Задания по комбинаторике

Задача 1. На завтрак в школьной столовой любой ученик может выбрать булочку, ватрушку, кекс или сочник, а запить их он может соком, чаем или компотом. Сколько вариантов завтрака предлагается в школьной столовой?

Решение. Собираем все варианты в таблицу.

В таблице 2 строки и 3 столбца, которые образуют 6 клеток. Так как выбор еды и напитка происходит независимо, то в каждой клетке будет стоит один из возможных вариантов завтрака. Значит, всего вариантов столько, сколько клеток в таблице, то есть 6. Напиток можно выбрать двумя способами (сок или чай), а еду тремя способам.

Ответ: 2 ∙ 3 = 6 столовая предлагает 6 вариантов завтрака.

Задача 2. У Тани есть розовая, желтая, красная кофта  и черная, зеленая, синяя юбки. Сколько различных нарядов можно составить из них?

Решение:     Составим дерево возможных вариантов.

При этом возможные варианты, объекты в нем записываются

кодом. При записи объектов кодом используются буквы или

цифры. Сколько ветвей у дерева в схеме, столько решений  

у задачи.

РЧ, РЗ, РС; ЖЧ, ЖЗ, ЖС; КЧ, КЗ, КС.

Кофту можно выбрать тремя способами и юбку тремя способам.  

                             3 · 3 = 9 (нарядов)

Учитель: Что вы заметили при решении этих задач?

(Задачи разные, но решения совершенно одинаковые).

- Совершенно верно. А основаны они на общем правиле умножения

Задача 3. Государственные флаги некоторых стран состоят из трех горизонтальных полос разного цвета. Сколько существует различных вариантов флагов с белой, синей и красной полосой?

Правило умножения:

Если объект a можно выбрать m способами, а объект b можно выбрать k

способами, то выбор пары (a, b) можно осуществить m · k способами.

Примеры задач:

1. Мастер должен обшить 12 стульев обшивкой красного, коричневого и зеленого цвета. Сколькими способами он может это сделать? (12 стульев и 3 цвета, значит 12 ∙ 3 = 36)

2. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «правило»?

(3 гласных и 4 согласных, значит 3 ∙ 4 = 12)

3. На первой полке стоит 5 книг, а на второй 10. Сколькими способами можно выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй? (5 ∙ 10 = 50)

4. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя – как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z любые цифры, а X – не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9 ∙ 10 ∙ 10 = 900 вариантов.

Самостоятельная работа.

Задача 1. На завтрак в школьной столовой любой ученик может выбрать булочку, ватрушку, кекс или сочник, а запить их он может соком, чаем или компотом. Сколько вариантов завтрака предлагается в школьной столовой?

Задача 2. У Тани есть розовая, желтая, красная кофта  и черная, зеленая, синяя юбки. Сколько различных нарядов можно составить из них?

Правило умножения:

Если объект a можно выбрать m способами, а объект b можно выбрать k способами, то выбор пары (a, b) можно осуществить m · k способами.

Примеры задач:

1. Мастер должен обшить 12 стульев обшивкой красного, коричневого и зеленого цвета. Сколькими способами он может это сделать?

2. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «правило»?

3. На первой полке стоит 5 книг, а на второй 10. Сколькими способами можно выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй?