Задания с параметрами. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Задания с параметрами в учебнике 10 класса

Мороз Лидия Васильевна,

учитель математики

ГБОУ ЛНР «Краснолучский

учебно-воспитательный

комплекс № 6 «Созвездие»

В учебнике 10 класса встречаются следующие задания с параметрами:

Уравнения:

• – линейные уравнения (№ 1322,

№ 1323);

• – квадратные уравнения (№ 1396,

№ 1397) ;

• – логарифмические уравнения (№ 353);
• – тригонометрические уравнения (№ 646, 647, 687, 688, 689, 1605).

Системы уравнений:

• – система логарифмических уравнений (№ 1569);
• – система уравнений, одно из которых

тригонометрическое (№ 1570, № 1609).

Неравенства:

• – дробно-рациональные неравенства (№ 1611);
• – неравенства с модулем (№ 1579);
• – иррациональные неравенства (№ 191);
• – логарифмические неравенства (№ 406,

№ 1616).

Уравнения

№ 1322. При каком значении а , уравнение

а ( х – 3) + 8 = 13 ( х + 2) имеет корень, равный 0?

Решение

Корень уравнения обращает его в верное равенство. Подставим х = 0 в уравнение, получим:

а (–3) + 8 = 26;

– 3а = 18;

а = –6.

Ответ: –6.

0, m Наименьшее целое число, большее числа 1/3 и не равное 1 – это 2. Ответ: 2 " width="640"

№ 1396. При каком наименьшем целом значении m уравнение ( m – 1) x 2 – 2 ( m + 1) x + m – 3 = 0 имеет два различных действительных корня?

Решение

При m = 1 уравнение является линейным и не может иметь

два корня.

Рассмотрим случай m ≠ 1. Квадратное уравнение имеет два

различных действительных корня, если дискриминант

уравнения положительный.

D 1 = ( m +1) 2 − ( m − 1)( m − 3) = 6 m − 2.

6 m − 2 0, m

Наименьшее целое число, большее числа 1/3 и не равное

1 – это 2.

Ответ: 2

№ 353. Найти все значения параметра а , при которых уравнение 5log 5 x+ log a x – 4log 25 x = a имеет корни.

2 корней нет, при - 2 ≤ a ≤ 2 корни x = ± arccosa/2 + 2 πn , n ϵ Z. " width="640"

№ 646. Найти все значения а , при которых уравнение 4sin 2 x + 2( a - 3) cos x + 3 a - 4 = 0 имеет корни, и решить это уравнение.

Решение

4(1- cos 2 x )+ 2( a - 3)cos x + 3 a - 4 = 0; 4cos 2 x - 2( a - 3)cos x - 3 a = 0;

cos x = t. Имеем: 4 t 2 – 2( a – 3) t – 3 a = 0;

D 1 = ( a – 3) 2 + 12 a = a 2 – 6 a + 9 + 12 a = ( a + 3) 2 ≥ 0 для любых значений а .

t 1 = a/2, t 2 = - 3/2.

cos( x/2) = a . Уравнение имеет корни, только если

- 2 ≤ a ≤ 2 . x = ± arccos a/2 + 2π n , n ϵ Z. cos x = - 3/2. Уравнение не имеет корней.

Ответ: при а a 2 корней нет, при - 2 ≤ a ≤ 2 корни

x = ± arccosa/2 + 2 πn , n ϵ Z.

№ 688. Найти все значения а , при которых уравнение sin 10 x + cos 10 x = a имеет корни.

Решение

((1- cos2x )/2) 5 +((1+ cos2x )/2) 5 = a.

Воспользовавшись формулой

( а + b ) 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 ab 4 + b 5

и преобразовав тригонометрическое

уравнение имеем: 5 cos 4 2х +10 cos 2 2х+ 1- 16 а=0

Пусть cos 2 2х=t , 0 ≤ t ≤ 1. Тогда

5 t 2 + 10 t + 1 – 16 a = 0,

D 1 = 25-5+80 а=20+80а.

Уравнение имеет корни, если 20 + 80 а ≥ 0, то есть а≥ –0,25. Поэтому находим значение переменной t, учитывая ограничения имеем:

•  

Из первого неравенства имеем ≤а≤1. Второе неравенство

решений не имеет.

Ответ. ≤а≤1

 

Неравенства

№ 1611 (1). Найти все значения а , при которых

является верным при всех значениях х неравенство:

Решение

Квадратный трехчлен, находящийся в знаменателе

дроби, имеет отрицательный дискриминант,

положительный первый коэффициент, поэтому

знаменатель не обращается в 0 при любых х .

8х 2 -4х+3≤а(4х 2 -2х+1), (8-4а)х2+2(а-2)х+3-а≤0

В случае, если 8 – 4 а = 0, то есть а = 2

неравенство 0 х 2 + 0 х + 3 – 2 ≤ 0 решений не имеет.

При а ≠ 2 неравенство является верным при всех значениях

х , если первый коэффициент отрицательный и дискриминант

квадратного трехчлена неположительный, то есть

Уравнение 3a 2 -16a+20=0 имеет корни

Имеем систему неравенств

Ответ:

Системы уравнений

№ 1569 Решить систему уравнений и установить, при каких значениях параметра а она имеет решение:

Спасибо за внимание