Задание 17 ЕГЭ математика

Решение задач о кредитном контракте с дифференцированной системой платежей

Задание 17 ЕГЭ математика

Задача 1.

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев?

Прежде, чем решать задачу, перечислим все используемые в решении величины с соответствующими обозначениями:

С – сумма кредита (в рублях);

n – срок кредита (в месяцах);

r – процентная ставка по кредиту (в процентах);

𝑃𝑃𝑚𝑚− платёж за m-ый месяц (в рублях);

𝐷𝐷𝑚𝑚 – долг перед банком после m-ого платежа (в рублях);

3 ÷

– сумма, выплачиваемая банку за период с -го по -ый месяц (в рублях).

𝑆𝑆_{𝑘𝑘÷𝑚𝑚}–сумма, выплачиваемая банку за периодс k-го по m-ый месяц (в рублях).

Рассмотрим, что будет происходить с нашим кредитом. В приведенном примере1 февраля будут начислены проценты, и сумма долга увеличитсяна3%, составив2400000*1,03 = 2472000 рублей. А не позднее14 февраля необходимо внести первый платёж, размер которого надо вычислить, исходя из требования погасить весь долг за два года, причём остаток долга ежемесячного должен уменьшаться на одну и туже величину. Поэтому лучше всего сначала решить задачу в общем (буквенном) виде, то есть вывести необходимые формулы–а уже потом подставлять в них заданные в конкретной задаче числовые значения.

После первого начисления процентов долг станет равен (1+0,01r)C, а после внесения первого платежа он уменьшится на сумму этого платежа, составив

𝐷𝐷₁= (1+0,01r)C–𝑃𝑃₁,(1)

где 𝑃𝑃₁−размер первого платежа, 𝐷𝐷₁–остаток долга после его внесения.Поскольку платежи вносятся ежемесячно, очевидно, что последовательность остатков долга будет включать n членов. При этом последним платежом мы полностью гасим кредит, после чего долга не остаётся. Поэтому можно записать, что 𝐷𝐷_𝑛𝑛= 0.

Из условия, что остаток долга после каждого платежа уменьшается на одну и ту же величину, следует, что последовательность{𝐷𝐷_𝑚𝑚} является убывающей арифметической прогрессией, состоящей из nчленов. Если формально добавить к прогрессии «нулевой член»𝐷𝐷₀= C, то легко получить шаг прогрессии:

d=(𝐷𝐷_𝑛𝑛–𝐷𝐷₀)/n=–C/n

С учётом этого прогрессия остатков долга будет выглядеть так:

𝐷𝐷₁= С(1 –1/n)

𝐷𝐷₂= С(1 –2/n)

…

𝐷𝐷_𝑚𝑚= С(1 –m/n)

…

𝐷𝐷_𝑛𝑛= С(1 –n/n) = 0(2)

Теперь можно перейти к рассмотрению последовательности платежей. Поскольку ежемесячно остаток долга возрастает в соответствии с процентной ставкой r, а затем производится очередной платёж, то нетрудно понять, что размер этого платежа 𝑃𝑃_𝑚𝑚 будет представлять собой разность предыдущего остатка долга𝐷𝐷_𝑚𝑚−1, увеличенного на r %, и текущего остатка долга 𝐷𝐷_𝑚𝑚. Выражение для первого платежа получим, выразив𝑃𝑃₁из формулы(1): 𝑃𝑃₁=(1 + 0,01r)C–𝐷𝐷₁= (1 + 0,01r)𝐷𝐷₀–𝐷𝐷₁

И далее:

𝑃𝑃₂= (1 + 0,01r)𝐷𝐷₁–𝐷𝐷₂

𝑃𝑃₃= (1 + 0,01r)𝐷𝐷₂–𝐷𝐷₃

…

𝑃𝑃_𝑚𝑚= (1 + 0,01r)𝐷𝐷_𝑚𝑚−1–𝐷𝐷_𝑚𝑚

…

𝑃𝑃_𝑛𝑛= (1 + 0,01r)𝐷𝐷_𝑛𝑛−1–𝐷𝐷_𝑛𝑛(3)

Подставляя выражение для 𝐷𝐷_𝑚𝑚из (2) в формулу (3) для𝑃𝑃_𝑚𝑚,получим:

𝑷𝑷𝒎𝒎 = (1 + 0,01r)C(1 – (m – 1)/n) – C(1 – m/n) = (C/n)(1 + 0,01r(n – m + 1)) (4)

Ввиду особой важности этой формулы, мы специально её выделили. Вместе с тем, промежуточные выкладки при её выводе для краткости опустили, полагая, что ученики 11-го класса способны выполнить соответствующие действия самостоятельно.

Формула (4) имеет ключевое значение для решения задач с кредитами, где предусмотрена дифференцированная система платежей. Поэтому её можно назвать основным уравнением задачи о кредитах с дифференцированными платежами.

Пользуясь полученным основным уравнением (4), при заданных параметрах кредита (C, n и r) легко вычислить размер платежа за любой месяц кредитного контракта. Например, если кредит на сумму 1 млн. рублей взят на 60 месяцев под 1% в месяц, то платёж за 11-й месяц (𝑃𝑃11) составит:

(1000000/60)(1 + 0,01*1(60 – 11 + 1)) = 25000 рублей.

Однако, чаще всего в задачах рассматриваемого типа требуется вычислить не размер разового платежа за тот или иной месяц кредитного контракта, а величину суммарного платежа за определённый период (например, в рассматриваемой задаче 1 речь идёт о сумме выплат за первые 12 месяцев). Обратим внимание, что основное уравнение (4) для 𝑃𝑃𝑚𝑚 линейно по m, причём m входит в него с отрицательным знаком. Отсюда следует, что последовательность {𝑃𝑃𝑚𝑚}, как и {𝐷𝐷𝑚𝑚}, является убывающей арифметической прогрессией, состоящей из n членов. Поэтому выражение для 𝑆𝑆𝑘𝑘÷𝑚𝑚 получаем из стандартной формулы для суммы арифметической прогрессии:

𝑆𝑆𝑘𝑘÷𝑚𝑚 = (𝑃𝑃𝑘𝑘 + 𝑃𝑃𝑚𝑚)(m – k + 1)/2 (5)

Представляется нецелесообразным подставлять выражения для платежей из (4) в (5), переходя таким образом к общей буквенной формуле для 𝑆𝑆𝑘𝑘÷𝑚𝑚, так как она получится достаточно громоздкой и неудобной для использования. Лучше сначала вычислить платежи за первый и последний месяцы заданного периода по формуле (4), а затем найти искомую сумму за весь период, используя (5).

Теперь мы можем легко решить задачу 1. Сначала найдём величины платежей за 1-й и 12-й месяцы контракта:

𝑃𝑃1 = 2400000/24(1 + 0,01*3(24 – 1 + 1)) = 172000 руб.

𝑃𝑃12 = 2400000/24(1 + 0,01*3(24 – 12 + 1)) = 139000 руб.

А теперь получим окончательный ответ:

𝑆𝑆12 = (172000 + 139000)12/2 = 1866000 рублей.

Мы вместо 𝑆𝑆1÷12 пишем 𝑆𝑆12, поскольку при k = 1 𝑆𝑆𝑘𝑘÷𝑚𝑚 удобнее записывать просто как 𝑆𝑆𝑚𝑚.

***

Но отнюдь не всегда в задачах данного класса бывают заданы все основные параметры кредитного контракта (сумма кредита, срок и процентная ставка). Часто какой-либо из этих параметров требуется найти, при условии, что известны остальные параметры, а также сумма платежей за тот или иной период в течение срока кредитного договора.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача 2.

15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за последние 12 месяцев нужно выплатить банку 1130 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Здесь заданы n, r, а также 𝑆𝑆13÷24 (сумма платежей за второй год кредита, т.е., с 13-го по 24-й месяцы), а найти просят C. Как решить эту задачу? Сначала получим выражения для 𝑃𝑃13 и 𝑃𝑃24, воспользовавшись основным уравнением (4):

𝑃𝑃13 = (C/24)(1 + 0,02(24 – 13 + 1)) = 1,24C/24

𝑃𝑃24 = (C/24)(1 + 0,02(24 – 24 + 1)) = 1,02C/24

Затем подставим их в формулу (5):

𝑆𝑆13÷24 = (1,24C/24 + 1,02C/24)(24 – 13 + 1)/2 = 2,26C/4 (6)

Из условия известно, что 𝑆𝑆13÷24 = 1130000 руб. Подставляя это число в левую часть выражения (6), легко находим сумму кредита C = 2000000 рублей. Задача решена.

***

Разберём ещё одну задачу.

Задача 3.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения составит 38 млн. рублей?

На этот раз заданы C и r, известна 𝑆𝑆𝑛𝑛, а найти требуется n. В данной задаче платёжным периодом является не месяц, а год, но никаких изменений в наши формулы это не вносит. Порядок всё тот же – сначала с помощью основного уравнения (4) находим 𝑃𝑃1 и 𝑃𝑃𝑛𝑛:

𝑃𝑃1 = (16000000/n)(1 + 0,25(n – 1 + 1)) = 16000000(1 + 0,25n)/n

𝑃𝑃𝑛𝑛 = (16000000/n)(1 + 0,25(n – n + 1)) = 16000000*1,25/n

Подставляя эти выражения в (5), получаем:

𝑆𝑆𝑛𝑛 = (16000000(1 + 0,25n + 1,25)/2n)n = 8000000(2,25 + 0,25n).

С учётом условия 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 38000000, приходим к уравнению

18 + 2n = 38,

откуда находим ответ: n = 10 лет.

Встречаются задачи, где неизвестны два из трёх основных параметров кредитного контракта – и тем не менее, они тоже решаемы. Вот характерный пример:

Задача 4.

15-го января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.

Здесь требуется найти размер процентной ставки, причём сумма кредита не задана. Зато известно, что общий объём выплат превышает сумму кредита на 15%, т.е. 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 1,15C. Порядок решения данной задачи будет несколько иным. Сначала запишем выражение для 𝑆𝑆𝑛𝑛, используя (5):

𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑆𝑆9 = 9(𝑃𝑃1 + 𝑃𝑃9)/2 (7)

В силу того, что {𝑃𝑃𝑚𝑚} арифметическая прогрессия, (𝑃𝑃1 + 𝑃𝑃9)/2 будет равняться срединному члену {𝑃𝑃𝑚𝑚}, т.е., 𝑃𝑃5. С учётом этого из (7) получим 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 9𝑃𝑃5, откуда, используя условие 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 1,15C, приходим к соотношению:

𝑃𝑃5 = 1,15C/9 (8)

Используя основное уравнение (4), запишем выражение для 𝑃𝑃5:

𝑃𝑃5 = (C/9)(1 + 0,01r(9 – 5 + 1)) = (C/9)(1 + 0,05r) (9)

Приравнивая правые части уравнений (8) и (9), получаем 1 + 0,05r = 1,15, откуда находим r = 3%.

***

Разобранными в данной работе примерами, конечно, не исчерпываются все возможные вариации задач о кредитах с дифференцированной системой платежей. Однако, не вызывает сомнения, что вдумчивый старшеклассник сможет самостоятельно с ними разобраться, используя технические приёмы, рассмотренные нами в настоящем методическом руководстве.

У читателя может возникнуть вопрос: неужели каждому выпускнику школы на экзамене придётся полностью воспроизвести представленные здесь рассуждения? Разумеется, нет. Это отняло бы слишком много времени и бумаги: ведь только решение задачи 1 заняло не менее двух страниц нашей методички. Но здесь мы постарались дать подробное текстовое описание решений, чтобы сделать их максимально понятными. На экзамене, конечно, имеет смысл аккуратно записать все формальные выкладки, которые не столь длинны. А текстовые пояснения следует давать лишь в отдельных местах, где это необходимо, и в как можно более сокращённом виде.