Замечательные кривые

Замечательные кривые: парабола, эллипс, гипербола

Работу выполнила

ученица 9 класса «Г»

МОУ гимназии имени А. Л. Кекина

Андреева Елена

учитель: Иванченко И. А.

Обоснование выбора темы реферата

Я выбрала именно эту тему для создания реферата, потому что не хочется ограничиваться объемом информации из школьного курса по интересным для меня темам, кривые второго порядка одна из них. Интересно узнать различные свойства параболы, эллипса и гиперболы и многое другое о них.

Цель реферата

Целью проекта является закрепление и углубление знаний по изучению свойств кривых второго порядка.

Задачи

• Вывести определение и уравнение параболы.
• Выяснить, что такое касательная к параболе и в чем заключается оптическое свойство параболы.
• Узнать, как строится парабола.
• Вспомнить определение и вывести каноническое уравнение эллипса и гиперболы.
• Выяснить, что такое директриса эллипса и гиперболы и их оптическое свойство.
• Узнать, как строится эллипс и гипербола.

История кривых второго порядка

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона.

Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность.

Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола.

Кривые второго порядка

1) парабола

2) эллипс

3) гипербола

Что такое парабола?

Найдем множество всех точек, для каждой из которых расстояние до данной прямой равно расстоянию до данной точки, не лежащей на данной прямой.

Для любой точки М( x ; y ) расстояние MM ' до прямой d равно | y + |,

а расстояние MF равно

Если точка M ( x ; y ) принадлежит искомому множеству, то MM ' = MF , т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

| y + |=

| y + |=

Y=

Точка F называется фокусом, а прямая d – директрисой этой параболы. 

Для любой параболы существуют прямая(директриса параболы) и точка(фокус параболы), такие, что расстояние от любой точки параболы до директрисы равно расстоянию от этой точки до фокуса.

Директрисой параболы y = ax 2 является прямая d , заданная

уравнением y = ,

а фокусом – точка F (0; )

Для произвольной точки М( x ; ax 2 ), лежащей на параболе,

расстояние ММ' до директрисы равно ax 2 + ,

а расстояние MF до фокуса равно .

Преобразуя подкоренное выражение, получаем, что

MF = = ax 2 + . ММ'=М F .

Параболой называется линия, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых расстояние до данной прямой (директрисы параболы) равно расстоянию до данной точки ( фокуса параболы), не лежащей на директрисе.

Касательная к параболе

Уравнение секущей М о М 1 имеет вид

Оптическое свойство параболы

Любой луч света, исходящий из фокуса, после отражения от параболы становится параллельным оси параболы ( оси Оу).

Построение параболы

Парабола в современном мире

Параболу мы можем увидеть:

в природе в струе фонтана в архитектуре

Параболическая антенна

Что такое эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех таких точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F 2 имеет одно и то же значение, большее чем F 1 F 2 .

Точки F 1 и F 2 фокусы эллипса.

2с - расстояние между фокусами

2а – постоянная величина, равная сумме расстояний от произвольной точки эллипса до его фокусов

2с

F 1 ( - с ; 0) F 2 (с ; 0)

Расстояние от точки М( x ; y ) до фокусов F 1 и F 2 выражаются формулами

М F 1 = ,

MF 2 = .

MF 1 + MF 2 = 2а, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

+ =2а

Это и есть уравнение эллипса .

Каноническое уравнение эллипса

,

где b =

Что такое гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех таких точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояния до двух данных точек F 1 и F 2 имеет одно и то же значение, меньше чем F 1 F 2.

F 1 и F 2 - фокусы гиперболы.

2с - расстояние между фокусами

2а - постоянная величина, равная модулю разности расстояний от произвольной точки гиперболы до ее фокусов

2а

Расстояние от М( x ; y ) до фокусов F 1 и F 2 выражаются формулами

М F 1 = , MF 2 =

| MF 1 – MF 2 | = 2а, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

| - | = 2a

Получим уравнение

Это каноническое уравнение гиперболы.

0, а в случае гиперболы a 2 – c 2 Умножим это уравнение на a 2 – c 2 и запишем полученное уравнение в виде Вычитая из обеих частей равенства 2хс, приходим к уравнению " width="640"

Директриса эллипса и гиперболы

В случае эллипса a 2 – c 2 0, а в случае гиперболы a 2 – c 2

Умножим это уравнение на a 2 – c 2 и запишем полученное уравнение в виде

Вычитая из обеих частей равенства 2хс, приходим к уравнению

Отсюда следует, что Числитель в левой части равенства (3) - расстояние от точки М( x ; y ) до фокуса F 2 (с ; о)

Знаменатель – расстояние от точки М( x ; y ) до прямой d 2 = .

Если выполнив необходимые преобразования и положить х =

Эллипс (и также гипербола) представляет собой множество всех точек, для каждой из которых отношение расстояния до данной точки F 2 к расстоянию до данной прямой d 2 равно одному и тому же положительному числу, которое меньше единицы в случае эллипса ( 1).

Если к обеим частям уравнения (2) прибавить 2 xc ,получится

= ,

Числитель левой части - расстояние от точки М (х; у) до фокуса F 1 ( - c ; o )

Знаменатель - расстояние от точки М (х; у) до прямой d 1 x =

Каждому фокусу эллипса ( и также гиперболы) соответствует такая прямая, что отношение расстояния от любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей прямой имеет одно и то же значение.

Прямые d 1 и d 2 называются директрисами эллипса(гиперболы).

Оптическое свойство эллипса и гиперболы

В фокусе F 1 ,помещен источник света. Тогда, любой луч света, вышедший из фокуса F 1 ,отразившись в какой-то точке М от эллипса, проходит через фокус F 2.

Возьмем на плоскости две точки F 1 и F 2 и рассмотрим всевозможные эллипсы и гиперболы, для которых эти точки являются фокусами. Каждая из этих гипербол пересекается с каждым эллипсом под прямым углом, т. е. угол между касательными к гиперболе и к эллипсу, проведенными через точку пересечения гиперболы и эллипса, равен 90 ۫۫۫۫۫۫۫۫۫۫۫۫ .

Построение эллипса

Эллипс в современном мире

Эллипс можно увидеть:

в природе в архитектуре в обыденной жизни

Построение гиперболы

Гипербола в современном мире

Гиперболу можно увидеть:

в природе в самолетостроении в средстве связи

Задача 1

Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее находится в начале координат а расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины, а осью симметрии служит ось Ox .

Решение.

y 2 = 2 px и y 2 = -2 px .

Параметр параболы p есть расстояние от директрисы параболы до фокуса. Расстояние от фокуса до вершины равно половине параметра. Значит, у нас . Подставляя это значение p в каждое из только что написанных уравнений, получим

y 2 = 16 x и y 2 = -16 x .

Эскизы парабол указаны на рисунках

Задача 2

Парабола симметрична относительно оси Ox , проходит через точку A (4, -1), а вершина ее лежит в начале координат. Составить ее уравнение.

Решение.

Так как парабола проходит через точку A (4, -1) с положительной абсциссой, а ее осью служит ось Ox , то уравнение параболы следует искать в виде y 2 = 2 px . Подставляя в это уравнение координаты точки A , будем иметь

искомым уравнением будет

Эскиз этой параболы показан на рисунке

Задача 3

Составить простейшее уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 20, а расстояние между фокусами 30.

Решение

Вершины параболы лежат на ее действительной оси. По условию 2 a = 20; 2 c = 30. Значит, a = 10; c = 15; a 2 = 100; c 2 = 225.

Величины a , b , c у гиперболы связаны соотношением

a 2 + b 2 = c 2 ;

отсюда b 2 = c 2 - a 2 = 225 - 100; b 2 = 125.

Значит, уравнением гиперболы будет

Задача 4

Найти уравнение асимптот гиперболы 2 x 2 - 3 y 2 = 6.

Решение

У гиперболы две асимптоты, определяемые уравнениями

(1)

Следует найти a и b .

Приведем уравнение гиперболы к простейшему виду, разделив обе его части на 6. Получим

Отсюда заключаем, что . Подставляя эти значения a и b в уравнения асимптот (1) получаем

и .

Задача 5

Сумма полуосей эллипса a + b = 12, а расстояние между его фокусам Составить простейшее уравнение эллипса.

Решение

a + b = 12, .

Для определения уравнения эллипса надо знать a и b . Нам известно, что ; c 2 = 18; a 2 - b 2 = c 2 .

Поэтому ( a + b )( a - b ) = 18. Подставляя сюда a + b = 12, найдем, что a - b = 1,5.

Решая систему уравнений

получим, что a = 6,75, b = 5,25. Уравнение эллипса запишется в виде

Задача 6

Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что: а) его полуоси a = 6, b = 4; б) расстояние между фокусами 2 c = 10, а большая полуось 2 a = 16;

Решение

а) Простейшее уравнение эллипса имеет вид . Подставляя сюда a = 6, b = 4, получим

б ) Имеем 2 c = 10; c = 5; 2 a = 16; a = 8.

Чтобы написать уравнение эллипса, следует найти малую полуось b . Между величинами a , b и c у эллипса существует зависимость a 2 - b 2 = c 2 , или b 2 = a 2 - c 2 . В нашем случае b 2 = 64 - 25 = 39, и уравнение эллипса будет иметь вид

Литература

1. Планирование к учебнику «Геометрия», 7-9 классы, Шарыгин И.Ф.

2. Замечательные кривые (2-е изд.) Маркушевич А. И. Государственное издательство технико-теоретической литературы 1952

3. Математика. Справочное пособие. Для школьников старших классов и поступающих в вузы. Рывкин А.А., Рывкин А.З.

4. "Наглядная геометрия. 5-6 классы: пособие для общеобразовательных учреждений" Шарыгин, Ерганжиева

5. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» автор статьи И. Бронштейн.

6. «Занимательное черчение» автор В. Зорин

7. Дополнительные главы к школьному учебнику по геометрии автор Л. Атанасян

8. Источник из интернета :

http://www.etudes.ru/ru/mov/mov012/

http://www.kvant.info/panov/focus/3.html

http://images.yandex.ru/yandsearch?text=%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B0&stype=image

http://www.pm298.ru/reshenie/fkuyt.php

http://edu.gorod-artem.ru/content/view/867/9/