Тема урока: Понятие о производной.

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока: Понятие о производной.

Тип урока - урок изучения нового материала.

Пусть дан график  функции у=f(x).

Рассмотрим точку М₀ с абсциссой x_o. Пусть ∆х – это изменение абсциссы от точки x_o до х, т.е. ∆х = х – x_o , M₀М – секущая, M₀N – касательная.

Найдите:

а) угловой коэффициент секущей (это средняя скорость изменения функции);

б) угловой коэффициент касательной (подсказка: касательная – это предельное положение секущей)

Решение: у= f(x) – заданная функция, ∆х = х – x_o – изменение абсциссы от точки x_o до х.

v_ср =   . В нашем случае k_сек =  

При х→х₀ (или ∆х →0) будет f(x)→f(x₀), следовательно, M₀М→ M₀N. 

Тогда k _кас =   .

Рассмотрим движение материальной точки М по прямой с выбранным на ней началом отсчета – точкой О. Расстояние от начала отсчета до точки М в каждый момент времени t обозначим буквой s. Тогда движение точки М будет описываться функцией

s = s (t), t[ t₀ ; t].

Найдите:

а) среднюю скорость за отрезок [t₀ ; t];

б) скорость точки в момент времени t₀ (мгновенную скорость).

Решение: За промежуток времени длительности t – t₀ между моментами времени t₀ и t точка проходит путь равный s(t) –s(t₀ ).

Среднюю скорость получают, разделив перемещение материальной точки s на изменение времени, в течение которого оно совершено.

Тогда v_ср =  ;

Чем меньше рассматриваемый промежуток времени, тем точнее можно охарактеризовать движение. А мгновенной скоростью называется число к которому стремится разностное отношение средней скорости за промежуток времени от t₀ до t при t→ t_0. 

Тогда v_мгн =   ,

Бактерии размножаются быстро и просто – они делятся пополам и при благоприятных условиях за сутки из одной бактерии могут образоваться десятки тысяч. Рост клеток бактерий в условиях ограниченности питательных веществ или пространства в течение начального интервала времени от t₀ до t происходит по некоторому закону y = N(t).

Найдите:

а) среднюю скорость изменения количества бактерий за промежуток времени [t₀ ; t];

б) скорость изменения количества точки в момент времени t₀ (мгновенную скорость).

Решение: В физике для нахождения средней скорости делят длину перемещения тела s на время, в течение которого оно совершено,

 т.е. v_ср =  . В нашем случае v_ср =  .

Мгновенной скоростью v(t₀) в момент времени t₀ является число к которому стремится разностное отношение средней скорости за промежуток времени от t₀ до t при t→ t₀.

Тогда  v_мгн =  .

4. Изучение нового материала 

Приращению аргумента соответствует «приращение функции», которое также обозначается с помощью заглавной греческой буквы «∆».

Вопрос: Скажите, а вы знаете, кто впервые стал использовать знак «∆» для обозначения разности аргументов?

- Да. Буква «∆» – одна из заглавных букв греческого алфавита ее стал использовать Эйлер (сер. 18 века).

Исходя из этого полученную формулу можно записать по-другому: или и прочитать так: число, к которому стремится разностное отношение   =    при  .

Поскольку многие задачи в различных областях науки в процессе решения приводят к такой же модели – этому отношению надо: дать название, дать обозначение и изучить его. Это мы с вами сейчас и сделаем.

(Слайд 4)

Определение: Производной функции   в точке   называется число, к которому стремится разностное отношение   =    при  .

но обозначается по-разному:

х),   у′ – эти обозначения для производной ввел Жозеф Луи Лагранж

Это определение вы запишете в тетрадях.

Теперь посмотрите на ваши задачи и сформулируйте план нахождения производной.

(Учащиеся должны ответить):

(Слайд 5)

1. Задать функцию f(x).

Алгоритм нахождения производной  (находим  )):

1) Задать приращение   и вычислить   =   =  .

2) Найти разностное отношение   и сократить на  .

3) Если   при    стремится к какому-то числу, то это число будет   .

Далее группа самостоятельно формулирует и записывает в тетради

Физический смысл производной – это скорость изменения расстояния: s‘(t) = v(t).

(За бесконечно малое время прошел бесконечно малое расстояние. Спидометр машины показывает мгновенную скорость. Скорость в данный момент времени ).

Если производная положительная, то расстояние увеличивается, а если отрицательная, то расстояние уменьшается.

(Слайд 6)

Геометрический смысл: f‘(х_о) – это коэффициент угла наклона касательной к оси Ох

f‘(х_о) = k = tg α.

(Слайд 7)

Т.е. из геометрического смысла получается, что если существует производная в точке х_о, то можно провести что? (обычно ученики говорят: что можно провести касательную в точке х_о и наоборот – если можно провести касательную в точке х_о, то в этой точке существует производная. На ошибку в формулировке пока не обращается внимание, фраза записывается на доске в таком виде и дальше продолжаются обсуждения.

записывается под определением на доске

…Если существует производная в точке х_о, то можно провести касательную в точке х_о. Наоборот — если можно провести (…) касательную в точке х_о, то в этой точке существует производная.

Итак, подведём итог: вы сами дали мне определение производной, но встаёт вопрос: а всегда ли существует производная в точке?

Особое внимание обращается на моменты, когда касательная перпендикулярна оси Ох и параллельна оси Ох.

Всегда ли существует ли производная в точке х_о?

Задается ряд вопросов:

Давайте вернёмся к геометрическому смыслу производной: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке f‘(х_о) = k = tg α.

5. Закрепление нового материала

Самостоятельная работа в группах (15-20 минут)

Вот теперь вы готовы к работе с производной и можете приступить к выполнению задания №2

Биологи

Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции y = C.

Решение

y = C – постоянная линейная функция.

∆у = f(x +∆х) – f(x)= С – С = 0; 

то у′ =  0.

Итак, ( С ) ′= 0.

Физики

Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции y = kx + b.

Решение

y = kx + b – линейная функция.

Аргументу х дадим приращение ∆х, тогда

∆у = f(x + ∆х) – f(x)=

= k (x +∆х)+ b – (kx + b) = k∙x + k∆∙х – kx – b = k∆∙х

= k = k.

Итак, (kx + b)′ = k.

Математики

Лист №2: Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции y = х².

Решение

y = х² .

Аргументу х дадим приращение ∆х, тогда

∆у = f(x + ∆х) – f(x)=

= (x +∆х)² – х² =

= х²+ 2∙х∙∆х + (∆х)² – х² = 2∙х∙∆х + (∆х)² = ∆х∙(2х +∆х)

= 2х = 2х.

Итак, (х² )′ = 2х.

6 этап. Закрепление нового понятия

1) Откройте учебники на стр. 106, № 189(а,б)

2) Возьмите лист № 3. Задания из ЕГЭ

Лист № 3.

1. Задание 7 (№ 9649)

На рисунке изображены график функции y = f(x) и

касательная к нему в точке с абсциссой  x₀ . Найдите

значение производной функции f = (x) в точке  x₀ .

2. Задание B7 (№ 6399)

На рисунке изображен график функции  , определенной на интервале  . Определите количество целых точек, в которых производная функции   положительна.

7 этап. Итог урока

8 этап. Домашнее задание

№188 (б)

Постройте график функции f и проведите к нем касательную, проходящую через точки с абсциссой x₀. Пользуясь рисунком, определите знак углового коэффициента этой касательной.

б) 

№189 (в, г)

Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции через точки с абсциссой   (если касательная существует).