Жозеф Луи Лагранж

Жозеф Луи Лагранж

«Лагранж – величественная пирамида математических наук»

Наполеон Бонапарт

Ж. Лагранж (27.01.1736 – 10.04.1813 гг.)

• Французский математик и механик итальянского происхождения.
• Наряду с Эйлером — лучший математик XVIII века.
• Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала.

Математические достижения

• 1759 г. – «О распространении звука»;
• 1767 г. – «О решении числовых уравнений»;
• 1787 г. – «Аналитическая механика» (Mecanique analytique);
• 1797 г. – «Теория аналитических функций» (Théorie des fonctions analytiques);
• 1798 г. – «Трактат о решении численных уравнений всех степеней» (De la résolution des équations numériques);
• 1801-1806 гг. – «Лекции по исчислению функций».

Математический анализ

• формула остаточного члена ряда Тейлора;
• формула конечных приращений;
• интерполяционная формула;
• введение способа множителей для решения задачи отыскания условных экстремумов;
• теория особых решений дифференциальных уравнений;
• метод вариации произвольных постоянных при решении дифференциальных уравнений;
• указал две основные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы (уравнения Лагранжа 1-го рода);
• вывел уравнения в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа 2-го рода). 

Алгебра

• построил теорию уравнений, обобщением которой является теория Галуа;
• нашел способ приближенного вычисления корней алгебраического уравнения с помощью непрерывных дробей;
• метод отделения корней алгебраических уравнений;
• метод исключения переменных из системы уравнений (составление результанта);
• разложение корней уравнений в ряд Лагранжа. 

Метод множителей Лагранжа

Построение функции Лагранжа

Метод множителей Лагранжа - это метод решения задач на условный экстремум; метод заключается в сведении этих задач к задачам на безусловный экстремум вспомогательной функции — так называемой функции Лагранжа.

Для задачи об экстремуме функции

функция Лагранжа имеет вид

где

множители Лагранжа

Необходимое условие минимума

Если x*-точка локального минимума в поставленной задаче, то существуют множители Лагранжа , не равные одновременно нулю, т.е.

, и такие, что выполнены условия:

А) Стационарности

или

Б) Дополняющей нежесткости

в) Неотрицательности (согласования знаков)

г) Допустимости

Пример

Решить экстремальную задачу

Решение

Составим функцию Лагранжа:

Необходимые условия

Запишем необходимые условия минимума

а). Стационарности

б). Дополняющей нежесткости

в). Неотрицательности или согласования знаков

г). допустимости

Нерегулярный и регулярный случаи

1. Нерегулярный случай: - все множители Лагранжа – нули, что противоречит условию теоремы

2. Регулярный случай

Положим

Из условия б) следует, что или

Случай 2а. Пусть Выразим из условия а) через

Подставим их в уравнения

Получим

Отсюда следует что противоречит условию в).

Случай 2б. Пусть . Из а) следует, что а из уравнения получаем, что - критическая точка .

Условие допустимости выполняется.

Итак для точки x*=(1,1,1) выполнены необходимые условия оптимальности;

Оптимальный выбор множителей Лагранжа равен

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Многочлен Лагранжа

Будем искать многочлен в виде линейной комбинации множеств степени  : 

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен      во всех узлах интерполяции, за исключением одного  , где он равен 1. Легко проверить, что этим условиям отвечает многочлен вида

Действительно,  . При    числитель выражения равен 0. По аналогии получим:

,

Подставив эти формулы в исходный многочлен, получим:

Эта формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа  , совпадающий с функцией    в точках 

х

у

-2

0

-4/3

0

1

2

4/3

2

1

0

Решение.  Составим таблицу

Подставляя эти значения в формулу Лагранжа, получим:

Если функция непрерывно дифференцируема до -го порядка включительно, то остаточный член интерполяционного многочлена в форме Лагранжа имеет вид

где   – внутренняя точка минимального отрезка, содержащего узлы интерполирования и точку  .