Занятие математического кружка 4 класс

Задача 5. В одной бочке находится 50 л жидкого дегтя, в другой — 50 л жидкого меда. Ложку дегтя переливают в бочку меда, а потом ложку полученной смеси переливают в бочку дегтя. Чего стало больше: меда в дегте или дегтя в меде?

Это задача на тему поговорки «Ложкой дегтя можно испортить бочку меда». Но интересна она не этим, а тем, что даже взрослые люди часто дают на нее неверный ответ: дегтя в меде больше, так как дегтя перелили целую ложку, а меда перелили не целую ложку (ложку, в которой был также и деготь). После того, как будут выслушаны разные ответы, нужно дать такое решение задачи.

В результате переливаний в бочке с дегтем оказалось х мл меда. Так как всего в ней 50 ООО мл, то дегтя в ней (50 000 — х) мл. Во второй бочке осталось поэтому (50 000 — х) мл меда. Значит, дегтя в ней тоже х мл.

Надо сопроводить решение таким рисунком:

Довод в пользу неверного ответа, который казался таким убедительным, теперь легко опровергнуть: во время второго переливания часть дегтя вернули обратно.

Ответ: Поровну.

партнеру, а если неодинаково, — начать игру, уравнивая число камней в кучах.

Задача 7. Шифром Юлия Цезаря по правилу «прибавь четыре» зашифруй фразу «век живи — век учись».

Как мы писали в аналогичной книге для третьеклассников, шифр Юлия Цезаря состоит в следующем. Алфавит пишется по кругу (за буквой я следует буква а), и каждая буква шифруемой фразы заменяется другой, следующей за ней (или перед ней) на определенное число букв. Шифр «прибавь четыре» означает, что каждую букву фразы «век живи — век учись» нужно заменять четвертой от нее буквой:

Ответ: Ёио кмём — ёио чымха.

Задача 11. У Кати вдвое больше пятерок, чем у Вовы, а у него на 6 пятерок меньше, чем у Кати. Сколько пятерок у Вовы?

Эту задачу можно решить арифметически, а можно с помощью уравнения. Если в классе есть дети, которые могут сразу решить эту задачу, нужно попросить их 

придумать, как объяснить решение остальным. Это относится и к арифметическому, и к алгебраическому решению.

Арифметическое решение подсказывается рисунком:

Может показаться, что если задача решается так просто, то это значит, что не нужно ее решать другим способом. Однако, именно на легких задачах можно научиться новому методу решения. Данная задача очень для этого удобна. Мы вызываем к доске ученика и просим начать записывать уравнение. Что можно записать? Конечно, знак равенства:

=

Этим самым начат поиск следующих шагов: что чему равно в данной задаче? Может быть, что-то равно 6? Дописываем:

= 6.

Многие догадаются, что шести равна разность числа Катиных и числа Вовиных пятерок. И мы так и запишем:

(число Катиных пятерок) — (число Вовиных пятерок) = 6.

Получилось уравнение. Но в нем слишком много неизвестных — два. Хорошо бы выразить их через одно неизвестное х. Кстати, вспоминаем, что спрашивается в задаче. И приходим к мысли обозначить через х именно эту величину — число Вовиных пятерок. Тогда:

(число Катиных пятерок) — х = 6.

Теперь уже многие догадаются, что число Катиных пятерок равно 2 х, и уравнение примет вид:

2х — х = 6.

Ответ: 6.

Задача 14. У Саши втрое больше марок с портретами русских писателей, чем у Пети, а у Пети на 4 таких марки меньше, чем у Саши. Сколько таких марок у Пети?

Арифметическое решение подсказывается рисунком:

Сразу видно, что у Саши 6 таких марок, а у Пети их 2.

Алгебраическое решение начинаем с записи знака равенства:

=

Но что чему равно в данной задаче? Может быть, что-то равно 4? Дописываем:

= 4.

Многие догадаются, что четырем равна разность числа Сашиных и числа Петиных марок:

(число Сашиных марок) — (число Петиных марок) = 4.

Получилось уравнение с двумя неизвестными. Выразим эти неизвестные через один и тот же х. Обозначим через х ту величину, о которой спрашивается в задаче: х — число Петиных марок. Получается, что

(число Сашиных марок) — х = 4.

Теперь уже многие догадаются, что число Сашиных марок равно Зх, и уравнение примет вид:

3х — х = 6.

Ответ: 3.

Задача 21. В левом нижнем углу шахматной доски (на поле a1) стоит ладья. Два игрока по очереди ходят ею на любое число полей вправо или вверх. Побеждает тот, кто попадет ладьей в правый верхний угол доски (на поле h8). Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?

Суть игры в том, чтобы ходить ладьей на диагональ a1-h8. Если один игрок сделает это, то другой обязательно уйдет с этой диагонали. И рано или поздно игрок, ставящий ладью на эту диагональ, поставит ее на поле h8, то есть выиграет.

Ответ: Нужно предоставить первый ход партнеру и каждым своим ходом возвращать ладью на диагональ a1-h8.

Задача 24. Разгадай ребус:

Ответ: 234785 · 3215 — 754833775.

Задача 34. Комиссия из трех человек работает над документами, хранящимися в сейфе. Сколько нужно установить на сейфе разных замков и как распределить ключи от них, чтобы никакой член этой комиссии не мог один открыть сейф, но любые два члена комиссии могли это сделать?

Нужно добиться, чтобы ни один человек не мог сам открыть сейф, но любой подошедший к нему второй человек мог бы помочь ему это сделать. Для этого требуется, чтобы каждый не мог открыть одного замка, который открывает каждый из двух его товарищей. Не дадим первому ключа от одного замка, второму — ключа от другого замка, третьему — ключа еще от одного замка. Тогда хватит трех замков. (Полезно устроить инсценировку с ключами, нарисовав сейф и замки на доске).

Ответ: 3 замка, причем

1-й человек не имеет ключа от замка № 1, но имеет ключи от замков № 2 и № 3,

2-й человек не имеет ключа от замка № 2, но имеет ключи от замков № 1 и № 3,

3-й человек не имеет ключа от замка № 3, но имеет ключи от замков № 1 и № 2.

35 В левом нижнем углу шахматной доски 8x8 стоит король. Два игрока по очереди ходят им на одно поле вправо, вверх или вправо-вверх по диагонали. 

Суть игры в том, чтобы ходить королем на выгодные поля и не ходить на невыгодные. Изучим с этой точки зрения шахматную доску.

Поле h8 — выгодное. Значит, поля g8, g7, h7 — невыгодные (если вы попадете своим ходом на одно из них, противник немедленно пойдет на h8. Значит, поля f8 и h6 — выгодные (если вы попадете своим ходом на одно из них, противник с них попадет только на невыгодное поле). Рассуждая таким образом, можно последовательно разметить всю доску, ставя плюс в выгодные поля и минус в невыгодные.

Ответ: Нужно начинать первым, ходить первым ходом на b2, а затем ходить на поля, отмеченные плюсами (это черные поля, стоящие в четных горизонталях и четных вертикалях шахматной доски). Отметим, что очень желательно организовать эту игру. Шахматы для этого иметь необязательно, а вот доску, разлинованную в клетку, иметь полезно. На такой доске мгновенно рисуется шахматная доска и отмечаются точками положения короля после каждого хода.

Задача 36. Известно, что а — b = 9. Чему равно (а + 7) — b?

Надо попросить детей придумать сюжет задачи на эту тему.

Ответ: 16.

Задача 38. Трое соревновались, кто из них самый сообразительный. Они обратились за решением спора к мудрецу. Тот показал им пять колпаков: три белых и два черных. Он завязал им глаза и надел на каждого по белому колпаку, а черные колпаки спрятал. Затем он развязал им глаза и сказал: «Кто из вас первым догадается, какого цвета на нем колпак, тот самый сообразительный.» Как 

можно об этом догадаться, видя белые колпаки на других, но не видя своего колпака?

Можно рассуждать так. Я вижу два белых колпака. На мне может быть белый или черный. Если бы на мне был черный колпак, то второй человек видел бы один белый колпак и один черный. Он думал бы, что если на нем черный колпак, то третий должен сразу сказать, что на нем белый: ведь черных колпаков всего два. Но третий не говорит, что на нем белый колпак, значит, — думал бы второй, — на мне белый. Но поскольку второй молчит, то он не видит на мне черного колпака. Значит, на мне белый.

Ответ: Потому, что другие молчат.

Задача 43. В понедельник журналист получил гонорар за статью. Во вторник он истратил половину этого гонорара, а в среду получил еще 2000 руб. за другую статью, после чего у него осталось еще 4000 руб. Каков был гонорар за первую статью?

Остановимся здесь на алгебраическом решении. Будем создавать уравнение по этапам:

=

= 4000;

(первый гонорар) — (половина первого гонорара) + (второй гонорар) = 4000;

(первый гонорар) — (половина первого гонорара) + 2000 = 4000;

х — половина первого гонорара;

2х — первый гонорар;

2х — х + 2000 = 4000.

Ответ: 4000 рублей.

Сразу видно, что последняя цифра третьей строки — 4 и что средняя цифра второй строки — 0:

Первый множитель оканчивается либо цифрой 1, либо цифрой 6, так как умножение ее на 4 дает 4 на конце. Но умножение первого множителя на 5 дает число с нулем на конце. Поэтому первый множитель оканчивается на 6.

Ответ: 236 – 504 = 118944.