07.05.2020 р. 9 клас. Алгебра. Повторення. Нерівності. Розв'язування лінійних нерівностей та їх систем. Розв'язування квадратних нерівностей

Нерівності виду a>b і c>d або a<b і c<d, (тобто нерівності з однаковими знаками) називають нерівностями однакового змісту.

Нерівності виду a>b і c<d або a<b і c>d, (тобто нерівності з різними, протилежними знаками) називають нерівностями протилежного змісту.

Приклад. Нерівності x>−5 і y>17 є нерівностями однакового змісту, а нерівності х<−5 і y>17 нерівностями протилежного змісту

Зверни увагу!

Якщо одночасно виконуються дві умови x>a (≥) та x<b (≤), тоді можна записати замість двох нерівностей одну подвійну нерівність a<x<b.

Множину всіх значень змінної x подвійної нерівності a<x<b можна зобразити на числовій прямій.

Зверни увагу!

Подвійна нерівність читається з середини: x більше a, але менше b.

47,2<x<47,3 читається, як x більше 47,2, але менше 47,3.

Властивість 1. Якщо a>b і b>c, тоді a>c.

Це можна зобразити на числовій прямій.

Перевіримо на прикладі. Нехай a = 6,b = 0,c = −4, тоді, якщо 6>0 і 0>−4, тоді 6>−4.

Властивість 2. Якщо a>b, тоді a+c>b+c.

Якщо до обох частин нерівності додати одне й те саме число - знак нерівності не зміниться.

Властивість 3. Якщо a>b і k>0, тоді ak>bk.

Якщо обидві частини нерівності помножити на одне і те ж додатне число - знак нерівності не зміниться

Приклад. Відомо, що 17,2<x<17,3. Оцінити 2x.

При множенні подвійної нерівності на додатне число 2, отримаємо нерівність того ж змісту (тобто знаки не зміняться).

17,2⋅2<x⋅2<17,3⋅2; 34,4 <2x<34,6.

Властивість 4. Якщо a>b і k<0, тоді ak<bk.

Якщо обидві частини нерівності помножити на одне і те ж від'ємне число - знак нерівності зміниться ( < на >, > на <)

Приклад. Відомо, що 17,2<x<17,3. Оцінити −2x.

При множенні подвійної нерівності на від'ємне число −2, отримаємо нерівність протилежного змісту (тобто знаки зміняться).

17,2⋅(−2)<x⋅(−2)<17,3⋅(−2); −34,4>−2x>−34,6; −34,6<−2x<−34,4.

Зверни увагу! Ділення на число k можна замінити множенням на дріб 1/k

Лінійною нерівністю називається нерівність, яка дана або перетворена до вигляду ax>b або ax<b, так само ax≥b або ax≤b, де a, b — числа і x — змінна. Приклад.

Зверни увагу! Переносячи числові або доданки із змінними в іншу частину нерівності, знак доданка змінюється на протилежний!

Розв'язком нерівності зі змінною називають значення змінної, яке перетворює нерівність зі змінною в правильну числову нерівність.

Розв'язати нерівність — це означає знайти всі його розв'язки або довести, що їх немає.

Якщо треба знайти розв'язки двох або кількох нерівностей, то говорять, що треба розв'язати систему нерівностей. Розв'язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює кожну нерівність системи в правильну числову нерівність. Розв'язати систему рівнянь означає знайти всі її розв'язки або довести, що розв'язків немає. Щоб розв'язати систему нерівностей, треба знайти переріз множин розв'язків нерівностей, які складають систему.

Загальний вигляд квадратних нерівностей, це ax²+bx+c>0(<0,≤0,≥0), де a ≠ 0.

Множину розв'язків квадратної нерівності легко визначити, приблизно накресливши графік функції y = ax² + bx + c (параболу).

Кроки розв'язання квадратної нерівності:

1. Визначаються точки перетину параболи і осі x за допомогою розв'язання рівняння ax² + bx + c = 0.

Якщо D>0, у рівняння два різних кореня, парабола перетинає вісь x у двох точках.
Якщо D=0, у рівняння два однакових кореня, вершина параболи знаходиться на осі x.
Якщо D<0, у рівняння немає коренів, парабола не перетинає вісь x.

2. Враховуючи кількість коренів і знак коефіцієнта a, креслиться графік параболи.

Зверни увагу! Якщо a>0, гілки параболи спрямовані вгору, якщо a<0, тоді вниз.

Порада: якщо хочеш, щоб гілки параболи завжди були спрямовані вгору, у випадках, коли a<0, треба спочатку обидві частини нерівності помножити на (−1). Не забудь, що на протилежний поміняється знак нерівності.

3. Обираються порожні або зафарбовані точки, в залежності від вигляду знака нерівності:

∙, якщо стоїть знак нестрогої нерівності ≤ або ≥; о, якщо стоїть знак строгої нерівності < або <.

4. Зафарбовується правильний інтервал.

5. Записується відповідь.

Приклад. -2х² + 4х - 5 < 0.

−2x2+4x−5≤0∣⋅(−1); 2x2 − 4x + 5 ≥ 0; D = 16−4⋅2⋅5 = −24 -парабола не перетинає вісьOx За малюнком видно, що графік додатний будь-якому значенню x Відповідь: x∈(−∞;+∞) або x ∈ R.

07.05.2020 р. Скласти конспект матеріалу п. 1 - 6, 12. Виконати вправи № 20.25(1 - 1 рівень, 2 - 2 рівень), № 20.53 (1 - І варіант, 2 - ІІ варіант).