Задание 26 ОГЭ. Окружности.

ЗАДАНИЕ 26 ОГЭ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ.

ОКРУЖНОСТИ

1. (316245) Три окружности с центрами и и радиусами и соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол .

Решение.

1). Найдём стороны треугольника .

2). Воспользуемся теоремой косинусов для стороны .

Ответ:

1. (316335) Две окружности с центрами и и радиусами и касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром и радиусом . Найдите угол .

Решение.

1). Найдём стороны треугольника .

2). Воспользуемся теоремой косинусов для стороны .

Ответ:

1. (311568) Три окружности, радиусы которых равны и , попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.

Решение.

1). Найдём стороны треугольника .

2). Окружность, вписанная в треугольник имеет радиус . Найдём этот радиус из формулы площади треугольника.

Ответ:

1. (333027) Две касающиеся внешним образом в точке окружности, радиусы которых равны и , вписаны в угол с вершиной . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку , пересекает стороны угла в точках и . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника .

Решение. Дан угол ; две касающиеся внешним образом окружности с центрами в точках и , и радиусами и соответственно; общая касательная , проходящая через точку .

1). По теореме: «Если окружность вписана в угол, то её центр лежит на биссектрисе этого угла» получаем, что биссектриса угла проходит через центры и данных окружностей. К тому же она проходит через точку , т.к. эта точка является точкой касания двух окружностей, значит, лежит на прямой (более развёрнуто: радиусы и перпендикулярны касательной , значит, , т.е. – развёрнутый).

2). Так как является биссектрисой и высотой, то – равнобедренный, и является медианой, т.е. и .

3). Проведём радиусы и в точки касания данных окружностей и касательной . Рассмотрим и .

по I признаку подобия треугольников. Следовательно, соответствующие стороны у них пропорциональны, т.е. .

Пусть , тогда . Рассмотрим первые два отношения первой пропорции.

Значит, , тогда , и из по теореме Пифагора, .

Рассмотрим первое и третье отношение во второй пропорции.

.

4). В треугольнике , т.е. катет равен половине гипотенузы, значит, по свойству угла, равного , . Следовательно, . Так как – равнобедренный, то, по сумме углов треугольника,

. Все три угла в треугольнике равны, значит, – равносторонний, т.е. .

5). В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружности совпадают, значит, радиусом окружности, описанной около является отрезок .

Ответ:

1. (311562) Окружность радиуса касается внешним образом второй окружности в точке . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку , пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке . Найдите радиус второй окружности, если .

Решение. Даны две касающиеся внешним образом окружности с центрами с точках и , и радиусами и ; общая касательная , проходящая через точку касания окружностей и общая касательная , пересекающая касательную в точке ; .

1). Проведём радиусы и . Отрезок, соединяющий радиусы касающихся окружностей проходит через точку касания, т.е. . Значит, . Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому, и . Следовательно, .

2). Поскольку отрезки касательных, проведённых из одной точки (точки ), равны, то и , значит, , тогда .

3). Проведём , тогда и четырёхугольник является прямоугольником, и , и . Значит, .

4). Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, значит, мы вправе использовать теорему Пифагора.

Значит, радиус второй окружности .

Ответ:

1. (311670) В окружности с центром в точке проведены две хорды и . Прямые и перпендикулярны и пересекаются в точке , лежащей вне окружности. При этом, . Найдите .

Решение.

1). Проведём радиусы . Опустим перпендикуляры и на хорды и . Тогда четырёхугольник является прямоугольником, значит, и .

2). По свойству высоты равнобедренного треугольника, и являются медианами, т.е.

.

3). . Из треугольника , по теореме Пифагора, находим радиус .

4). Из треугольника , по теореме Пифагора, находим высоту .

5). Из треугольника , по теореме Пифагора, находим искомый отрезок

Ответ:

1. (311708) В прямоугольном треугольнике с прямым углом , проведена биссектриса угла . Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведённый к стороне , в точке . Найдите угол , если известно, что угол равен .

Решение.

1). Дан (по сумме углов треугольника).

2). – биссектриса .

3). – серединный перпендикуляр к стороне , следовательно, он параллелен стороне , и, значит, делит гипотенузу пополам (по теореме Фалеса: «Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то на другой стороне угла они отсекают также равные отрезки»).

4). – секущая, тогда (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых). Тогда – равнобедренный, т.е. .

5). Точка – середина гипотенузы является центром окружности, описанной около треугольника , значит, и являются радиусами этой окружности, т.е. окружность проходит через вершины треугольника и точку .

6). По свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу (или хорду), вписанные углы и равны, т.е. .

Ответ:

1. (333132) Окружности радиусов и касаются внешним образом. Точки и лежат на первой окружности, точки и – на второй. При этом, и – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми и .

Решение. Даны две касающиеся внешним образом окружности с центрами в точках и , и радиусами ; две общие касательные этих окружностей и , которые мы продлим до пересечения в точке .

1). По свойству касательных, выходящих из одной точки, и . Поэтому, .

2). Рассмотрим и .

по II признаку подобия треугольников, значит, и т.к. они соответственные, то (по свойству параллельных прямых).

3). Расстоянием между двумя параллельными прямыми является длина общего перпендикуляра к этим прямым. В нашем случае это отрезок . Почему? Объясняем.

Поскольку и равнобедренные, то биссектриса угла является высотой и медианой, т.е. и . Значит, отрезок , который является частью биссектрисы также перпендикулярен и . Итак, наша задача найти .

4). Проведём перпендикуляр из точки на радиус второй окружности . Четырёхугольник является прямоугольником, т.к. радиусы и перпендикулярны касательной, проведённой в точку касания. Значит, . Тогда .

5). Из треугольника , находим косинус угла

6). как соответственные при параллельных прямых, поэтому, из треугольника

.

Из треугольника .

7). Теперь найдём .

Ответ:

1. (353564) Середина стороны выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите , если , а углы и четырёхугольника равны соответственно и .

Решение.

1). В четырёхугольнике точка – середина стороны , значит, . По условию задачи, точка равноудалена от всех вершин четырёхугольника, значит, . А это означает, что точка является радиусом окружности, описанной около четырёхугольника . По свойству описанной окружности, . Тогда .

2). – равнобедренный, значит, . Тогда

. – тоже равнобедренный, значит, .

3). По сумме углов треугольника .

4). Из , по теореме Пифагора, . Тогда .

Ответ: .

ЗАДАЧИ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. (311862, 316272) Три окружности с центрами и и радиусами и соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол .

2. (316298) Три окружности с центрами и и радиусами и соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол .

3. (311774) Две окружности с центрами и и радиусами и касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром и радиусом . Найдите угол .

4. (333106) Две касающиеся внешним образом в точке окружности, радиусы которых равны и , вписаны в угол с вершиной . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку , пересекает стороны угла в точках и . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника .

5. (340378) Две касающиеся внешним образом в точке окружности, радиусы которых равны и , вписаны в угол с вершиной . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку , пересекает стороны угла в точках и . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника .

6. (353476) Две касающиеся внешним образом в точке окружности, радиусы которых равны и , вписаны в угол с вершиной . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку , пересекает стороны угла в точках и . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника .

7. (333159) Окружности радиусов и касаются внешним образом. Точки и лежат на первой окружности, точки и – на второй. При этом, и – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми и .

8. (352993) Окружности радиусов и касаются внешним образом. Точки и лежат на первой окружности, точки и – на второй. При этом, и – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми и .

9. (350474) Середина стороны выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите , если , а углы и четырёхугольника равны соответственно и .

10. (350898) Середина стороны выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите , если , а углы и четырёхугольника равны соответственно и .

11. (350970) Середина стороны выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите , если , а углы и четырёхугольника равны соответственно и .

12. (351323) Середина стороны выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите , если , а углы и четырёхугольника равны соответственно и .

13. (351705) Середина стороны выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите , если , а углы и четырёхугольника равны соответственно и .

14. (352889) Середина стороны выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите , если , а углы и четырёхугольника равны соответственно и .

15. (353463) Середина стороны выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите , если , а углы и четырёхугольника равны соответственно и .

16. (353491) Середина стороны выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите , если , а углы и четырёхугольника равны соответственно и .

ОТВЕТЫ

4