Вариант № 12996919
1. В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
2. В сборнике 15 билетов, в 12 из них встречается вопрос по электростатике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по электростатике.
3.
При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм.
4. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
5. В сборнике билетов по физике всего 20 билетов, в 8 из них встречается вопрос по теме "Оптика". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Оптика".
6. На борту самолёта 13 мест рядом с запасными выходами и 27 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 200 мест.
7. В сборнике билетов по географии всего 30 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме "Регионам России". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Регионам России".
8. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая — 40%. Среди стёкол, выпускаемых первой фабрикой, брак составляет 3%. Среди стёкол, выпускаемых второй фабрикой, брак составляет 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
9. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.
10. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по теме "Производная". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Производная".
11. На борту самолёта 23 мест рядом с запасными выходами и 28 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 100 мест.
12. В сборнике билетов по географии всего 50 билетов, в 10 из них встречается вопрос по теме "Реки и озера". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Реки и озера".
13.
На конференцию приехали 4 ученых из Швеции, 4 из России и 2 из Италии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвертым окажется доклад ученого из Швеции.
14. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).
15. В сборнике билетов по географии всего 25 билетов, в 20 из них встречается вопрос по теме "Реки и озера". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Реки и озера".
16. В соревнованиях по толканию ядра участвую 8 спортсменов из Аргентины, 6 спортсменов из Бразилии, 5 спортсменов из Парагвая и 6 — из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины.
17. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.
18. В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 18 из них встречается вопрос по теме "Великая Отечественная Война". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Великая Отечественная Война".
19. В сборнике билетов по биологии всего 20 билетов, в 14 из них встречается вопрос по теме "Членистоногие". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Членистоногие".
20. За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.
21. Функция определена на промежутке На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.
22.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2].
23. На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
24. Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.
25. На рисунке изображён график функции y = f(x) и шесть точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x6. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
26. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.
27. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 18.
28. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.
29. На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции положительна?
30. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
31. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.
Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).
32. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ | | ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ |
А) вес взрослого человека Б) вес грузового автомобиля В) вес книжки Г) вес пуговицы на одежде | | 1) 8 т 2) 5 г 3) 65 кг 4) 300 г |
33. На рисунке изображен график — производной функции определенной на интервале (−3; 19). Найдите количество точек максимума функции принадлежащих отрезку [−2; 15].
34. На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите , где — одна из первообразных функции
35. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.
36. На рисунке изображён график - производной функции f(x).На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, ..., x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?
37.
На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите f'(10).
38. На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
39. На рисунке изображён график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
40. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
РЕШЕНИЕ
Вариант № 12996919
1. В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
Решение.
Машин желтого цвета с черными надписями 23, всего машин 50. Поэтому вероятность того, что на случайный вызов приедет машина желтого цвета с черными надписями, равна:
Ответ: 0,46.
2. В сборнике 15 билетов, в 12 из них встречается вопрос по электростатике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по электростатике.
Решение.
Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по электростатике, равна
Ответ: 0,8.
3.
При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм.
Решение.
По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 67,99 до 68,01 мм с вероятностью 0,968. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,968 = 0,032.
Ответ: 0,032.
4. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
Решение.
На третий день запланировано выступлений. Значит, вероятность того, что выступление представителя из России окажется запланированным на третий день конкурса, равна
Ответ: 0,16.
5. В сборнике билетов по физике всего 20 билетов, в 8 из них встречается вопрос по теме "Оптика". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Оптика".
Решение.
Из 20 билетов 12 не содержат вопроса по теме "Оптика", поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Оптика", равна
Ответ: 0,6.
6. На борту самолёта 13 мест рядом с запасными выходами и 27 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 200 мест.
Решение.
В самолете 13 + 27 = 40 мест удобны пассажиру В., а всего в самолете 200 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 40 : 200 = 0,2.
7. В сборнике билетов по географии всего 30 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме "Регионам России". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Регионам России".
Решение.
Из 30 билетов 18 не содержат вопроса по теме "Регионам России", поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Регионам России", равна
Ответ: 0,6.
8. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая — 40%. Среди стёкол, выпускаемых первой фабрикой, брак составляет 3%. Среди стёкол, выпускаемых второй фабрикой, брак составляет 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение.
Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,6 · 0,03 = 0,018.
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,4 · 0,01 = 0,004.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,018 + 0,004 = 0,022.
Ответ: 0,022.
9. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.
Решение.
На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта, равна:
Ответ: 0,2.
10. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по теме "Производная". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Производная".
Решение.
Из 20 билетов 13 не содержат вопроса по теме "Производная", поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Производная", равна
Ответ: 0,65.
11. На борту самолёта 23 мест рядом с запасными выходами и 28 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 100 мест.
Решение.
В самолете 23 + 28 = 51 мест удобны пассажиру В., а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 51 : 100 = 0,51.
12. В сборнике билетов по географии всего 50 билетов, в 10 из них встречается вопрос по теме "Реки и озера". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Реки и озера".
Решение.
Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Реки и озера", равна
Ответ: 0,2.
13.
На конференцию приехали 4 ученых из Швеции, 4 из России и 2 из Италии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвертым окажется доклад ученого из Швеции.
Решение.
Всего в семинаре принимает участие 4 + 4 + 2 = 10 ученых, значит, вероятность того, что ученый, который выступает четвертым, окажется из Швеции, равна
Ответ: 0,4.
14. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).
Решение.
Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Вероятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, а, стреляя второй раз, попал. Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.
Ответ: 0,91.
15. В сборнике билетов по географии всего 25 билетов, в 20 из них встречается вопрос по теме "Реки и озера". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Реки и озера".
Решение.
Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Реки и озера", равна
Ответ: 0,8.
16. В соревнованиях по толканию ядра участвую 8 спортсменов из Аргентины, 6 спортсменов из Бразилии, 5 спортсменов из Парагвая и 6 — из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины.
Решение.
Всего спортсменов 25, поэтому искомая вероятность равна 8 : 25 = 0,32.
17. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение.
Рассмотрим события
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится во втором автомате.
Тогда
A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35 = 0,65.
Ответ: 0,65.
Приведем другое решение.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,25 = 0,75. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,25 = 0,75. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,15 = 0,85. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,85 = 0,75 + 0,75 − х, откуда искомая вероятость х = 0,65.
Примечание.
Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, однако, по условию, эта вероятность равна 0,15.
18. В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 18 из них встречается вопрос по теме "Великая Отечественная Война". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Великая Отечественная Война".
Решение.
Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Великая Отечественная Война", равна
Ответ: 0,36.
19. В сборнике билетов по биологии всего 20 билетов, в 14 из них встречается вопрос по теме "Членистоногие". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Членистоногие".
Решение.
Из 20 билетов 6 не содержат вопроса по теме "Членистоногие", поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Членистоногие", равна
Ответ: 0,3.
20. За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.
Решение.
Пусть первой за стол сядет девочка, тогда рядом с ней есть два места, на каждое из которых претендует 4 человека, из которых только одна девочка. Таким образом вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна
Другое решение:
Число способов рассадить 5 человек по пяти стульям равняется 5!
Благоприятным для нас исходом будет вариант рассадки, когда на «первом» стуле сидит девочка, и на соседнем справа сидит девочка, а на остальных трёх произвольно рассажены мальчики. Количество таких исходов равно 2 · 1 · 3! Так как «первым» стулом может быть любой из пяти стульев (стулья стоят по кругу), то количество благоприятных исходов нужно умножить на 5. Таким образом вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом равна
21. Функция определена на промежутке На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.
Решение.
Cмена знака производной с положительного на отрицательный соответствует точке максимума, следовательно, в точке с абсциссой −2 достигается наибольшее значение функции.
Ответ: −2.
22.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2].
Решение.
Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной — изображенным на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках −13, −11, −9, −7. На отрезке [−14; 2] функция имеет 4 точки экстремума.
Ответ: 4.
23. На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Решение.
Заданная функция имеет максимумы в точках −5, −2, 1, 3 и минимумы в точках −3, 0, 2. Поэтому сумма точек экстремума равна −5 − 2 + 1 + 3 − 3 + 0 + 2 = −4.
Ответ: −4.
24. Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.
Решение.
Прямая является касательной к графику функции в точке тогда и только тогда, когда одновременно и . В нашем случае имеем:
Искомое значение а равно 0,125.
Ответ: 0,125.
Приведем другое решение.
По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график заданной функции — парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение ax2 + 2x + 3 = 3x + 1 имело единственно решение. Для этого дискриминант 1 − 8а уравнения ax2 − x + 2 = 0 должен быть равен нулю, откуда .
25. На рисунке изображён график функции y = f(x) и шесть точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x6. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
Решение.
Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция возрастает. На них лежат точки Таких точек 2.
Ответ: 2.
26. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых y'(x0) = −2, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.
Ответ: 5.
27. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 18.
Решение.
Поскольку касательная параллельна прямой y = 18 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 6 экстремумов. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 18 или совпадает с ней в 6 точках.
Ответ: 6.
28. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.
Решение.
Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.
Ответ: 4.
29. На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции положительна?
Решение.
Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция возрастает. На них лежат точки Таких точек 4.
Ответ:4.
30. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −2), B (−2; −5), C (4; −5). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:
.
Ответ: −0,5.
31. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.
Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).
Решение.
Мгновенная скорость равна производной перемещения по времени. Значение производной равно нулю в точках экстремума функции s(t). Точек экстремума на графике 6.
Ответ: 6.
32. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ | | ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ |
А) вес взрослого человека Б) вес грузового автомобиля В) вес книжки Г) вес пуговицы на одежде | | 1) 8 т 2) 5 г 3) 65 кг 4) 300 г |
Решение.
Из бытовых соображений ясно, что вес взрослый человек может весить 65 кг, грузовой автомобиль — 8 т, книга — 300 г, пуговица на одежде — 5 г.
Ответ: 3142.
33. На рисунке изображен график — производной функции определенной на интервале (−3; 19). Найдите количество точек максимума функции принадлежащих отрезку [−2; 15].
Решение.
Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [−2; 15] функция имеет одну точку максимума x = 10.
Ответ: 1.
34. На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите , где — одна из первообразных функции
Решение.
Разность значений первообразной в точках 8 и 6 равна площади выделенной на рисунке трапеции Поэтому
Ответ:12.
35. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.
Решение.
Касательная параллельна горизонтальной прямой в точках экстремумов, таких точек на графике 5.
Ответ: 5.
36. На рисунке изображён график - производной функции f(x).На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, ..., x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?
Решение.
Возрастанию дифференцируемой функции f(x) соответствуют положительные значения её производной. Производная положительна в точках x4, x5 x6. Таких точек 3.
Ответ: 3.
37.
На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите f'(10).
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид y=kx. Прямая проходит через точку (10; −6), значит, k=−0,6. Поскольку угловой коэффициент равен значению производной в точке касания получаем: f'(10)=−0,6.
Ответ: −0,6.
38. На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Решение.
Производная отрицательна в точках, лежащих в промежутках убывания: x2, x4, x6 и x8. Таких точек на графике 4.
39. На рисунке изображён график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
Решение.
Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция возрастает. На них лежат точки Таких точек 5.
Ответ:5.
40. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение.
Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (−9; −6) длиной 3 и интервалу (−2; 3) длиной 5. Длина наибольшего из них равна 5.
Ответ: 5.