Задания для 7 класса (повторение)

Десятичные и обыкновенные дроби, действия с дробями.

1. Вычислить.

а) ; б) ; в) 3,5-4,8+(-21,7)-(-13,5); г) 0,3036:(-0,23);

д)

е) ;

ж) ;

з) ;

Решение. а) = ;

б) = ;

в) 3,5-4,8+(-21,7)-(-13,5) = 3,5-4,8-21,7+13,5=-9,5 ;

г) 0,3036:(-0,23)= -30,36:23=-1,32 ;

д) = ;

е) 1;

ж) 0,5 ;

з) 1.

2) Решите уравнения.

а) х+0,7=0,53; б) 0,83-у=1 ; в) 0,083 х=83; г) ; д) (х-3):2=11;

е) .

Решение. а) х+0,7=0,53; х=0,53-0,7; х=-0,17.

б) 0,83-у=1; у=0,83-1 ; у=-0,17 ;

в) 0,083 х=83 ; х=83:0,083 ; х=1000 ;

г) ; ; у=-5.

д) (х-3):2=11; х-3=22 ; х=25;

е) .

16-у=8; у=8.

3) Турист проехал расстояние между двумя городами за три дня. В первый день он проехал всего пути и ещё 60 км, во второй всего пути и ещё 20 км, а в третий день всего пути и оставшиеся 25 км. Найти расстояние между городами?

Решение. Пусть х км расстояние между двумя городами. В первый день турист проехал км, во второй км и в третий км. За 3 дня турист проехал весь путь, то составим и решим уравнение ,

х=400.

Ответ: 400 км.

4) Решите пропорцию .

5) Одна бригада может убрать всё поле за 12 дней. Другой бригаде для выполнения той же работы нужно 75 % этого времени. После того как в течение 5 дней работала одна первая бригада, к ней присоединилась вторая, и обе вместе закончили работу. Сколько дней работали бригады вместе?

Решение. Примем всю работу по уборке поля за 1. Тогда первая бригада работает со скоростью . Второй бригаде для уборки поля понадобится дней , значит её скорость работы .За 5 дней первая бригада выполнит часть работы, за оставшиеся х дней две бригады выполнят работы. В результате работа будет выполнена, значит , х=3.

Ответ:3 дня.

Задачи для самостоятельного решения.

1) Выполнить действия.

а) ,

б) .

2) От пристани в город отправилась лодка со скоростью 12 км/ч, а через полчаса после неё в том же направлении вышел пароход со скоростью 20 км/ч. Каково расстояние от пристани до города, если пароход пришел туда на 1,5 ч раньше лодки?

3) Один насос может выкачать всю воду из котлована за 36 ч, а другой -в 2 раза быстрее. После того как они, работая вместе, выкачали всей воды, второй насос сломался, и остальную воду выкачал один первый насос. За сколько времени была выкачана вся вода из этого котлована?

4) Решите пропорцию 21:у=14:4.

5)Среднее арифметическое двух чисел равно 10,01. Найти эти числа, если одно больше другого в 5,5 раза.

6)Окрашенный куб с ребром , равным 10 см, распилили на кубики с ребром, равным 1 см. Сколько среди них окажется кубиков с одной окрашенной гранью? С двумя? С тремя?

7) Некоторое трехзначное число после зачеркивания одной цифры уменьшилось в 71 раз. Какое это было число?

8) Одно число больше другого на 16. Найти эти числа, если 5/ 32 этого числа равны 3/16 другого.

9) ху=3232. Чему равно НОК(х,у), если х и у взаимно простые числа? Найти эти числа.

10) Белка тратит на путь от гнезда до орешника и обратно 20 мин. Далеко ли от орешника до гнезда, если путь до орешника белка бежит со скоростью 5 км/ ч, а обратно ( с орехами) – 3км/ ч?

11) Вычислить рационально: .

12) Вася изучает 12 предметов. Сейчас у него средний балл 3,5. Чтобы попасть в математический класс, нужно иметь средний балл 4. По скольким предметам ему нужно повысить оценку на 1 балл?

12 х и у – целые числа. Решите уравнение: (х+1)(у-2)=2.

13)Решить уравнение :а) ,

б) ,

в) .

г) ,

д) ,

е) ,

ж) .

з) .

и) ,

к) ,

л) .

м) .

н) ,

о)

Проценты.

Рассмотрим задачи, в которых, казалось бы, очевидный ответ чаще всего

бывает ошибочным.

1.Пусть число сначала увеличили на а процентов, а затем уменьшили на

столько же процентов. На сколько процентов увеличится или уменьшится это число или не изменится.

Наиболее распространенная ошибка при ответе на этот вопрос- утверждение, что число не изменится. Каким же будет правильный ответ? Пусть исходное число равно x. тогда после увеличения его на Р % новое число будет равно x (1+ 0,01Р). Уменьшая новое число на Р%, мы вычисляем проценты от этого числа, а не от исходного, как некоторые ошибочно действуют, Тогда окончательно после двух изменений число будет равно x(1+0,01Р)(1-0,01Р).

Из последней формулы следует, что поле двух изменений число уменьшится

на (1+0,01Р)(1-0,01Р) 100%.

Например, если число сначала увеличить на 10%, а затем уменьшить на 10%,

то в итоге число уменьшится на 1 %.

1. Решим еще одну задачу, из которой узнаем, что уменьшение на 1 % не так уж и мало.

Пусть доля воды в грибах первоначально составила 99%. Грибы усохли настолько, что доля воды в них составила 98 %. Во сколько раз уменьшилось масса грибов?

Решим задачу, составим таблицу , в которой через М₁ обозначим первоначальную массу грибов, а через М₂ массу усохших грибов.

Но масса сухого вещества в процессе усушки не меняется. Тогда 0,01 М₁= 0,02 М₂ или М₁=2М₂, то есть масса грибов уменьшилась в два раза . Вот вам и 1 %.

Задачи для самостоятельного решения.

1) Найдите: а) 23% от числа 15; б) число, 45% которого равны 50,25; в) какой процент составляет 25 от 400.

2) В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна?

3) Ширину прямоугольника увеличили на 3,6 см, а длину уменьшили на 16%. В результате площадь нового прямоугольника оказалась больше прежнего на 5%.Найти ширину нового прямоугольника.

4) Две противоположные стороны прямоугольника удлинили на 10%, а две другие укоротили на10%. Как изменилась площадь прямоугольника?

5) Древесина только что срубленного дерева содержит 64% воды. Через неделю количество воды стало уже 48% от веса дерева. На сколько уменьшился при этом вес дерева, если только что срубленное оно весило 7,5 ц.(Ответ дать с точностью до 0,1 ц)

6)Найти возраст брата и возраст сестры, если 62,5% возраста брата больше 75% возраста сестры на 2 года, а 50% возраста брата больше 37,5% возраста сестры на 7

лет.

7) Длину прямоугольника увеличили на 10%, а ширину – уменьшили на 10%. На сколько процентов изменилась площадь?

8) Девочки составляют 54% всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе, если в ней всего 552 мальчика?

9)Какую сумму нужно положить в банк, дающий доход из расчета 16% годовых, чтобы через 3 месяца получить 1924 рубля?

10) В 1 день МЗКМ ( маленький зелёный крокодильчик по имени Макдональд) съел 3/8 своих ананасов, во 2- 49% остатка, после чего у него осталось на 5 ананасов больше, чем он съел во 2 день. Сколько ананасов запас МЗКМ?

11)Подарочный набор состоит из трех сортов конфет. Массы конфет первого, второго и третьего сортов в этом наборе относятся как 2:7:15. Массу конфет первого сорта увеличили на 9%, а второго –на6%. На сколько процентов надо уменьшить массу конфет третьего сорта, чтобы масса всего набора не изменилась.

Числовая прямая. Координатная плоскость.

В классе.

1. На координатной плоскости отметьте точки М(0;8), N(-3;0), К(3;2) и найдите длину отрезка оси ординат внутри треугольника MNK.

2. а) Отметь в координатной плоскости точки А(0;2), В(9;11), С(9;5), D(6;2) и построй четырёхугольник ABCD. Как называется такой четырехугольник?

б) Построй четырёхугольник KLMN , если К(1;?), L(4;10), М(11;3), N(8;0). Определи его вид.

в)Раскрась цветным карандашом пересечение четырехугольников АBCD и KLMN. Какая фигура получилась?

3. Начерти координатную прямую, приняв за единичный отрезок 10 клеток. Отметь на ней точки: А(0,4), В(0,8), С(1,3), D(1,7),Е(2,1), F(2,5).

4. Построй график изменения роста Оли в течение первых шести лет жизни, пользуясь таблицей:

1. Чем характеризуются координаты точек, принадлежащих осям координат? Выпиши отдельно точки, принадлежащие оси абсцисс, и точки, принадлежащие оси ординат. Составь из них соответственно название страны и название её столицы. Р(0;4), Н(5;0), И(12;0), Е(0;11), Л(3;0), У(0;1), К(8;4), Т(0,5), В(6;0), Й(0;9), Д(2;2), А(3;0), Б(0;7).

2. Найдите расстояние d между точками: а)Р(5) и Q(7), б) В(17) и С(150), в) С(150) и D(350).

3. Начертите координатную прямую, отметьте на ней точку С- середину отрезка, концами которого служат точки А и В, и найдите координаты точки С, если:

а) А(0) и В(8); б) А(3) и В(7), в) А(5) и В(3).

8. Нарисовать по координатам «ТОПОР». (-1;5), (-1;-2), (0;-5), (2;-5),

(1;-2),(1;3), (2;3), (2;5), (-2;5), (-4;6), (-5;5), (-5;3), (-4;2), (-2;3), (1;3).

Понятие модуля числа

Тогда

.

Например, |-3|=3; |5|=5; |0|=0; |3-5|=|-2|=2. Из определения модуля следует, что |а|≥0 и |а|= |-а| при любом а.

Геометрически |a| означает расстояние на числовой прямой от точки, изображающей число а, до начала отсчета. Если а≠0, то на числовой прямой существуют две точки а и –а, равноудаленные от нуля (см. рис.1).

Геометрически |a-b| означает расстояние на числовой прямой от точки, изображающей число а, до точки, изображающей число b (см. рис.2). Это геометрическое представление удобно использовать при решении простейших уравнений и неравенств с модулем. Например, решения уравнения |x-3|=4 - множество точек на числовой прямой, отстоящих от точки 3 на расстояние 4. Это точки х=7, х=-1.

Основные свойства модуля числа.

1.

2.

3.

4.

5. ,это свойство является следствием свойства 1 при в=а.

6.

7.

8. тогда и только тогда, когда

9. тогда и только тогда, когда и ,

10. тогда и только тогда, когда .

Решим уравнения вида , при наиболее рациональный путь-переход к совокупности

Пример 5.Решитьуравнение.

Заменим уравнение совокупностью . Это даёт , .

Применим этот прием при решении вложенных друг в друга модулей.

Пример 6 .

Решение. Заменим его совокупностью или .

Последнее уравнение не имеет решения, так как модуль не может быть равен отрицательному числу, а первое уравнение снова заменяется совокупностью: . Решениями являются числа -9 и 11.

Для самостоятельного решения.

1. Решите уравнение: а) ; б) ; в) ; г) .

2. Найдите корни уравнения а) б) ;

3. Запишите в виде равенства или неравенства, используя знак модуля, утверждение, что расстояние между точками Р(х) и К(8) координатной прямой : а)равно 1; б) меньше 1; в) больше 1; г) равно3; д) меньше 3 ; е) больше 3.

4. Решите уравнение а) ; б) ; в) ; г) .

5. Запишите в виде равенства или неравенства, используя знак модуля, утверждение, что расстояние между точками К(х) и L(6) координатной прямой: а) равно 2; б) меньше 2; в) больше 2; г) равно 5; д) меньше 5; е) больше 5.

6. Решите уравнения и неравенства: а) , 1;

б) 3.

7. Решить уравнение : .

Контрольная работа на повторение.(40мин.)

1. Вычислить: .

2. Решить уравнение: а) ,

б) .

1. Разделите число 8,05 на две части так, чтобы 75% первой части были равны 40% второй.

2. Разность двузначного числа, оканчивающегося на 3 , и числа, написанного теми же цифрами в обратном порядке, равна 54. Найдите исходное число.

3. Упростить значение выражения и вычислить при а=-7; в=-1.

4. Зимой огурцы становятся дороже, чем летом, на 35%, а помидоры- на 55%. Поэтому овощи для салата «Овощной» из огурцов и помидоров зимой обходятся на 50% дороже, чем летом. Сколько процентов от стоимости овощей для такого салата составляет летом стоимость входящих в него помидоров.

Административная контрольная работа на повторение.(40мин.)

1. Найди значения выражений: а) ; б) (4,75-8,2):(-0,01);

в) .

1. Вычислите: .

2. Реши уравнения: а) ; б) 5(у+2)=9у-6(у-1); в) .

3. Сумма трех чисел 80. Первое число составляет 15% от всей суммы, но 40% второго числа. Найди среднее арифметическое первого и третьего чисел.

4. Когда велосипедист выехал из деревни на станцию, пешеход уже находился на расстоянии 2 км 400м от деревни. На станцию они прибыли одновременно через 15 мин после выезда велосипедиста. С какой скоростью ехал велосипедист, если скорость пешехода была 6 км/ч.

5. Реши задачу с помощью уравнения.

В одном мешке в 2 раза меньше крупы, чем во втором. Если из второго мешка пересыпать в первый 5 кг крупы, а затем из первого отсыпать 2 кг, то крупы в обоих мешках станет поровну. Сколько крупы в каждом мешке?.

17