Олимпиадные задачи 5-11 класс

11 класс

11.1. Замените в равенстве многоточия числами, чтобы выражение стало тождеством

(x2 + …x + 2)(x + 3) = (x + …)(x2 + …x + 6)

11.2. Найдите произведение (tg210– 3)(tg220– 3)…(tg2880 – 3)(tg2890 – 3).

11.3. В однокруговом чемпионате по футболу участвовали 16 команд из разных школ. Каждый матч проходил в одной из 16 школ-участниц. Могло ли по окончании чемпионата случиться такое, что каждая команда сыграла во всех школах, кроме своей?

11.4. Пусть k – натуральное число. Известно, что среди 29 последовательных чисел 30k+1, 30k+2,., 30k+29 имеется 7 простых. Докажите, что первое и последнее из них – простые.

11.5. На стороне АВ квадрата ABCD, как на диаметре, построена полуокружность, лежащая внутри квадрата. Внутри квадрата отмечена точка Р так, что ВР = ВС. Отрезок BP пересекает полуокружность в точке К, РМ — перпендикуляр, опущенный из точки Р на сторону AD. Докажите, что РМ = РК.

11.6. Садовод-исследователь в течение июля и августа наблюдал за своей яблоней. За каждый месяц каждое яблоко увеличивает вес в 1,5 раза, но при этом 20% хороших яблок становятся червивыми. Как и на сколько процентов изменился общий вес хороших яблок в конце августа по сравнению с началом июля, если в начале июля ни одного червивого яблока не было?

10 класс

10.1. Замените в равенстве многоточия числами, чтобы выражение стало тождеством

(x2 + …x + 2)(x + 3) = (x + …)(x2 + …x + 6)

10.2. Каких натуральных чисел от 1 до 1000000 включительно больше: чётных с нечётной суммой цифр или нечётных с чётной суммой цифр?

10.3. В однокруговом чемпионате по футболу участвовали 16 команд из разных школ. Каждый матч проходил в одной из 16 школ-участниц. Могло ли по окончании чемпионата случиться такое, что каждая команда сыграла во всех школах, кроме своей?

10.4. Пусть k – натуральное число. Известно, что среди 29 последовательных чисел 30k+1, 30k+2,., 30k+29 имеется 7 простых. Докажите, что первое и последнее из них – простые.

10.5. На стороне АВ квадрата ABCD, как на диаметре, построена полуокружность, лежащая внутри квадрата. Внутри квадрата отмечена точка Р так, что ВР = ВС. Отрезок BP пересекает полуокружность в точке К, РМ — перпендикуляр, опущенный из точки Р на сторону AD. Докажите, что РМ = РК.

10.6. Садовод-исследователь в течение июля и августа наблюдал за своей яблоней. За каждый месяц каждое яблоко увеличивает вес в 1,5 раза, но при этом 20% хороших яблок становятся червивыми. Как и на сколько процентов изменился общий вес хороших яблок в конце августа по сравнению с началом июля, если в начале июля ни одного червивого яблока не было?

9 класс

9.1 Сумма нескольких чисел равна 1. Может ли сумма их квадратов быть меньше 0,1?

(7 баллов за обоснованный ответ, 0 балл за ответ)

9.2 Фома и Ерема решили участвовать в приватизации 2030 года. Фома заплатил за две нефтяные вышки и три угольных шахты более 10 миллионов долларов, а Ерема за четыре вышки и пять шахт уплатил менее 18 миллионов долларов. Что дороже – нефтяная вышка или угольная шахта?

(7 баллов за обоснованный ответ, 0 балл за ответ)

9.3 На стороне BC равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) находятся точки M и N (M между B и N), причем MN = AN. Известно, что углы BAM и NAC равны. Найти величину угла MAC. (7 баллов за обоснованный ответ, 0 балл за ответ)

9.4 Садовод-исследователь в течение июля и августа наблюдал за своей яблоней. За каждый месяц каждое яблоко увеличивает вес в 1,5 раза, но при этом 20% хороших яблок становятся червивыми. Как и на сколько процентов изменился общий вес хороших яблок в конце августа по сравнению с началом июля, если в начале июля ни одного червивого яблока не было?

(7 баллов за обоснованный ответ, 0 балл за ответ)

9.5 При каких натуральных x выражение x2 – 4x + 11 является квадратом натурального числа?

(7 баллов за обоснованный ответ, 0 балл за ответ)

9.6 Найдите все натуральные n, при которых набор из гирь 1 г., 2 г., …, n г. можно разделить на четыре части равного веса.

(7 баллов за обоснованный ответ, 0 балл за ответ, 1 балл за пример)

8 класс

8.1. На заводе “Передовик” в течение двух лет выпуск продукции повысился на 69%. На сколько процентов происходил рост выпуска продукции на заводе за год, если известно, что оба года он был одинаков?

(7 баллов за обоснованный ответ, 1 балл за ответ)

8.2. Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нюф-Нюф делили три кусочка трюфеля массами 4 г, 7 г и 10 г. Волк решил им помочь. Он может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 г трюфеля. Сможет ли волк оставить поросятам равные кусочки трюфеля?

(7 баллов за обоснованный ответ, 0 балл за ответ)

8.3. Число называют зеркальным, если слева направо оно читается так же, как справа налево. Например, число 15651 – зеркальное. Запишите какое-нибудь зеркальное число, которое делится на 5. Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5?

(7 баллов за обоснованный ответ, 0 балл за ответ)

8.4. Лосяш загадал трёхзначное число и сообщил его Крошу и Ёжику. Крош увеличил его на 5, а Ёжик записал число Лосяша в обратном порядке и увеличил полученное число в полтора раза. Оказалось, что Крош и Ёжик получили одно и то же число. Найдите его.

(7 баллов за обоснованный ответ, 1 балл за ответ)

8.5. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а биссектриса угла A в два раза длиннее биссектрисы угла B. Найдите углы треугольника ABC. (7 баллов за обоснованный ответ, 1 балл за ответ)

8.6. В ходе каждого урока физкультуры учитель проводит забег и даёт победителю забега 4 конфеты, а веем остальным ученикам – по одной. К концу четверти Петя заслужил 29 конфет, Коля – 32, а Вася – 37 конфет. Известно, что один из них пропустил ровно один урок физкультуры, участвуя в олимпиаде по математике; остальные же уроков не пропускали. Кто из детей пропустил урок? Объясните свой ответ. (7 баллов за обоснованный ответ, 1 балл за ответ)

7 класс

7.1. У Лады в левой ладошке камешков в полтора раза больше, чем в правой. Когда она отсыпала Лере 10 камешков из своей левой ладошки, количество камешков в обеих Ладиных ладошках стало поровну. Найдите, сколько всего камешков было у Лады. (7 баллов за обоснованный ответ, 1 балл за ответ)

7.2. Бабушка решила взвесить кошку Мурку и собаку Жучку. Получилось, что Жучка на 6 кг тяжелее Мурки, а Мурка в три раза легче Жучки. Сколько весит Мурка?

(7 баллов за обоснованный ответ, 1 балл за ответ)

7.3. Часы показывают половину девятого. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками? Объясните ответ.

(7 баллов за обоснованный ответ, 1 балл за ответ)

7.4. Может ли наименьшее общее кратное трёх чисел быть меньше произведения двух любых из них? Объясните ответ.

(7 баллов за обоснованный ответ, 0 балл за ответ)

7.5. Можно ли разрезать квадрат на четыре выпуклых многоугольника с разным числом сторон? (Выпуклость многоугольника означает, что все его углы меньше 180˚.)

(7 баллов за приведение примера разрезания)

7.6. В четырёхзначном числе каждую цифру независимо от других увеличили на 1 или 5, в результате чего оно увеличилось в 4 раза. Каким могло быть исходное число? (Укажите все варианты).

(7 баллов если разобраны два случая, 5 балла при разборе одного случая)

6 класс

6.1. Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и все семь цифр были различными:

* * * - * * = 23

(7 баллов за пример)

6.2. Кирпич весит килограмм да половина веса куска кирпича без этого килограмма, да треть всего кирпича. Сколько весит кирпич?

(7 баллов за обоснованное решение, 1 балл за ответ)

6.3. Настя расставляет в клетках квадрата 3 на 3 числа 1, 3, 5, 7, 9. Она хочет, чтобы сумма чисел по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям делилась на 5. Приведите пример такой расстановки, при условии, что каждое число Настя собирается использовать не более двух раз. (7 баллов за пример)

6.4. В очереди за вареньем к Совунье стоят Ёжик, Крош, Бараш, Нюша и Лосяш. Ёжик стоит впереди Кроша, но после Нюши. Бараш и Нюша не стоят рядом, а Лосяш не находится рядом ни с Нюшей, ни с Ёжиком, ни с Барашем. В каком порядке стоят смешарики? Ответ объясните. (7 баллов за обоснованный ответ, 1 балл за ответ)

6.5. Пираты делят добычу в 10000001 галеон. При этом всех пиратов можно разбить по трое так, что в каждой тройке главный пират должен получить столько же, сколько его напарники вместе. Капитан утверждает, что честного дележа не выйдет, если 1 галеон не принести в жертву морскому богу. Почему он так думает?

(7 баллов за обоснованный ответ)

6.6. Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме а) углового кубика; б) центрального кубика?

(7 баллов за приведение примера перехода от кубика к кубику в двух случаях, 5 баллов за приведение примера перехода от кубика к кубику в одном случае)

5 класс

5.1. Не меняя порядка расположения цифр 1 2 3 4 5, поставьте между ними знаки арифметических действий и скобки так, чтобы в результате получилась единица. «Склеивать» соседние цифры в одно число нельзя. (7 баллов за пример)

5.2. Вадим, Сергей, Пётр и Тимофей работают врачом, скрипачом, палачом и ткачом. Первые буквы имени и профессии ни у одного из них не совпадают и не идут подряд в алфавите. Кто кем работает, если врач лечит Тимофея, а Вадим не ткач? Ответ объясните. (7 баллов за решение, 1 балл за ответ)

5.3. Ниже приведен пример разрезания треугольника на четырёхугольник и пятиугольник. Разрежьте квадрат на треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник. (7 баллов за пример)

5.4. У меня есть коты и кошки, если каждого кота заменить на трёх кошек, то животных станет на 8 больше, а кошек станет больше в 7 раз. Сколько у меня котов и сколько кошек? (7 баллов за обоснованный ответ, 1 балл за ответ)

5.5. Василий с понедельника по среду ест на завтрак манную кашу, с четверга по субботу – рисовую, а в воскресенье делает себе омлет. А ещё Василий по нечетным числам обманывает, а по четным числам месяца говорит правду. В какие из первых десяти дней сентября 2017 года Василий мог сказать: «Завтра я буду есть на завтрак манную кашу»? Обоснуйте ответ (7 баллов за обоснованное решение, 1 балл за ответ)

5.6. Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме а) углового кубика; б) центрального кубика? (7 баллов за приведение примера перехода от кубика к кубику в двух случаях, 5 баллов за приведение примера перехода от кубика к кубику в одном случае)