ЖРТ боюнча 3-сабак

3 – сабак

2 – Үй тапшырманын чыгарылыштары

1 – 5 а + = - 2, а - = - 6, a, b R. деген шарт берилиптир, мындан a жана b нын сан маанилерин аныктап алалы. Ал үчүн төмөндөгү эки белгисиздүү теңдемелер системасын мүчөлөп кошуу жолу менен чыгаралы.

+, ( - )

1) 2a + 0 = - 8 мындан а = - 4

2) 0 + мындан b = = 0,5 келип чыгат.

Демек a b жана болот.

Эми калонкаларды салыштыра берсек болот.

a

b

1. Б Мында шарт боюнча Б калонкасы чоң болот.

( a b)^-1

1. В aⁿ bⁿ =(a b)ⁿ формуласынын негизинде бул эки тилке барабар В болот.

2. b – (- a )

   -a+b

   Б а терс сан b оң сан болгондуктан b – ( - a )

т

( a + b)^-2

a^-2+b^-2- 2ab

ерс сан болот, ал эми – a + b оң сан болот. Демек Б тилкеси чоң болот.

1. Б Мында тамгалардын сандык маанилерин жана a^-n = формуласын колдонолу:

1. (- 4 + )^{- 2} = ( - )^{- 2} = ( )² = ;

2. ( -4)^{- 2} + ( )^{- 2} – 2 ( -4) = + 4 + 4 = 8 Демек Б тилкеси чоң болот.

2 ( )

1. А Бул тилкелерге сандык маанилерин

койсок, анда:

1. + = -8 - = -8 2) 2 = - 2 8 = - 16. Демек А тилкеси чоң.

6 – 8 = = ( x, y, z Z⁺ ) шарты берилген . Бул шарттан x, y, z оң бүтүн сандарынын чоң, кичинесин аныктоо керек. = = теңдемесинен жок эле дегенде x = 3; y = 4; z = 5 болот же бул сандарга эселүү сандар болору белгилүү. Демек x y z экендиги келип чыгат.

2х

z

1. А Мында А калонкасы чоң болот, себеби 2х = 6,

ал эми z = 5.

1. X² + Y²

   X² + Z²

Б болгондуктан y² жана z² тарды салыштыруу жетиштүү, демек шарт боюнча Б калонкасы чоң болот.

0,2 z

X

xy

2,5z

y/z

x/y

1. , ,

9 – 11 а = 0, =0,(3) ; b = 0, =0,(6) мезгилдүү бөлчөктөрүндө а b экендиги белгилүү, бирок бул сандар менен түздөн түз амалдарды аткаруу мүмкүн эмес, ошондуктан кадимки бөлчөккө айлантып амал аткаруу керек.

а = 0, = = ; b = 0, = = түрүнө айланат. о.э. b = 2а экендиги к.ч.

Мында а,bс( еdк ) = мезгилдүү бөлчөктү кадимки бөлчөккө айлантуу формуласын пайдаландык.

1. А Алымдары бирдей болгон бөлчөктөрдүн кимисинин бөлүмү кичине болсо, ошонусу чоң болот, деген эрежени пайдалансак: 0; 0 болгондуктан А калонкасы чоң болот. ( Мында b = 2а шартын эске алдык ).

+

a+b

1. А Биз b = 2а экендигин эске алсак,

1 – тилкеде + = + = 0,1a + 20 a = 20,1a болот, ал эми

2 – тилкеде a +b = 3а болуп, А тилкеси чоң болот.

a² + b²

² + ²

1. Б Биз b = 2а жана а = экендигин эске алсак, 1–тилкеде a² + b² = 5а² = ; 2–тилкеде

² + ² = = = = = болуп,

Б тилкеси чоң болот.

1. 

   

   Б 2 – калонкадагы сумманын негизин 3 негизге келтирсек,

анда: = ( 3²)⁵⁰ + ( 3³)³⁴ = 3¹⁰⁰ + 3¹⁰² болот.

Бул калонкалардагы 1 – кошулуучулар барабар болгондуктан экинчи кошулуучуларды салыштыруу жетиштүү. Демек Б калонкасы чоң болот.

0,0001:2

0,5 10 ^{– 3}

1. Б 1 – калонкадан ондук бөлчөктү кадимки бөлчөккө айлантуу эрежесин билсек анда:

0,0001: 2 = : 2 = 10 ^{– 4} = 0,5 10 ^{– 4} келип чыгат. Б тилкеси чоң.

1. + + +

   

0,01 2

0,5 10 ^{– 3}

16 – 18 x = (-1) ^{– 1}, y = (-2) ^{– 1}, z = (-2) ^{– 3}. Мында = формуласын пайдалансак, x = 1, y = , z = экендиги алынат.

Демек x y z шарты келип чыгат.

1 – x

1 + x

1. А Мында А калонкасы чоң , себеби:

1 – x = 1 – ( -1 ) = 2, 1 + x = 1 + ( -1 ) = 0 экендиги белгилүү.

y – x

x – y

1. А х – у терс сан болот.

y – z

z – y

1. Б y – z терс сан болот

2³ 4² 8⁴

2⁹ 5⁹ 10⁹

1. Б 1 – калонкадагы даражаны

2 негизге, ал эми 2 – калонкадагы даражаны 2 жана 5 негизге алып келсек болот.

2³ 4² 8⁴ = 2³ ( 2²) ² ( 2³)⁴ = = 2³ 2⁴ 2¹² = 2^{3 + 4 + 12} = 2 2¹⁸,

2⁹ 5⁹ 10⁹ = 2⁹ 5⁹ ( 2 )⁹ = 2⁹ 5⁹ 2⁹ 5⁹ = 2¹⁸ 5¹⁸ к.ч. Б калонкасы чоң.

4 ^{– 1}

1. В

Статистика

Сандардын тизмеги ар түрдүү статистикалык мүнөздөмөлөр менен баяндалышы мүмкүн. Эң эле көп кездешүүчү мүнөздөмөлөрдүн бири - бул арифметикалык орто сан.

п сандагы сандардын арифметикалык орто саны деп, ал сандардын суммасын алардын саны п ге бөлгөндөгү катышы аталат.

Маселен, 2, 1, 4, 5 жана 3 сандарынын арифметикалык орто саны = 3 кө барабар.

п сандын медианасын эсептөө үчүн адегенде сандарды эң кичинесинен баштап эң чоңун карай өсүү тартибинде жайгаштыруу керек.

Эгерде п так сан болсо, анда бул сандар катарынын ортосунда турган сан медиана болот.

Жогоруда келтирилген мисалда эң кичинесинен баштап эң чоңун карай жазылган сандар тизмеги төмөнкүдөй көрүнөт:

1, 2, 3, 4, 5 жана бул сандар катарынын медианасы 3 кө барабар.

Эгерде п сандагы сандардын саны жуп сан болсо, анда катардын медианасы ортодогу эки сандын арифметикалык орто санына барабар.

Маселен, 1,2,3 жана 4 сандарынын медианасы = 2,5 ке барабар.

Сандардын чачылыңкылыгынын чоңдугу ар түрдүү ыкмалар менен эсептелиши мүмкүн. Берилгендердин чачылыңкылыгын эсептөөнүн эң эле жөнөкөй ыкмаларынын бири болуп арыш саналат.

Арыш берилген сандар тизмегиндеги эң чоң жана эң кичине сандардын арасындагы айырма катары аныкталат.

Маселен, 1, 2, 5, 6 сандарынын арышы 6 - 1 = 5 ке барабар.

Арыш берилген сандар тизмегиндеги эки санга гана көз каранды болоруна көңүл бургула. Берилгендердин четке чыгуусунун эң көп кездешүүчү мүнөздөмөлөрүнүн бири стандарттуу четке чыгуу деп аталат. Берилгендердин арифметикалык орто санынан четке чыгуусу канчалык чоң болсо, стандарттык четке чыгуунун мааниси ошончолук чоң болот.

Стандарттык четке чыгуу берилгендердин маанилеринин баарына жана ошол эле мезгилде ал арифметикалык орто сандан эң алыстаган маанилерге да көз каранды болоруна көңүл бургула.

Ушул себептүү арифметикалык орто санга чоңдугу боюнча эң жакын болгон берилгендердин стандарттык четке чыгуусу маанилери арифме-тикалык орто санга жакын жайгашпаган берилгендердин стандарттык чегке чыгуусунан кичине болот.

Маселен. Сандардын эки тизмегин салыштыргыла: 0; 7; 8; 10; 10 жана 6; 6; 6,5; 7;5; 9. Бул эки тизмектин ар биринин арифметикалык орто саны 7 ге барабар. Берилгендердин экинчи тизмегиндеги сандар арифметикалык орто санга биринчи тизмектеги сандардан жакын экендигин эстеп койгула. Ошондуктан сандардын экинчи тизмегинин стандарттык четке чыгуусу биринчисиникинен кичине.

Берилгендердин бөлүштүрүүсүн көрсөтүүнүн эң эле көп ыкмалары жашайт. Эң эле жөнөкөй ыкмалардын бири бөлүштүрүү тездиги деп аталат. Бул усул берилгендер ар турдуу тездик менен кездешкенде эң эле ыңгайлуу.

Берилгендер	Тездиктер
-2	2
-1	2
0	1
1	1

Маселен, -2, -1, 0, 1, -1, -2 лерден турган алты сан х тин ар түрдүү маанилерине х кездеше турган ар түрдүү тездиктер туура келгендей кылып таблица түрүндө көрсөтүлүшү мүмкүн.

Бөлүштүрүү тездиктеринин таблицасынан ар түрдүү статистикалык мүнөздөмөлөрдү оңой табууга болот:

Арифметикалык орто сан: =

Бул алты сандын медианасы = - 1 ге барабар.

Чачылышкылык 1- (-2) = 3 кө барабар.

КӨПТҮКТӨР.

Турмуш тиричилигибиздеги жана башка чөйрөлөрдөгү нерсе-лердин, элементтердин тобун көптүктөр деп айтабыз жана латын тамгаларынын чоңдору менен белгилейбиз.

Көптүктү түзгөн нерселерди элементтери деп айтабыз жана жалпы түрдө латын тамгаларынын кичинелери менен белгилейбиз.

М: R={a,b,c,d,e,q,…}.

Көптүктөргө: Сандардын, тамгалардын, жандыктардын, таштардын, машиналардын, адамдардын, геометриялык фигуралардын, заттарды түзгөн молекулалардын, атомдордун, электрондордун, ж.б. нерселердин топтору мисал боло алат.

Э лементтер көптүктөргө таандык же таандык эмес болушат. Көптүктөрдүн элементтери:

- (∪ ) биригишет;

- ( ∩ ) кесилишет;

- ( \ ) айрымаланат.

a ∈ X – а элементи Х көптүгүнө таандык деп окулат,

a ∈ X – а элементи Х көптүгүнө таандык эмес деп окулат.

А В

А\В - А көптүгүнөн В көптүгүн айрымаладык.

М: А = {3,4,5,7,6,8,11,12}, В = {3,4,5,8,11,} А\В = {6,7,12}болот.

А В

В

А∩В - көптүктөрү кесилишти.

М: А={1,2,3,4,5,7,6,8,11,12}, В={3,4,5,8,11,13,14,17,18}

А В = {3,4,5,8,11}болот.

А В

А∪В - көптүктөрү бирикти.

М: А={2,3,4,5,7,6,8,11,12},В={3,4,5,8,11,13,14,17,18}

А∪В = {2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,14,17,18} болот.

Комбинаторика

Көптүктөрдүн элементтеринин санын эсептөөдө, бул элементтердин бардыгын жазууну талап кылбаган көптөгөн ар түрдүү усулдары бар. Көбөйтүүнүн төмөнкү принциби мындай эсептөөлөр үчүн негизги болуп саналат.

Эгерде көптүктүн элемент п элементтен турган көптүктөн тандап алынса жана көптүктүн дагы бир элементи т элементтен турган башка көнтүктөн тандап алынса, анда бул эки элементти бир мезгилде тандап алуунун бир варианты жашайт.

Маселен, ресторандагы меню ар түрдүү 5 биринчи тамакты жана ар түрдүү 3 экинчи тамакты камтыйт. Эгерде тамактанууга келген адам бир биринчи тамак жана бир экинчи тамак заказ берсе, анда тамактанууга келген адам биринчи жана экинчи тамактардын 5 3=15 комбинациясын заказ бере алат.

Көбөйтүүнүн бул принцибинде көп пайдаланылган символ факториал деп аталат.

Удаалаш n натуралдык сандын көбөйтүндүсү факториал деп аталат жана n! деп белгиленет. 1 2 3 4 5 6 ... n = n!

0! = 1, 1! = 1, 2! = 1 2 = 2, 3! = 1 2 3 = 6, 4! = 1 2 3 4 = 24, 5! = 1 2 3 4 5 = 120.

n! = n(n – 1)! = n( n – 1)( n – 2)! = n( n – 1)( n – 2)( n – 3)! = …

М: 15! = 15 14!

15! = 15 14 13!

15! = 15 14 13 12!

15! = 15 14 13 12 11!

15! = 15 14 13 12 11 10!

М : = = = = = 10 11 = 110.

1. 13 10! = х болсо, 11! + 12! + 13! – суммасын х аркылуу туюнткула.

А) 143х В) 11х С) 130х Д) 110х

2. болсо, n ди тапкыла.

А) 10 В) 8 С) 9 Д) 12

3. туюнтмасынын маанисин эсептегиле.

Факториал көптүктө элементтеринин жайгашуусунун мүмкүн болгон варианттарынын санын эсептөө үчүн өтө ыңгайлуу. Эгерде көптүктө п элемент бирден п ге чейинки тартипте жайгашса, анда биринчи элементти тандоонун п варианты, экинчи элементти тандоонун п - 1 варианты, үчүнчү элементти тандоонун п – 2 варианты болот жана дагы ушул сыяктуу акыркы п- элементти тандоонун бир варианты калмайынча улантылат.

Ошондуктан, биздин көбөйтүү принцибибизди пайдалансак, п элементти мүмкүн болгон жайгаштыруу варианттарынын саны төмөнкүгө барабар болот: P_n = п (п- 1) (п-2) ... 3 2 1 = п!

Маселен, А, Б, В тамгаларынын жайгашуу варианттарынын саны 3! га же 6 га барабар: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА.

Тандоонун бул процесси элементтерди биринин артынан экинчисин белгилүү тартипте тандоо процесси катары каралуусу мүмкүн.

n элементтен m ден орундаштыруу = формуласы менен эсептелет. Кээде элементтерди тандоо тартиби мааниге ээ болбой калат жана п элементтүү көптүктөн к элементти, (мында п к), тандоо мүмкүн болот. Анда берилген п элементтен к элементти тандоо санын, ( мында 0n), деп белгилешет жана n элементтен к дан алынган топтоштуруулардын саны деп аташат: = формуласы менен эсептейбиз.Маселен, эгерде S ={1, 2, 3, 5, 7} болсо, анда бул көптүктүн ар биринде 3 төн элементи болгон бөлүкчө көптүктөрүнүн саны төмөнкүгө барабар = 10

Ыктымалдуулук

Жогоруда баяндалган көптөгөн маселелер чектүү сандагы натыйжалар же окуялар менен тажрыйба жүргүзгөндөгү кокустук окуя жана анын ыктымалдуулугун үйрөнүүдө зарыл.

Маселен, грандары 1 ден 6 га чейин номерленген кубду ыргытуу окуялардын бири болгон 4 цифрасы бар грандын пайда болушуна алып келуусу мумкун. Бул {4} болуп белгиленет.

X окуясынын кандайдыр бир тажрыйбаны өткөрүүдө болуп өтүшүнүн ыктымалдуулугу Р(Х) менен белгиленет жана 0 дон 1 ге чейинки сан болот, бул сан 0 менен 1 дин өздөрүнө барабар болуусу мүмкүн.

Эгерде X окуясы болуп өтпөсө, анда Р(Х) = 0. Эгерде X окуясы анык болуп өтсө, Р(Х) = 1. Эгерде X окуясы болушу мумкун, бирок сөзсүз эмес болсо, анда 0 Р(Х) 1.

Эгерде Y окуясы X окуялардын көптүгүнүн бөлүкчө көптүгү болсо, анда Р(Y) Р(Х).

Бардык окуяларынын болуп өтүү ыктымалдыгы бирдей болгон тажрыйба үчүн:

Р(Х) =

X жана У окуялар үчүн төмөнкү натыйжалардын болушу мүмкүн:

“Х эмес” - X окуясы болуп өтпөгөн натыйжалардын көптүгү

“ Х же У ” - натыйжалардын же X окуясы, же У окуясы, же мунусу да, анысы да бирге болуп өтө турган көптүгү, Х У.

“ Хжана У ” – натыйжалардын X окуясы да жана У окуясы да болуп өтө турган көптүгү, Х У.

Х окуясынын болуп өтпөсүнүн ыктымалдуулугу

Р(Хэмес) = 1 - Р(Х) ке барабар.

X же Y окуяларынын болуп өтүүсүнүн ыктымалдуулугу

Р(Х же Y)=P(X) + P(Y) - Р(Х жана У) ке барабар.

Кайрадан биздин куб менен болгон мисалга кайрылалы.

Эгерде {1, 3, 4} түшкөн окуяны X менен жана {1,2} түшкөн окуяны Y менен белгилесек, анда Р(Х жана У) = ,

Р(Х же У) = Р(Х) + Р(У) – Р(Х жана У) =

Эгерде “Х жана У” окуялар бул тажрыбада болушу мүмкүн эмес болсо, анда Р(Х жана У) = 0 жана Р(Х же У) = Р(Х) + Р(У) болот.

Эгерде X окуясынын ыктымалдуулугу Y окуясынын болуп өткөн-дүгү же өтпөгөндүгүнө көз карандысыз болсо, анда X окуясы Y ке көз карандысыз деп аталат.

Маселен, биздин куб үчүн, эгерде Х= {1,2,3} жана У={3,5} болсо, анда X окуясы болуп өтүүсүнүн ыктымалдуулугу Р(Х)= ге барабар, мында |Х|- X окуясы болуп өтө турган бардык натыйжалардын саны. Ушундай эле жол менен У окуясы болуп өткөндүгүнүн ыктымалдуулугу Р(У)= ге барабар.

Эгерде У окуясы болуп өттү деп болжолдосок, анда Х окуясы-нын болуп өтүүсүнүн ыктымалдуулугу

Р(Х) = .

Х окуясы болуп өттү деп болжолдоп, У окуясынын болуп өтүү-сүнүн ыктымалдуулугун табуу мүмкүн.

Р(У) = .

Биз бир окуянын пайда болуусу экинчи окуянын пайда болуу ыктымалдуулугуна таасир кылбастыгын көрөбүз.

Ошондуктан Х жана У окуялар көз карандысыз болушат.

К жана Е көз карандысыз окуялар үчүн көбөйтүүнүн төмөнкү эрежеси туура:Р(К жана Е)=Р(К) Р(Е). Ошондой эле, эгерде К жана Е окуялары көз карандысыз болсо,

Р(К жана Е) = Р(К) + Р(Е) – Р(Е) Р(К).

1. 

   

   A

1. 

   

   
   
   

   A

1. 

   
   
   

   

   
   
   

   B

1. 

2. 

4. A

1. 

2. 

   

   

5. Б

1. ;

2. 

6

. А А чоң, себеби .

1. 

   

   

B Себеби,

1. Г

болсо, эки тиликенин элементтеринин саны барабар, ал эми болсо, А тилкесинин элементтери чексиз көп болуп калат. Демек, салыштырууга болбойт.

1. 

   

   

Б B)=6

1. 

   

   

A

1. 

   

   

B

1. 

   

   
   
   

   Б

;

1. 

B

1. A

1. 

   A

2. 

   B

1. 

   Б

1. 

2. 

=

1. A

1. A

1. А куру көптүктүн элеменинен көп.

1. В

1. 

2. 

   

   

1. B

1. 

   

   

   
   
   

1. A

Үй тапшырма – 3

2.

3

.

2. 

   

   

ЭЧЖБ(32;64)

ЭКЖБ(16;32)