Задание 25. Окружности и их элементы.

ЗАДАНИЕ 25 ОГЭ.

ОКРУЖНОСТИ И ИХ ЭЛЕМЕНТЫ.

1. (311241) В окружности с центром проведены две хорды и так, что центральные углы и равны. На эти хорды опущены перпендикуляры и . Докажите, что и равны.

Решение. Рассмотрим и .

(по I признаку равенства треугольников). Следовательно, все соответствующие элементы этих треугольников равны, а именно: , ч.т.д.

1. (341422) Окружности с центрами в точках и пересекаются в точках и , причём, точки и лежат по одну сторону от прямой . Докажите, что отрезки и перпендикулярны.

Решение.

Т.к. окружности пересекаются по прямой , то , т.е. точка равноудалена от точек и , и точка равноудалена от точек и . Значит, они лежат на серединном перпендикуляре к отрезку . Т.к. серединный перпендикуляр единственный, то точки и лежат на одной прямой, и эта прямая , значит, , ч.т.д.

1. (311258) В окружности с центром проведены две равные хорды и . На эти хорды опущены перпендикуляры и . Докажите, что и равны.

Решение. Рассмотрим и .

(по III признаку равенства треугольников). Следовательно, все соответствующие элементы этих треугольников равны, а, значит, и их высоты: , ч.т.д.

1. (316360) В окружности через середину хорды проведена хорда так, что дуги и равны. Докажите, что – середина хорды .

Решение.

I способ. Вспомним свойство хорды: «Если радиус (диаметр) проходит через середину хорды, то он перпендикулярен этой хорде»

По условию, точка - середина хорды , значит, перпендикулярна радиусу, проведённому через точку . Если - середина хорды , то перпендикулярна тому же самому радиусу, проведённому в точку . Мы получаем, что через точку проведены две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, а это невозможно. Это означает, что середина хорды совпадает с центром окружности. Так как хорда проходит через точку – центр окружности, то она является диаметром, значит, , т.е. - середина , ч.т.д.

II способ. Проведём отрезки и . Вписанные углы и опираются на одну и ту же дугу , значит, они равны (по свойству вписанных углов). Аналогично, вписанные углы и опираются на одну и ту же дугу , значит, они тоже равны. По условию задачи, дуги и равны, поэтому все эти вписанные углы равны между собой, т.е. .

Значит, и равнобедренные, и . А т.к. , то и , т.е. точка - середина хорды , ч.т.д.

1. (340324) Окружности с центрами в точках и не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как .

Решение.

Пусть – общая касательная к данным окружностям. Она касается этих окружностей в точках и и пересекает отрезок в точке . По свойству касательной: «Касательная перпендикулярна радиусу окружности, проведённому в точку касания», получаем, что .

Рассмотрим и .

(по I признаку подобия треугольников) . Другими словами, . Но , ч.т.д.

ЗАДАЧИ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. (357110) Окружности с центрами в точках и 𝑁 пересекаются в точках и , причём, точки и лежат по одну сторону от прямой . Докажите, что отрезки и перпендикулярны.

1. (352846) Окружности с центрами в точках и Q пересекаются в точках и , причём, точки и лежат по одну сторону от прямой . Докажите, что прямые и перпендикулярны.

1. (316386) В окружности через середину хорды проведена хорда так, что дуги и равны. Докажите, что – середина хорды .

1. (349626) Окружности с центрами в точках и не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как .

1. (357111) Окружности с центрами в точках и не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как .

2