-2sin²α)=36(1-2·4/9)=36·1/9=4; HD=4 ,AD=2·4+36=44.

Ответ: 44.

Задания для самостоятельного решения.

Задание 16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 12. Известно, что АВ = ВС = CD = 18.

а) Докажите, что прямые ВС и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Ответ: 13,5.

Задание 16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что АВ = ВС = CD = 12.

а) Докажите, что прямые ВС и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Ответ: 9

Задание 16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 10. Известно, что АВ = ВС = CD = 6.

а) Докажите, что прямые ВС и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Ответ: 15,84