Замечательные точки и линии треугольника

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА

В данной работе рассматриваются свойства замечательных точек и линий треугольника, изучаемые как в курсе школьной геометрии, так и в курсе элементарной геометрии в ВУЗе.

Ключевые слова: треугольник, замечательные точки, замечательные линии.

Всем известно, что изучение геометрии начинается с треугольника. В какой-то степени он является основой геометрической науки. Школьная геометрия становится содержательной и интересной, становится собственно геометрией только с появлением треугольника. Треугольник неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства, зачастую связанные с его замечательными точками и линиями. Замечательные точки и линии треугольника – это тема, которая является неотъемлемой частью геометрии на плоскости и одной из составных частей геометрии треугольника. Многие геометрические задачи сводятся к применению именно свойств замечательных точек и линий треугольника, такие задачи встречаются и при решении задач ЕГЭ, особенно, на применение свойств точек пересечения медиан и биссектрис. Поэтому будущему учителю для успешной педагогической деятельности важно и нужно знать теоретические основы темы «Замечательные точки и линии треугольника», а так же уметь применять эти знания на практике.

Выясним для начала смысл выражения «замечательные точки треугольника». Всем известно, что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Так же в одной точке пересекаются медианы, высоты треугольника (или их продолжения) и серединные перпендикуляры к его сторонам. Все точки, получающиеся в результате пересечения перечисленных наборов из трёх прямых, и будут замечательными точками треугольника. Замечательно в них, прежде всего то, что три различные прямые на плоскости, как правило, пересекаются в трёх различных точках, а не в одной.

В курсе школьной геометрии учащиеся изучают четыре замечательные точки треугольника. К ним относятся точка пересечения медиан (центроид), точка пересечения высот (ортоцентр), центр вписанной окружности и центр описанной окружности. Так же на уроках геометрии рассматриваются их свойства и различные способы доказательства этих свойств.

Отметим некоторые свойства центра вписанной окружности, не изучаемые в рамках школьного курса геометрии.

1. Если продолжение биссектрисы угла С пересекает описанную окружность АВС в точке М, то МА = МВ = МО (рис. 1).

Рис. 1

Докажем, например, что в АМО равны углы при вершинах А и О. В самом деле, ОАМ = ОАВ + ВАМ и ОАМ = ОАС + АСО, ОАВ = ОАС и ВАМ = ВСМ = АСО. Следовательно, АМ = МО. Аналогично ВМ = МО.

1. Если АВ – основание равнобедренного треугольника АВС, то окружность, касающаяся сторон АСВ в точках А и В, проходит через точку О (рис. 2).

Рис. 2

Пусть О' – середина (меньшей) дуги АВ рассматриваемой окружности. По свойству угла между касательной и хордой САО' = О'ВА = О'АВ, т. е. точка О' лежит на биссектрисе А. Аналогично можно показать, что она лежит и на биссектрисе В, т. е. О' = О.

1. Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне АВ, пересекает стороны ВС и СА в точках А₁ и В₁, то А₁В₁ = А₁В + АВ₁ (рис. 3)

Рис. 3

Докажем, что АВ₁О равнобедренный. В самом деле, В₁ОА = ОАВ = В₁АО. Поэтому АВ₁ = В₁О. Аналогично А₁В = А₁О, а значит, А₁В₁ = А₁О + ОВ₁ = А₁В + АВ₁. [3]

Помимо вышеперечисленных, существуют и другие замечательные точки треугольника, не изучаемые в школьном курсе геометрии. К ним относят точку Жергонна, точку Нагеля, точку Торичелли, точки Брокара, точку Лемуана, центр Шпикера.

Существует универсальный способ проверки пересечения трех прямых в одной точке. Метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева (отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах, называют чевианами). Считается, что эта теорема служит фундаментом всей геометрии треугольника.

Теорема Чевы. Пусть на сторонах или продолжениях сторон AB, BC и CA треугольника АВС отмечены точки C₁, A₁, B₁. Тогда прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке или попарно параллельны тогда и только тогда, когда [1]

С помощью данной теоремы можно с легкость проверить, что медианы, а так же биссектрисы и высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Докажем, например, что высоты АА₁, ВВ₁, СС₁ остроугольного треугольника АВС пересекаются в одной точке (рис. 4).

Рис. 4

Обозначим углы А, В, С α, β, γ соответственно. Пусть АВ = с, ВС = a, AC = b. Из прямоугольных треугольников АВВ₁, ВВ₁С, АА₁С, АА₁В, СС₁В АВ₁ = с∙cosα, В₁С = a∙cosγ, А₁С = b∙cosγ, A₁B = c∙cosβ, BC₁ = a∙cosβ, АС₁ = b∙cosα. Составляем условие Чевы:

Помимо замечательных точек в геометрии треугольника изучаются замечательные линии. Примером замечательных линий треугольника могут служить прямая Эйлера и прямая Симсона.

Универсальным способом проверки того, что три данные точки лежат на одной прямой является теорема Менелая.

Теорема Менелая. Пусть на сторонах или продолжениях сторон AB, BC и CA треугольника АВС отмечены точки C₁, A₁, B₁, не совпадающие с его вершинами. Тогда точки С₁, А₁, В₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда [4]

С помощью теоремы Менелая решим следующую задачу. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из точки Р описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

Рис. 5

Из подобия треугольников АВ₁Р и А₁ВР: .

Из подобия треугольников СА₁Р и С₁АР: .

Из подобия треугольников ВС₁Р и В₁СР: .

Перемножив левые и правые части равенств получим: . Следовательно А₁, В₁, С₁ лежат на одной прямой.

Отметим, что рассмотренные теорема Менелая и теорема Чевы, допускают единую обобщенную формулировку.

Дан треугольник АВС. На прямых AB, BC и CA отмечены точки С₁, А₁, В₁, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 – k – на продолжениях сторон. Пусть Тогда

1. Если k – четно и R = 1 (теорема Менелая), то точки А₁, В₁, С₁ лежат на одной прямой;

2. Если k – нечетно и R = 1 (теорема Чевы), то прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке или попарно параллельны. [4]

Мы рассмотрели некоторые свойства замечательных точек и линий треугольника, изучаемые как в школьном курсе геометрии так и выходящие за его рамки. Отметим, что теоретические основы этой темы позволят учителю преподавать школьную геометрию как на базовом так и на профильном уровне.

Список источников

1. Александров, А.Г. Геометрия для 8 – 9 классов. – М.: Просвещение, 1991. – 415 с.

2. Атанасян, Л.С., Бутузов, В.Ф., Кадомцев, С.Б. и др. Геометрия 7 – 9 классы. – М.: Просвещение, 2012. – 384 с.

3. Никольская, И.Л. Факультативный курс по математике. – М.: Просвещение, 1991. – 383 с.

4. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии. – М.: Наука, 1991. – 320 с.