Функция одной действительной переменной | Функция двух действительных переменных |
Определение |
X, Y – числовые множества, хХ, уY. f: X →Y или y=_______ f - __________________________________ x - __________________________________ _____________________________________ y - __________________________________ X - __________________________________ Y - __________________________________ | D, Z – числовые множества, (х,y)D, zZ. f: D →Z или z=________ f - __________________________________ x,y - ________________________________ ____________________________________ z - __________________________________ D - __________________________________ Z - __________________________________ |
Способы задания функции |
1.___________________________________ 2. ___________________________________ 3. ___________________________________ График функции - ______________ в системе координат Оху | 1.___________________________________ 2. ___________________________________ 3. ___________________________________ График функции - _____________________ в системе координат Охуz |
-окрестность точки |
Точка х0 ______________ Число направлений, по которым х→ х0 - __________________________________ | Точка М0(х0, у0) ______________________________________ Число направлений, по которым М→ М0 - _________________________________ |
Предел функции |
в точке х0 (х→ х0). | в точке М0(х0, у0) (х→ х0, у→ у0). (____________________________(х,у):_______ __________________________________________ _______________________________________) _______________________________________ |
Свойства пределов функций одной и двух действительных переменных ________________________________ |
Непрерывность функции |
в точке х0, если 1)_______________________________________ 2)_______________________________________ 3)_______________________________________ Точки, в которых непрерывность нарушается, называются __________________________________ Функция непрерывна на некотором промежутке, если _____________________________________________ _____________________________________________ | в точке М0(х0, у0), если 1)_______________________________________ 2)_______________________________________ 3)_______________________________________ Точки, в которых непрерывность нарушается, называются _____________________________, которые могут образовывать_______________ ________________________________________ Функция непрерывна в некоторой области, если _________________________________________ _________________________________________ |
Приращение функции |
Дадим х приращение х: х+х, тогда у = ____________________________________ | Дадим х приращение х: х+х (у не изменяется), тогда частное приращение по х xz = ____________________________________ Дадим y приращение y: y+y (x не изменяется), тогда частное приращение по y yz = ____________________________________ Дадим х приращение х, y приращение y, тогда полное приращение функции z = ____________________________________ |
Производная функции |
=== | Частная производная по переменной х (у – постоянна) === Частная производная по переменной у (х – постоянна) === |
Правила дифференцирования и таблица производных для функций одной и двух действительных переменных__________________________________________ |
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она ______________________________в этой точке |
Производная функции второго порядка |
===________ | Частные производные === _______ === _______ === _______ ____________ частные производные === ________ |
Дифференциал функции |
dy = ________________________ | Полный дифференциал функции dz = ____________________________ Частные дифференциалы функции dхz = __________________ dуz = _________________ |
Экстремумы функции (локальные) |
Точка х0 – точка максимума функции, если х: х≠ х0 из -окрестности х0 __________________ Точка х0 – точка минимума функции, если х: х≠ х0 из -окрестности х0 __________________ | Точка (х0, у0) – точка максимума функции, если (х,у): х≠ х0, у≠ у0 из -окрестности (х0, у0) _____________________________________________ Точка (х0, у0) – точка минимума функции, если (х,у): х≠ х0, у≠ у0 из -окрестности (х0, у0) _____________________________________________ |
Необходимое условие экстремума |
Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум в точке х0, то ______________________ ____________________________________________ | Если в точке М0(х0, у0) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ______________________ _______________________________________________ |
Достаточное условие экстремума |
Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х0 и при переходе через нее производная________________________________ ___________________________________________, то х0 - точка максимума; _____________________, то х0 - точка минимума. | Пусть в стационарной точке (х0, у0) и некоторой ее окрестности функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные второго порядка и А=В=, С=, = ______________. Тогда: 1) если 0, то в точке (х0, у0) _______________ _______________________________________________ 2) если 0, у0)______________________ 3) если =0, то в точке (х0, у0)______________________ |