ЗАДАНИЕ 24 ОГЭ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ.
ОКРУЖНОСТИ.
(311650) В треугольнике
угол
равен
, а угол
равен
. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/04/07/s_5ca9eb693176a/1133892_6.png)
Решение.
I способ. Проведём радиусы
. По сумме углов треугольника:
. Этот угол является вписанным, а ему соответствующий центральный угол -
. По свойству вписанного угла: «Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу»,
. Значит,
– прямоугольный. По теореме Пифагора:
.
II способ.
(т.к. сумма углов треугольника равна
). Воспользуемся теоремой синусов: «Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причём, коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности», т.е.
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/04/07/s_5ca9eb693176a/1133892_15.png)
Ответ:
(340853) Окружность с центром на стороне
треугольника
проходит через вершину
и касается прямой
в точке
. Найдите диаметр окружности, если
.
Решение.![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/04/07/s_5ca9eb693176a/1133892_23.png)
I способ.
– касательная к окружности,
– секущая,
. Воспользуемся свойством: «Произведение секущей на её внешнюю часть равна квадрату отрезка касательной», т.е. ![](data:image/png;base64,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)
. Тогда диаметр .
II способ. Не все помнят свойство касательной и секущей, поэтому приведём другой способ решения. Т.к.
– касательная, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, т.е.
. Из прямоугольного треугольника
, где
, по теореме Пифагора,
. Так как
, то
.
Значит, диаметр .
Ответ:
.
(340879) Окружность, вписанная в треугольник
, касается его сторон в точках
и
. Найдите углы треугольника
, если углы треугольника
равны
и
.
Решение. Пусть .
I способ.
Введём обозначения: .
Воспользуемся свойством касательных: «Отрезки касательных, проведённых из общей точки, равны», т.е. . Значит, – равнобедренные, следовательно,
. Найдём выражение этих углов через введённые обозначения, используя свойство углов треугольника.
Составим формулы для нахождения углов треугольника
.
Составим систему уравнений, учитывая, что .
Значит, .
II способ. Угол между касательными иногда называют описанным углом. Известно свойство, что описанный угол равен полуразности дуг, на которые он опирается, т.е. . Также известно, что градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Поэтому
. Значит,
.
Выполняя аналогичные рассуждения, определяем другие два угла треугольника
.
, .
Так как углы треугольника
– вписанные в окружность, то они равны половине соответствующих центральных углов, т.е.
Теперь можем найти искомые углы.
Ответ: ![](data:image/png;base64,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)
(339492) Окружность пересекает стороны
и
треугольника
в точках
и
соответственно и проходит через вершины
и
. Найдите длину отрезка
, если
, а сторона
в
раза больше стороны
.
Решение.
I способ. Стороны
и
являются секущими для окружности, поэтому,
(«Произведения длин отрезков секущих, проведённых из общей точки, равны»). Значит,
.
Рассмотрим
и
.
по II признаку подобия треугольников. Значит,
II способ. Т.к. четырёхугольник
– вписанный, то сумма его противоположных углов равна
, т.е. . По свойству смежных углов
. Тогда, .
Рассмотрим
и
.
по I признаку подобия треугольников. Значит,
Ответ:![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAABwAAAASCAIAAADHZSmzAAAA/0lEQVR4nGP5//8/A7UBC9VNpK+hGzduLC0tvXXrFlyEiYkJWcG/f/9IMPTr169tbW2SkpJ37txBk8JvED5Dubm5W1tbgYy8vDwijSBsKFUACYYCw+T169eKiopAr4SFhVHB0IsXL8rLy3NxcZ09ezY+Ph6YusPDwyk1VFdXF8IwNzevrKxcs2YNFQxFBlJSUsBEgkcBOYY+evQIGLJUMNTX13fBggWCgoKXLl3q7Oxcvnw5RNzGxubIkSMEDH3+/HlERMT169eBbDExMS0trVWrVgEZHz58ALrux48fQBJoqLGxMQkuBaabgwcPYqo7fPgwVv2YzsRiKFXA0DEUAN/gWuujtwoZAAAAAElFTkSuQmCC)
(359979) Отрезки
и
являются хордами окружности. Найдите длину хорды
, если
, а расстояние от центра окружности до хорд
и
равны соответственно
и
.
Решение.
Опустим перпендикуляры
и
на хорды
и
соответственно. Так как – радиусы, то треугольники
и
– равнобедренные. По свойству равнобедренного треугольника («В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию является биссектрисой и медианой»), .
Рассмотрим
и ![](data:image/png;base64,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)
по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе). Значит, .
Ответ:
.
ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
(311651) В треугольнике
угол
равен
, а угол
равен
. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
(339535) Окружность пересекает стороны
и
треугольника
в точках
и
соответственно и проходит через вершины
и
. Найдите длину отрезка
, если
, а сторона
в
раза больше стороны
.
(339676) Окружность пересекает стороны
и
треугольника
в точках
и
соответственно и проходит через вершины
и
. Найдите длину отрезка
, если
, а сторона
в
раза больше стороны
.
(339857) Окружность пересекает стороны
и
треугольника
в точках
и
соответственно и проходит через вершины
и
. Найдите длину отрезка
, если
, а сторона
в
раза больше стороны
.
(339913) Окружность пересекает стороны
и
треугольника
в точках
и
соответственно и проходит через вершины
и
. Найдите длину отрезка
, если
, а сторона
в
раза больше стороны
.
(339957) Окружность пересекает стороны
и
треугольника
в точках
и
соответственно и проходит через вершины
и
. Найдите длину отрезка
, если
, а сторона
в
раза больше стороны
.
(350422) Окружность пересекает стороны
и
треугольника
в точках
и
соответственно и проходит через вершины
и
. Найдите длину отрезка
, если
, а сторона
в
раза больше стороны
.
(350713) Окружность пересекает стороны
и
треугольника
в точках
и
соответственно и проходит через вершины
и
. Найдите длину отрезка
, если
, а сторона
в
раза больше стороны
.
(350889) Окружность пересекает стороны
и
треугольника
в точках
и
соответственно и проходит через вершины
и
. Найдите длину отрезка
, если
, а сторона
в
раза меньше стороны
.
(351596) Окружность пересекает стороны
и
треугольника
в точках
и
соответственно и проходит через вершины
и
. Найдите длину отрезка
, если
, а сторона
в
раза меньше стороны
.
(351668) Окружность пересекает стороны
и
треугольника
в точках
и
соответственно и проходит через вершины
и
. Найдите длину отрезка
, если
, а сторона
в
раза больше стороны
.
(351686) Окружность пересекает стороны
и
треугольника
в точках
и
соответственно и проходит через вершины
и
. Найдите длину отрезка
, если
, а сторона
в
раза меньше стороны
.
(351714) Окружность пересекает стороны
и
треугольника
в точках
и
соответственно и проходит через вершины
и
. Найдите длину отрезка
, если
, а сторона
в
раза больше стороны
.
(353588) Окружность пересекает стороны
и
треугольника
в точках
и
соответственно и проходит через вершины
и
. Найдите длину отрезка
, если
, а сторона
в
раза меньше стороны
.
(360042) Отрезки
и
являются хордами окружности. Найдите длину хорды
, если
, а расстояние от центра окружности до хорд
и
равны соответственно
и
.
ОТВЕТЫ
№ задачи | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
ответ | 3 | 17 | 7 | 14 | 3 | 4 | 20 | 25 | 25 | 14 | 10 | 7 | 5 | 3 | 30 |
3