Задания для школьных олимпиад по математике (7-11 классы)

Олимпиада по математике, 7 класс 1 тур

1. Расставьте забытые учеником скобки: 6•8+20:4-2=40.

2. У мальчика есть 7 прямоугольников размером 1х1, 1х2, 1х3, 1х4, 1х5, 1х6, 1х7. Как из данных прямоугольников сложить два прямоугольника одинакового периметра, но разной площади?

3. Медведь за зиму похудел на 20%, потом поправился на 10%, за вторую зиму снова похудел на 10%, а потом поправился на 20%. На сколько процентов и как изменилась масса медведя?

4. Автобус проехал полпути со скоростью вдвое меньшей, чем запланировано. Может ли он, увеличив скорость, приехать вовремя? Если да, то во сколько раз ему необходимо увеличить запланированную скорость?

5. Разместить 6 точек на 4 прямых так, чтобы на каждой из них было 3 точки.

6. На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и квадрат. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, желтый, зеленый. Известно, что: красная фигура лежит между синей и зеленой; справа от желтой фигуры лежит квадрат; круг лежит правее и треугольника, и квадрата; треугольник лежит не с краю; синяя и желтая фигуры лежат не рядом.

В каком порядке лежат фигуры и какого они цвета?

Олимпиада по математике, 8 класс 1 тур

1. Необходимо разделить 7 яблок поровну на 12 человек, разрезая каждое яблоко не больше, чем на 5 частей. Как это сделать?

2. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода, причем вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

3. Автомобиль повысил скорость на 150%. На сколько процентов меньше времени ему потребуется теперь для прохождения того же расстояния?

4. В коробке лежали спички, их количество удвоили, а потом забрали 8 спичек. Остаток спичек снова удвоили, а потом снова забрали 8 спичек. Когда же такую операцию проделали в третий раз, то в коробке не осталось ни одной спички. Сколько спичек было первоначально?

5. Клоун сказал, что число котят, которые живут у него, равно ¾ этого числа и еще ¾ котенка. Слова про ¾ котенка вызвали смех. Но клоун сказал правду. Сколько котят живет у него?

6. Как разделить равнобедренный треугольник с углом 120⁰ на 5 треугольников с такими же углами, как в исходном?

7. Медиана и высота треугольника, которые проведены из одной вершины треугольника, делят этот угол на три равные части. Найти углы треугольника.

8. Равнобедренная трапеция АВСК делится диагональю АС на два равнобедренных треугольника. Найти углы трапеции АВСК.

Олимпиада по математике, 9 класс 1 тур

1. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода, причем вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

2. Автомобиль повысил скорость на 150%. На сколько процентов меньше времени ему потребуется теперь для прохождения того же расстояния? 

3. Докажите неравенство: 2х²+2ху+3у²+2х+6у+40.

4. О квадратном трехчлене f(x)=ax²+bx+c известно, что f(c) =3, а f( )=8. Чему равно ac?

5. Решить уравнение: (х³-9х²-х+9)²+(х³+3х²-х-3)⁴=0.

6. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения х²-ах+4а=0 равна 9?

7. Равнобедренная трапеция АВСК делится диагональю АС на два равнобедренных треугольника. Найти углы трапеции АВСК.

8. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на части, равные а и в. Найти площадь треугольника.

Олимпиада по математике, 10 класс 1 тур

1. Упростить выражение: .+

2. В прямоугольнике биссектриса прямого угла делит сторону на отрезки 42 см и 14 см, начиная от ближайшей к этому углу вершины. На какие отрезки делит эта биссектриса диагональ прямоугольника?

3. Построить график функции .

4. Решить систему уравнений

5. Числа, которые выражают длины сторон прямоугольного треугольника, образуют арифметическую прогрессию. Меньший катет этого треугольника равен а. Найти площадь этого треугольника.

Олимпиада по математике, 11 класс 1 тур

1. Имеются ножи и вилки. Общее число тех и других больше 300, но меньше 400. Если ножи и вилки вместе считать десятками или дюжинами, то в обоих случаях получится целое число десятков и целое число дюжин. Сколько было ножей и вилок на складе, если ножей было на 160 меньше, чем вилок?

2. Построить график функции: у = ( 1 – cos²х )^0,5 ∙ ( 1 + ctq²х )^0,5 ∙ ( 4х² + 4х + 1 )^0,5.

3. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на части, равные а и в. Найти площадь треугольника.

4. Решить уравнение: х² – sin²у = 2х cos у - 1 – у².

5. Решить систему уравнений: