Что такое "е"? и как с ним бороться)

Полученное число 2,718., играющее в высшей математике огромную роль, - не меньшую, пожалуй, чем знаменитое число я, - имеет особое обозначе­ние: е. Это - число иррациональное: оно не может быть точно выражено конечным числом цифр¹), но вычисляется только приближенно, с любой степенью точности, с помощью следующего ряда:

Из приведенного выше примера с ростом капита­ла по сложным процентам легко видеть, что число е есть предел выражения

при беспредельном возрастании п.

По многим причинам, которых мы здесь изложить не можем, число е очень целесообразно принять за основание системы логарифмов. Такие таблицы («на­туральных логарифмов») существуют и находят себе широкое применение в науке и технике. Те логариф­мы-исполины из 48, из 61, из 102 и из 260 цифр, о ко­торых мы говорили ранее, имеют основанием именно число е.

Число е появляется нередко там, где его вовсе не ожидали. Поставим себе, например, такую задачу:

На какие части надо разбить данное число а, что­бы произведение всех частей было наибольшее?

Мы уже знаем, что наибольшее произведение при постоянной сумме дают числа тогда, когда они равны между собой. Ясно, что число а надо разбить на рав­ные части. Но на сколько именно равных частей? На две, на три, на десять? Приемами высшей математи­ки можно установить, что наибольшее произведение получается, когда части возможно ближе к числу е.

Например, 10 надо разбить на такое число равных частей, чтобы части были возможно ближе к 2,718., Для этого надо найти частное

Так как разделить на 3,678. равных частей нель­зя, то приходится выбрать делителем ближайшее це­лое число 4. Мы получим, следовательно, наибольшее

произведение частей 10, если эти части равны 10/4,

т. е. 2,5. Значит,

есть самое большое число, какое может получиться от перемножения одинаковых частей числа 10. Действительно, разделив 10 на 3 или на 5 paвных частей, мы получим меньшие произведения:

^*

¹) Кроме того, оно, как и число я, трансцендентно, т. е. не может получиться в результате решения какого бы то ни было алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

Число 20 надо для получения наибольшего произ­ведения его частей разбить на 7 одинаковых частей, потому что

Число 50 надо разбить на 18 частей, а 100 - на 37, потому что

Число е играет огромную роль в математике, фи­зике, астрономии и других науках. Вот некоторые во­просы, при математическом рассмотрении которых приходится пользоваться этим числом (список можно было бы увеличивать неограниченно):

Барометрическая формула (уменьшение давления с высотой),

Формула Эйлера 1).

Закон охлаждения тел,

Радиоактивный распад и возраст Земли,

Колебания маятника в воздухе,

Формула Циолковского для скорости ракеты ²),

Колебательные явления в радиоконтуре.

Рост клеток.