Знакомство с логарифмами

« ЗНАКОМСТВО С ЛОГАРИФМОМ »

От показательной функции к мощному математическому инструменту

ГАУ КО ПОО КСТ

Остробородова дарья

Цели презентации

1. Понять мотивацию: Зачем нужны логарифмы?

2. Усвоить определение: Что такое логарифм?

3. Связать с известным: Как логарифм связан с показательной функцией?

4. Разобрать свойства: Основные тождества и правила.

5. Увидеть применение: Где логарифмы используются в реальной жизни и науке?

Историческая мотивация. Зачем он появился?

Проблема 16-17 веков:

· Астрономия, навигация, банковское дело требовали громоздких вычислений с очень большими числами.

· Умножение и деление, возведение в степень были крайне трудоемкими.

Решение (Джон Непер, 1614 г.):

· Изобретение логарифмов — инструмента, который превращает умножение в сложение, а деление в вычитание.

· «Логарифмическая линейка» — аналоговый «компьютер» инженеров на протяжении 350 лет.

· Ключевая мысль: Логарифм — это, в первую очередь, упроститель вычислений.

От показательной функции к определению

Вспомним известное:

a^b = c

· a — основание степени,

· b — показатель степени,

· c — степень (результат).

Вопрос: Как решить уравнение, если неизвестен показатель b?

· Пример: 2^x = 8. Очевидно, x = 3.

· Пример: 2^x = 5. Чему равен x? Это не целое число! Нужен специальный способ его записать и вычислить.

Ответ: Этот «показатель» и есть логарифм.

0, a ≠ 1) называется показатель степени b, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число c. Математическая запись: log_a(c) = b ⇔ a^b = c Где: · log — знак логарифма · a — основание логарифма (основание степени) · c — подлогарифмическое выражение (результат степени) · b — значение логарифма (показатель степени) Произносится: «Логарифм c по основанию a равен b». " width="640"

Определение логарифма

Формальное определение:

Логарифмом числа c по основанию a (a 0, a ≠ 1) называется показатель степени b, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число c.

Математическая запись:

log_a(c) = b ⇔ a^b = c

Где:

· log — знак логарифма

· a — основание логарифма (основание степени)

· c — подлогарифмическое выражение (результат степени)

· b — значение логарифма (показатель степени)

Произносится: «Логарифм c по основанию a равен b».

Разбор примеров «на пальцах»

Перевод из показательной формы в логарифмическую и наоборот.

Показательная форма Логарифмическая форма Объяснение

2^3 = 8 log_2(8) = 3 «В какую степень возвести 2, чтобы получить 8? В третью.»

10^2 = 100 log_10(100) = 2 «В какую степень возвести 10, чтобы получить 100? Во вторую.»

5^? = 25 → 5^2 = 25 log_5(25) = 2

3^? = 1 → 3^0 = 1 log_3(1) = 0 Важный вывод: Логарифм единицы по любому основанию равен 0.

a^? = a → a^1 = a log_a(a) = 1 Важный вывод: Логарифм основания по самому себе равен 1.

0, a ≠ 1 и c 0? 1. a 0: Потому что, например, (-2)^x — не для всех x определена (в вещественных числах). 2. a ≠ 1: Потому что 1^x всегда равно 1. Уравнение 1^x = c имеет решение только при c=1 (бесконечно много решений), в других случаях решений нет. Это неинтересно для определения функции. 3. c 0: Следует из свойства показательной функции a^b 0 при a 0. Нельзя получить отрицательное число или ноль, возводя положительное число в любую вещественную степень. · log_2(-4) — не существует. · log_3(0) — не существует. " width="640"

Важные ограничения (ОДЗ)

Почему a 0, a ≠ 1 и c 0?

1. a 0: Потому что, например, (-2)^x — не для всех x определена (в вещественных числах).

2. a ≠ 1: Потому что 1^x всегда равно 1. Уравнение 1^x = c имеет решение только при c=1 (бесконечно много решений), в других случаях решений нет. Это неинтересно для определения функции.

3. c 0: Следует из свойства показательной

функции a^b 0 при a 0. Нельзя получить

отрицательное число или ноль, возводя

положительное число в любую вещественную

степень.

· log_2(-4) — не существует.

· log_3(0) — не существует.

Основные свойства логарифмов (самые важные)

!) Эти свойства прямо следуют из определения и свойств степеней.

1. Основное логарифмическое тождество:

a^(log_a(c)) = c

Пример: 2^(log_2(9)) = 9

2. Логарифм произведения:

log_a(x*y) = log_a(x) + log_a(y)

Пример: log_2(6) = log_2(2*3) = log_2(2) + log_2(3) = 1 + log_2(3) (Умножение превращается в сложение!)

3. Логарифм частного:

log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y) (Деление превращается в вычитание!)

4. Логарифм степени:

log_a(x^p) = p * log_a(x)

Пример: log_3(81) = log_3(3^4) = 4 * log_3(3) = 4 (Показатель степени «спускается» как множитель!)

Десятичный и натуральный логарифмы (специальные основания)

На практике чаще всего используют два особых основания:

1. Десятичный логарифм: Основание 10.

· Обозначение: lg(b) или log(b) (в калькуляторах и информатике часто log10).

· Применение: Удобен для работы с порядками чисел (шкала Рихтера для землетрясений, шкала pH в химии, децибелы в акустике).

2. Натуральный логарифм: Основание e (иррациональное число e ≈ 2.71828...).

· Обозначение: ln(b).

· Применение: Фундаментален в высшей математике (математический анализ, дифференциальные уравнения), теории вероятностей, физике (процессы роста и распада ).

Области применения логарифмов

· Математика и физика: Решение показательных уравнений, вычисление сложных пределов, производных и интегралов.

· Химия: Определение кислотности среды — шкала pH (pH = -lg[H+]).

· Сейсмология: Измерение силы землетрясений — шкала Рихтера (каждый следующий балл означает увеличение амплитуды колебаний в 10 раз).

· Акустика: Измерение громкости звука — шкала децибел (дБ).

· Информатика: Оценка сложности алгоритмов (логарифмическая сложность O(log n) — очень эффективна!), измерение информации (логарифмические вероятности).

· Финансы: Расчет сложных процентов, времени удвоения капитала.

Выводы и заключение

1. Логарифм — это операция, обратная возведению в степень. Он отвечает на вопрос: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить данное число?»

2. Это мощный инструмент для упрощения вычислений: превращает умножение в сложение, деление в вычитание, а возведение в степень в умножение.

3. Имеет четкую область определения (ОДЗ), которую необходимо учитывать.

4. Десятичный (lg) и натуральный (ln) логарифмы — наиболее употребляемые на практике.

5. Знание логарифмов — база для изучения высшей математики, многих технических и естественнонаучных дисциплин.

Спасибо за внимание!