Задание № 16. Задачи на оптимальный выбор. Рабочие в двух областях

Задание 17 ЕГЭ по математике (профиль). Задачи на оптимальный выбор. Рабочие в двух областях

Задача 1. (№ 513298)

В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывают 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется  х²  человеко-часов труда, а для добычи  y кг никеля в день требуется человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Решение.

Составим таблицу:

1) Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, и необходимо произвести наибольшее количество металла, все рабочие первой области должны быть направлены на добычу никеля, который они добывают втрое более эффективно, чем алюминий. За сутки ими будет добыто 160 · 5 · 0,3 = 240 кг никеля.

2) Во 2-й области:

Пусть m человек добывают алюминий, тогда (160 – m) человек – никель.

Трудозатраты составят:

Следовательно, металла добыто:

алюминия:

Исследуем функцию

m

Значит, точка максимума функции и в ней функция принимает наибольшее значение.

Следовательно, во 2-й области 80 человек добывают алюминий, 160 – 80 = 80 (чел) добывают никель.

Всего добыто: 240 + 40 = 280(кг).

Ответ: 280 кг.

Задача 2. (№ 513294)

В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х² человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется   человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение.

Составим таблицу:

Пусть в первой области х рабочих заняты на добыче алюминия, а 20 − х рабочих заняты на добыче никеля. Работая 10 часов в сутки, один рабочий добывает 1 кг алюминия или 1 кг никеля, поэтому за сутки рабочие добудут х кг алюминия и (20 − х) кг никеля.

Пусть во второй области у рабочих заняты на добыче алюминия, а (20 – у) рабочих заняты на добыче никеля. Работая 10 часов в сутки, n рабочих добывают   кг любого из металлов, поэтому вместе бригады добудут   кг алюминия и   кг никеля.

Всего будет произведено   кг алюминия (1) и   кг никеля (2). Поскольку алюминия необходимо добывать втрое больше никеля, имеем:

(*)

Количеству никеля    соответствует количество сплава   Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение функции   при натуральных y, не больших 20.

Имеем:

Найдем нули производной:

В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области.

Далее имеем:     из (*)   Это означает, что все рабочие первой области должны быть заняты на производстве алюминия, за сутки они произведут его 20 кг, а рабочие второй области бригадами по 10 и 10 человек должны быть заняты на добыче алюминия и никеля, они добудут их по 10 кг. Всего будет добыто 30 кг алюминия и 10 кг никеля, из них будет произведено 40 кг сплава.

Ответ: 40 кг.

Задача 3.  (№ 515709)

В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x² человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y² человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором 1 кг алюминия приходится на 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение.

В каждой области в день может быть затрачено 500 человеко-часов труда.

Пусть в первой области на добыче алюминия ежедневно будет затрачено х человеко-часов, а во второй области − y² человеко-часов. Составим таблицу по данным задачи.

Для производства сплава масса добытого алюминия должна быть вдвое меньше массы добытого никеля:

Пусть m — масса сплава, она равна сумме масс добытых металлов:

Учитывая равенство (*) имеем:

Найдём наибольшее значение функции  , где   Для этого исследуем функцию с помощью производной.

Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:

m’(y)

m(y)

0

10

+

y

Заметим, что при   равенство (*)  выполняется, если 

Таким образом, наибольшее значение функции m(y) равно 

Значит, завод сможет производить 90 кг сплава ежедневно.

Ответ: 90 кг.

Задания для самостоятельного решения:

1. (№ 513297)

В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x² человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y² человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ: 200 кг.

2. (№ 513293)

В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется   человеко-часов труда, а для добычи  у  кг никеля в день требуется   человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ: 120 кг.