Задания для школьного этапа олимпиады по математике в 8 классе

Задания для проведения

школьного этапа олимпиады

по математике в 8 классе

Каждое задание оценивается в 5 баллов.

Общее количество баллов -30

№ 1. Вася загадал двузначное число, а затем приписал к нему слева цифру 1, а справа — цифру 8, отчего число увеличилось в 28 раз. Какое число мог загадать Вася? (Найдите все варианты и докажите, что других нет.)

№2. На доске записано натуральное число. Николай заметил, что может двумя способами приписать к нему цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 9. Сколькими способами он может приписать к данному числу цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 3?

№3. Архипелаг состоит из нескольких малых островов и одного большого. Было решено построить мосты между островами так, чтобы большой остров соединялся с каждым малым островом двумя мостами, а любые два малых острова были соединены одним мостом. К 1 ноября были построены все мосты между малыми островами и несколько (не менее одного) мостов, ведущих на большой остров, — всего 28 мостов. Сколько всего островов в архипелаге?

№4. Известно, что выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что ∠BAC = ∠BDA и ∠BAD

= ∠ADC = 60◦ . Найдите длину AB, если известно, что AD = 20, CD = 6.

№5. Караванщик Али имеет меньше ста верблюдов. Он решил написать завещание. Старший сын получит половину стада. Второму достанется четверть стада, третьему –пятнадцатая часть стада. Сколько верблюдов достанется младшему четвертому сыну?

(Каждому досталось целое число верблюдов.)

№6. Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать точки,
то получится палиндром (т.е. число, читающееся слева направо и справа налево одинаково).
Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату, обладающую тем же свойством. Рассмотрите два случая:
1) требуемая дата еще не наступила,
2) требуемая дата уже прошла.