СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Графічний метод розв'язання систем рівнянь. Завдання 1. Розв'язати систему рівнянь
{x+2y−5=0,
{2x+4y+3=0.
Графіком рівняння x+2y−5 = 0 є пряма. Знайдемо дві пари значень змінних x та y, що задовольняють дане рівняння.
x | 5 | 0 |
y | 0 | 2,5 |
Побудуємо на координатній площині xОy пряму 1, яка проходить через ці дві точки. Графіком рівняння 2x+4y+3=0 також є пряма. Знайдемо дві пари значень змінних x та y, що задовольняють це рівняння.
x | −1,5 | 2,5 |
y | 0 | −2 |
Побудуємо на координатній площині xОy пряму 2, що проходить через ці дві точки.
Прямі 1 і 2 паралельні. Отже, система не має розв'язків, оскільки немає точок, що задовольняють одночасно і першому, і другому рівнянню, тобто належать одночасно і першій, і другій із побудованих прямих.
Відповідь: система не має розв'язків.
Графічний спосіб розв'язування систем рівнянь громіздкий і дає, як правило, наближені розв'язки. Тому частіше системи розв'язують іншими способами, зокрема способом підстановки.
Щоб розв'язати систему рівнянь способом підстановки, треба:
1. Виразити з якого-небудь її рівняння одну змінну через іншу;
2. Підставити в інше рівняння системи замість цієї змінної отриманий вираз;
3. Розв'язати утворене рівняння з однією змінною;
4. Знайти відповідне значення іншої змінної. 5. Записати відповідь.
Приклад:
Розв'язати систему рівнянь:
{x−2y = 3,
{5x+y = 4.
1) З першого рівняння системи виражаємо змінну x через змінну y. Отримуємо: x−2y = 3, x = 3+2y;
2) Підставимо отриманий вираз замість змінної x у друге рівняння системи: 5⋅x+y = 4, 5⋅(3+2y)+y = 4;
3) Розв'яжемо утворене рівняння з однією змінною, знайдемо y: 5⋅(3+2y)+y = 4, 15+10y+y = 4, 10y+y = 4−15, 11y = −11,|:11 y = −1.
4) Знайдемо відповідне значення змінної x, підставивши значення змінної y, у вираз знайдений в першому кроці: x = 3+2⋅y, x =3+2⋅(−1),
x = 3−2, x = 1.
5) Відповідь: (1;−1).
Зверни увагу!
Способом підстановки можна розв’язувати будь-яку систему лінійних рівнянь із двома змінними, але найзручніше його використовувати, коли коефіцієнт при будь-якій змінній у рівнянні дорівнює 1.
Зверни увагу!
Іноді можна підставляти з одного рівняння системи в інше не значення окремої змінної, а значення цілого виразу:
{x−2y=3,
{5(x−2y)+y=20.
Можна значення x−2y з першого рівняння підставити у друге, отримавши рівняння з однією змінною: 5⋅3+y=20.
Алгоритм розв'язання системи двох лінійних рівнянь із двома змінними методом алгебраїчного додавання.
Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь методом додавання, треба:
1) Дібравши «вигідні» множники, перетворити одне чи обидва рівняння системи так, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами;
2) Додати почленно ліві й праві частини рівнянь, отриманих в першому кроці;
3) Розв’язати рівняння з однією змінною, отримане в другому кроці;
4) Підставити знайдене в третьому кроці значення змінної в будь-яке з рівнянь вихідної системи;
5) Обчислити значення другої змінної та записати відповідь.
Приклад:
Завдання 1. Розв'язати систему рівнянь
{3x− = 9,
2x+y = 11.
Розв'язання.
1. Коефіцієнти при змінній y є протилежними числами тому додаємо почленно ліві й праві частини рівнянь.
+{3x−y = 9;
{2x+y = 11
(3x−y)+(2x+y) = 9+11; 3x−y+2x+y = 20; 5⋅x = 20; x = 20:5; x = 4.
2. Підставимо знайдене значення x у друге рівняння системи і знайдемо y.
2⋅x+y = 11; 2⋅4 + y = 11; 8+y = 11; y = 11− 8; y = 3.
Відповідь: (4;3).
Завдання 2. Розв'язати систему рівнянь:
{5x+6y = 0,
3x+4y = 4.
Розв'язання.
1. У даній системі немає протилежних або рівних коефіцієнтів, тому, щоб позбутися змінної x, помножимо перше рівняння на 3, а друге на 5 і віднімемо почленно друге рівняння від першого.
{5x+6y = 0,|⋅3 −{15x+18y = 0
{3x+4y = 4;|⋅5 ⇔ 15x+20y = 20;
(15x+18y)−(15x+20y) = 0−20, 15x+18y−15x−20y =−20, −2⋅y = −20, y =−20:(−2), y = 10.
2. Підставимо знайдене значення y в перше рівняння системи і знайдемо x.
5x+6y = 0, 5x+6⋅10 = 0, 5x+60 = 0, 5x = −60, x = −60:5, x = −12.
Відповідь: x = −12, y = 10.
Зверни увагу!
Цей метод заснований на такому твердженні: якщо одне з рівнянь системи замінити на рівняння, отримане шляхом додавання лівих і правих частин рівнянь системи, то отримана система буде мати такі ж розв’язки, що й початкова.
Метод заміни змінних, що використовується для розв'язування рівнянь, застосовують і для розв'язування деяких систем рівнянь.
12.05.2020 р. Скласти конспект матеріалу заняття. Повторити пункти 13, 14. Виконати вправи № 20.61(1 - І варіант, 2 - ІІ варіант), № 20.65.
© 2020, Фисина Любов Трохимівна 680