14.05.2020 р. 9 клас. Алгебра. Повторення. Числові послідовності

Функцію y = f(x), x∈N називають функцією натурального аргументу або числовою послідовністю і позначають y = f(n) або y₁,y₂,y₃,.,y_n,. Значення y₁,y₂,y₃,.,y_n (і т. д.) називають відповідно першим, другим, третім (і т. д.) членами послідовності. У символі y_n число n називають індексом, який задає порядковий номер того чи іншого члена послідовності. Іноді для позначення послідовності використовується запис (y_n).

Як відомо, функція може бути задана різними способами, наприклад аналітично, графічно, словесно і т. д. Послідовності теж можна задавати різними способами, серед яких особливо важливі три: аналітичний, словесний і рекурентний. 1. Аналітичне задання послідовності.

Кажуть, що послідовність задана аналітично, якщо вказана формула її n-го члена y_n = f(n).

Приклад: 1. y_n = n².

Це аналітичне задання послідовності 1,4,9,16,., n²,., про яку йшла мова вище.

2. y_n = C. Йдеться про послідовність C,C,C,.,C,.,, яку називають стаціонарною.

2. Словесне задання послідовності.

Приклад. Послідовність простих чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,.

Послідовність задана словесно.

Знаходження аналітичного задання послідовності по її словесному опису часто буває складним (а іноді і нерозв'язним) завданням.

3. Рекурентне задання послідовності.

Цей спосіб задання послідовності полягає в тому, що вказується правило, що дозволяє обчислити n-й член послідовності, якщо відомі її попередні члени.

При обчисленні членів послідовності за цим правилом ми ніби весь час повертаємося назад, з'ясовуємо, чому дорівнюють попередні члени. Такий спосіб задання послідовності називають рекурентним (від лат. recurrere — повертатися).

Найчастіше в таких випадках вказують формулу, що дозволяє висловити n-й член послідовності через попередні, і задають один-два початкових члена послідовності.

Приклад: y₁ = 3; y_n = y_n-1 + 4, якщо n = 2,3,4,. Маємо, y₁ = 3; y₂ = y₁ + 4 = 3+4 = 7; y₃ = y₂ + 4 = 7+4 = 11; y₄ = y₃ + 4 = 11+4 = 15 і т. д.

Тим самим отримуємо послідовність 3,7,11,15,.

Зростаючі і спадаючі послідовності об'єднують загальним терміном — монотонні послідовності.

Послідовність (y_n) називають зростаючою, якщо кожний її член (крім першого) більше попереднього.

Послідовність (y_n) називають спадаючою, якщо кожен її член (крім першого) менше попереднього.

Послідовність, в якій кожен наступний член можна знайти, додавши до попереднього одне і те ж число d, називається арифметичною прогресією.

Якщо послідовність (a_n) є арифметичною прогресією, тоді для будь-якого натурального значення n справедлива залежність a_n+1 = a_n + d.

Число d називається різницею арифметичної прогресії.

Якщо відомий перший член арифметичної прогресії a₁ і різниця d, тоді можливо обчислити будь-який член арифметичної прогресії:

a₂ = a₁ + d; a₃ = a₂ + d = a₁ +2 d; a₄ = a₃ + d = a₁ +3 d і т. д.

Ця рівність називається загальною формулою арифметичної прогресії.

Її використовують, щоб обчислити n-ий член арифметичної прогресії (наприклад, десятий, сотий та ін.), якщо відомі перший член послідовності і різниця.

Приклад. Дано арифметичну прогресію (a_n), де a₁ =0 і d =2.

Знайти: a) перші п'ять членів прогресії; б) десятий член прогресії.

a). Щоб знайти наступний член прогресії, потрібно до попереднього додати різницю: a₂ = a₁ + d = 0+2 = 2; a₃ = a₂ + d = 2+2 = 4; a₄ = a₃ + d = 4+2 = 6; a₅ = a₄ + d = 6+2 = 8.

б). Використовується загальна формула a_n = a₁ + d(n−1).

Якщо n=10, тоді замість n до формули підставляється 10: a₁₀ = a₁ + 2⋅(10−1); a₁₀ =0+2⋅9; a₁₀ =18.

Сума перших n членів арифметичної прогресії.

Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти, використовуючи формулу:

Sn = (a₁+a_n)⋅n)/2, де n - число членів послідовності.

Послідовність (b_n), у якій кожний наступний член можна знайти, якщо попередній член помножити на одне і те ж число q, називається геометричною прогресією.

Якщо послідовність (b_n) є геометричною прогресією, тоді для будь-якого натурального значення n справедлива залежність: b_n+1 = b_n⋅q.

Число q називається знаменником геометричної прогресії.

Якщо у геометричній прогресії (b_n) відомий перший член b₁ і знаменник q, тоді можливо знайти будь-який член прогресії.

b₂ = b₁⋅q; b₃ = b₂⋅q = b₁⋅q⋅q = b₁⋅q²; b₄ = b₁⋅q³ і т. д.

Загальний член геометричної прогресії b_n можна обчислити, використовуючи формулу:

b_n = b₁⋅q^n-1, де n- порядковий номер члена прогресії, b₁- перший член послідовності, q- знаменник.

Приклад. Обчислити перші п'ять членів геометричної прогресії і написати формулу знаходження n-го члена, якщо b₁ = 8 і q=0,5.

Якщо b₁ = 8, b₂ = b₁⋅q = 8⋅0,5 = 4; b₃ = b₂⋅q = 4⋅0,5 = 2; _b4 = b₃⋅q = 2⋅0,5 = 1; b₅ = b₄⋅q = 1⋅0,5 = 0,5.

b_n = b₁⋅q^n-1 ; b_n = 8⋅0,5^n-1.

Сума перших n членів геометричної прогресії

Суму перших n членів геометричної прогресії S_n можна знайти, якщо обчислити її члени b₁, b₂,., b_n і потім їх значення додати.

Обчислюючи суму перших n членів геометричної прогресії, якщо n- кількість членів послідовності (порядковий номер), b₁- перший член послідовності, b_n- n-ий член послідовності, q- знаменник, то S_n = b₁(qⁿ−1):(q−1)

14.05.2020 р. Скласти конспект матеріалу. Пункти 15 - 19. Виконати вправи № 20.79, № 20.98( 1- І варіант, 2 - ІІ варіант).